Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
NKP: 1. lecke
FELADAT
1. (Kompetenciamérés, 2009)
Egy számítógépes kincskereső játék utolsó állomása egy kőfal, ahol különböző alakú kőajtók mögött található a kincs.
Az alábbi, betűvel jelzett nyílásokba a számokkal jelölt testek úgy illenek be, mint kulcs a zárba.
A megoldáskor ügyelj arra, hogy egy nyílásba több kulcs is jó lehet!
a) Döntsd el, hogy melyik igaz, melyik hamis a következő állítások közül!
A: Csak a 3-as kulcs illik bele a B jelű nyílásba.
✓ ✗
B: A 4-es kulcs az A és C jelű nyílásba is beleillik.
✓ ✗
C: A 2-es kulcs beleillik a C jelű nyílásba.
✓ ✗
D: Az A jelű nyílásba a 3-as kulcs beleillik.
✓ ✗
E: Az 1-es és a 4-es kulcs beleillik a C jelű nyílásba.
✓ ✗
b) Fogalmazz meg az előbbiektől különböző hamis, illetve igaz állításokat!
Az alábbi, betűvel jelzett nyílásokba a számokkal jelölt testek úgy illenek be, mint kulcs a zárba.
A megoldáskor ügyelj arra, hogy egy nyílásba több kulcs is jó lehet!
a) Döntsd el, hogy melyik igaz, melyik hamis a következő állítások közül!
A: Csak a 3-as kulcs illik bele a B jelű nyílásba.
✓ ✗
B: A 4-es kulcs az A és C jelű nyílásba is beleillik.
✓ ✗
C: A 2-es kulcs beleillik a C jelű nyílásba.
✓ ✗
D: Az A jelű nyílásba a 3-as kulcs beleillik.
✓ ✗
E: Az 1-es és a 4-es kulcs beleillik a C jelű nyílásba.
✓ ✗
b) Fogalmazz meg az előbbiektől különböző hamis, illetve igaz állításokat!
2.(Kompetenciamérés, 2012)
Egy kétfordulós verseny első hat helyezettjének eredményeit mutatja a következő diagram.
A versenyt az nyeri, akinél a helyezések összege a két forduló után a legkisebb.
Döntsd el, melyik igaz, melyik hamis az állítások közül!
A: Nem volt olyan versenyző, aki mindkét fordulóban azonos helyezést ért volna el.
✓ ✗
B: Mindkét fordulót ugyanaz a versenyző nyerte.
✓ ✗
C: Az összesítésben nem volt holtverseny.
✓ ✗
D: Legalább hárman rosszabb helyezést értek el a második fordulóban, mint az elsőben.
✓ ✗
E: A versenyt nem lány nyerte.
✓ ✗
Egy kétfordulós verseny első hat helyezettjének eredményeit mutatja a következő diagram.
A versenyt az nyeri, akinél a helyezések összege a két forduló után a legkisebb.
Döntsd el, melyik igaz, melyik hamis az állítások közül!
✓ ✗
B: Mindkét fordulót ugyanaz a versenyző nyerte.
✓ ✗
C: Az összesítésben nem volt holtverseny.
✓ ✗
D: Legalább hárman rosszabb helyezést értek el a második fordulóban, mint az elsőben.
✓ ✗
E: A versenyt nem lány nyerte.
✓ ✗
ELMÉLET
Ha hallunk vagy olvasunk egy mondatot, akkor sokszor azonnal tudjuk, hogy a tartalma igaz vagy hamis.
Más esetekben kisebb-nagyobb töprengés után tudjuk eldönteni, hogy mi vele a helyzet.
Vannak olyan mondatok, amelyekről egyáltalán nem mondhatjuk ki azt, hogy a tartalmuk igaz vagy hamis.
1. A logikában azokat a kijelentő mondatokat nevezzük állításoknak (más szóval kijelentéseknek), amelyekről egyértelműen eldönthető, hogy a tartalmuk igaz vagy hamis.
Példák:
Állítás:
- A sósav képlete HCl.
- Svájc fővárosa Zürich.
Nem állítás:
- Hány óra van?
- Budapest szebb város, mint Tokió.
2. Egy állítás vagy igaz, vagy hamis, harmadik eset nincs.
Az „igaz”, illetve a „hamis” az adott állítás lehetséges logikai értékei.
Példák:
A sósav képlete HCl. – ez egy igaz állítás
Svájc fővárosa Zürich. – ez egy hamis állítás
Erre a mondatra korábban azt mondtuk, hogy lehet, de nem biztos, hiszen például a 2 és a 6 összege osztható 4-gyel, de a 4 és a 6 összege nem osztható 4-gyel.
A logikában azonban egy állítás vagy igaz, vagy hamis, harmadik eset nincs.
Hogyan értsük ezt?
A köznyelv és a matematikailag precíz nyelv időnként eltér egymástól.
A mondatban nincs leírva, de odagondoljuk a „mindig” szót.
Matematikai szempontból így értelmezzük ezt az állítást:
„Két páros szám összege mindig osztható 4-gyel.”
Ez pedig egy hamis állítás.
3. Minden állításnak van tagadása, ami egy másik állítás.
Az A állítás tagadásának a jele: ¬A. (olvasd: „nem A”)
Egy A állítás tagadása akkor igaz, ha A hamis, és akkor hamis, ha A igaz.
A igaz → ¬A hamis
A hamis → ¬A igaz
Ezt röviden, igazságtáblázat segítségével így írjuk:
Példák:
A sósav képlete HCl. (igaz állítás)
tagadása: A sósav képlete nem HCl. (hamis állítás)
Svájc fővárosa Zürich. (hamis állítás)
tagadása: Svájc fővárosa nem Zürich. (igaz állítás)
Más esetekben kisebb-nagyobb töprengés után tudjuk eldönteni, hogy mi vele a helyzet.
Vannak olyan mondatok, amelyekről egyáltalán nem mondhatjuk ki azt, hogy a tartalmuk igaz vagy hamis.
1. A logikában azokat a kijelentő mondatokat nevezzük állításoknak (más szóval kijelentéseknek), amelyekről egyértelműen eldönthető, hogy a tartalmuk igaz vagy hamis.
Példák:
Állítás:
- A sósav képlete HCl.
- Svájc fővárosa Zürich.
Nem állítás:
- Hány óra van?
- Budapest szebb város, mint Tokió.
2. Egy állítás vagy igaz, vagy hamis, harmadik eset nincs.
Az „igaz”, illetve a „hamis” az adott állítás lehetséges logikai értékei.
Példák:
A sósav képlete HCl. – ez egy igaz állítás
Svájc fővárosa Zürich. – ez egy hamis állítás
Megjegyzés:
„Két páros szám összege osztható 4-gyel.”Erre a mondatra korábban azt mondtuk, hogy lehet, de nem biztos, hiszen például a 2 és a 6 összege osztható 4-gyel, de a 4 és a 6 összege nem osztható 4-gyel.
A logikában azonban egy állítás vagy igaz, vagy hamis, harmadik eset nincs.
Hogyan értsük ezt?
A köznyelv és a matematikailag precíz nyelv időnként eltér egymástól.
A mondatban nincs leírva, de odagondoljuk a „mindig” szót.
Matematikai szempontból így értelmezzük ezt az állítást:
„Két páros szám összege mindig osztható 4-gyel.”
Ez pedig egy hamis állítás.
3. Minden állításnak van tagadása, ami egy másik állítás.
Az A állítás tagadásának a jele: ¬A. (olvasd: „nem A”)
Egy A állítás tagadása akkor igaz, ha A hamis, és akkor hamis, ha A igaz.
A igaz → ¬A hamis
A hamis → ¬A igaz
Ezt röviden, igazságtáblázat segítségével így írjuk:
| A | ¬A |
| igaz | hamis |
| hamis | igaz |
A sósav képlete HCl. (igaz állítás)
tagadása: A sósav képlete nem HCl. (hamis állítás)
Svájc fővárosa Zürich. (hamis állítás)
tagadása: Svájc fővárosa nem Zürich. (igaz állítás)
KIDOLGOZOTT FELADAT
Melyik állítás lesz az A állítás tagadása, a B vagy a C?
a) A: Panniék kutyája fekete.
B: Panniék kutyája tarka.
C: Panniék kutyája nem fekete.
b) A: Többen vagyunk az osztályban, mint 32.
B: Kevesebben vagyunk az osztályban, mint 32.
C: Kevesebben vagyunk az osztályban, mint 33.
a) A: Panniék kutyája fekete.
B: Panniék kutyája tarka.
C: Panniék kutyája nem fekete.
b) A: Többen vagyunk az osztályban, mint 32.
B: Kevesebben vagyunk az osztályban, mint 32.
C: Kevesebben vagyunk az osztályban, mint 33.
Megoldás
a) A „Panniék kutyája fekete.”, és a „Panniék kutyája tarka.”két olyan állítás, amely egyszerre sosem teljesül: ha a kutya fekete, akkor az első igaz, és a második hamis, ha pedig a kutya tarka, akkor a második igaz, és az első hamis.
Egyszerre nem teljesülhet mind a kettő.
Azonban egy állítás tagadásának megfogalmazásakor nemcsak arra kell figyelni, hogy egyszerre nem lehet mindkettő igaz.
Hanem arra is, hogy nem lehet elképzelni olyan helyzetet, amikor mindkét állítás hamis.
Ha a kutya fehér, akkor mindkét állítás hamis.
Van olyan helyzet, amikor mindkét állítás hamis, ezért ez a két állítás nem egymás tagadása.
Az A állítás tagadása a C állítás.
b) Tagadása-e az A állításnak a B állítás?
Ha az A állítás igaz, azaz többen vagyunk az osztályban, mint 32, akkor a B állítás hamis.
Ha a B állítás igaz, azaz kevesebben vagyunk az osztályban, mint 32, akkor az A állítás hamis.
Van azonban egy olyan helyzet, amikor az A és a B állítás is hamis: amikor az osztályban éppen 32-en vagyunk!
Az A állítás tagadásának olyan mondatnak kell lennie, amely minden esetben ellentétes logikai értéket vesz fel.
Nem lehet egy állítás és a tagadása egyszerre hamis!
Az A állítás azt fejezi ki, hogy az osztálylétszám a 33, 34, 35, 36, … számok valamelyike.
A tagadásnak azt kell kifejeznie, hogy az osztálylétszám a 32, 31, 30, … számok valamelyike.
Ezt fejezi ki a C állítás.
Az A állítás tagadása a C állítás.
Tagadása-e egymásnak az A és a B állítás?
Ha A igaz, akkor B hamis.
Ez még kevés!
Ha B igaz, akkor A hamis.
Két állítás egymás tagadása
akkor és csak akkor, ha
minden helyzetben ellentétes a logikai értékük
FELADAT
3. Melyik állítás tagadása az A állításnak?
Több megoldás lehet!
a) A: Legalább 100 barátom van.
B: Legfeljebb 100 barátom van.
✓ ✗
C: Legfeljebb 99 barátom van.
✓ ✗
D: A barátaim száma kisebb, mint 100.
✓ ✗
E: A barátaim száma kisebb vagy egyenlő, mint 100.
✓ ✗
b) A: Ez a könyv maximum 300 oldalas.
B: Ez a könyv legfeljebb 299 oldalas.
✓ ✗
C: Ezen könyv oldalainak száma nagyobb vagy egyenlő, mint 300.
✓ ✗
D: Ez a könyv minimum 301 oldalas.
✓ ✗
E: Ez a könyv több mint 300 oldalas.
✓ ✗
Több megoldás lehet!
a) A: Legalább 100 barátom van.
B: Legfeljebb 100 barátom van.
✓ ✗
C: Legfeljebb 99 barátom van.
✓ ✗
D: A barátaim száma kisebb, mint 100.
✓ ✗
E: A barátaim száma kisebb vagy egyenlő, mint 100.
✓ ✗
b) A: Ez a könyv maximum 300 oldalas.
B: Ez a könyv legfeljebb 299 oldalas.
✓ ✗
C: Ezen könyv oldalainak száma nagyobb vagy egyenlő, mint 300.
✓ ✗
D: Ez a könyv minimum 301 oldalas.
✓ ✗
E: Ez a könyv több mint 300 oldalas.
✓ ✗
4. Fogalmazd meg a következő állítások tagadását többféleképpen!
A: Legfeljebb 5 napig tart ez a munka.
Több, mint napig tartott a munka. ✓ ✗
-nál/-nél nem kevesebb napig tartott a munka. ✓ ✗
B: Több, mint 8 gólt rúgott a csapat.
-nál/-nél kevesebb gólt rúgott a csapat. ✓ ✗
Legfeljebb gólt rúgott a csapat. ✓ ✗
C: Több nap, mint kolbász.
annyi nap, mint kolbász. ✓ ✗
vagy ugyanannyi nap, mint kolbász. ✓ ✗
A: Legfeljebb 5 napig tart ez a munka.
Több, mint napig tartott a munka. ✓ ✗
-nál/-nél nem kevesebb napig tartott a munka. ✓ ✗
B: Több, mint 8 gólt rúgott a csapat.
-nál/-nél kevesebb gólt rúgott a csapat. ✓ ✗
Legfeljebb gólt rúgott a csapat. ✓ ✗
C: Több nap, mint kolbász.
annyi nap, mint kolbász. ✓ ✗
vagy ugyanannyi nap, mint kolbász. ✓ ✗
5. Megadunk 5 állítást:
A: A 0-ra végződő természetes számok oszthatók 5-tel.
✓ ✗
B: A 0-ra vagy 5-re végződő természetes számok oszthatók 5-tel.
✓ ✗
C: Nem igaz, hogy a 0-ra végződő természetes számok oszthatók 5-tel.
✓ ✗
D: A 0-ra végződő természetes számok nem oszthatók 5-tel.
✓ ✗
E: Az 5-tel osztható természetes számok nem mind végződnek 0-ra.
✓ ✗
a) Melyik igaz, melyik hamis?
b) Melyik lehet a B, C, D, E kijelentések közül az A állítás tagadása?
✓ ✗
A: A 0-ra végződő természetes számok oszthatók 5-tel.
✓ ✗
B: A 0-ra vagy 5-re végződő természetes számok oszthatók 5-tel.
✓ ✗
C: Nem igaz, hogy a 0-ra végződő természetes számok oszthatók 5-tel.
✓ ✗
D: A 0-ra végződő természetes számok nem oszthatók 5-tel.
✓ ✗
E: Az 5-tel osztható természetes számok nem mind végződnek 0-ra.
✓ ✗
a) Melyik igaz, melyik hamis?
b) Melyik lehet a B, C, D, E kijelentések közül az A állítás tagadása?
✓ ✗
HÁZI FELADAT
1. Igaz vagy hamis?
Nézz utána az interneten, hogy melyik állítás igaz, melyik állítás hamis!
A: Petőfi Sándor és Babits Mihály ugyanazon a településen született.
Petőfi születési helye: .
Babits születési helye: .
Tehát az állítás: .
B: A Kaukázus legmagasabb csúcsa, az Elbrusz magasabb, mint a Mont Blanc.
Elbrusz = méter.
Mont Blanc = méter.
Tehát az állítás: igaz .
C: A Lehel kürtjeként tisztelt elefántcsontból készült kürtöt most a gyöngyösi Mátra Múzeumban őrzik.
A Lehel kürtjét Múzeumban őrzik.
Tehát az állítás: .
D: Ludwig van Beethoven több mint 10 szimfóniát írt.
Beethoven utolsó befejezett szimfóniája: . szimfónia.
Tehát az állítás: .
Nézz utána az interneten, hogy melyik állítás igaz, melyik állítás hamis!
A: Petőfi Sándor és Babits Mihály ugyanazon a településen született.
Petőfi születési helye: .
Babits születési helye: .
Tehát az állítás: .
B: A Kaukázus legmagasabb csúcsa, az Elbrusz magasabb, mint a Mont Blanc.
Elbrusz = méter.
Mont Blanc = méter.
Tehát az állítás: igaz .
C: A Lehel kürtjeként tisztelt elefántcsontból készült kürtöt most a gyöngyösi Mátra Múzeumban őrzik.
A Lehel kürtjét Múzeumban őrzik.
Tehát az állítás: .
D: Ludwig van Beethoven több mint 10 szimfóniát írt.
Beethoven utolsó befejezett szimfóniája: . szimfónia.
Tehát az állítás: .
2. Fogalmazd meg az órai 2. feladat állításainak tagadását!
A: Nem volt olyan versenyző, aki mindkét fordulóban azonos helyezést ért volna el.
olyan versenyző, aki mindkét fordulóban azonos helyezést ért volna el.
B: Mindkét fordulót ugyanaz a versenyző nyerte.
Mindkét fordulót versenyző nyerte.
C: Az összesítésben nem volt holtverseny.
Az összesítésben holtverseny.
D: Legalább hárman rosszabb helyezést értek el a második fordulóban, mint az elsőben.
értek el rosszabb helyezést a második fordulóban, mint az elsőben.
E: A versenyt nem lány nyerte.
A versenyt nyerte.
A: Nem volt olyan versenyző, aki mindkét fordulóban azonos helyezést ért volna el.
olyan versenyző, aki mindkét fordulóban azonos helyezést ért volna el.
B: Mindkét fordulót ugyanaz a versenyző nyerte.
Mindkét fordulót versenyző nyerte.
C: Az összesítésben nem volt holtverseny.
Az összesítésben holtverseny.
D: Legalább hárman rosszabb helyezést értek el a második fordulóban, mint az elsőben.
értek el rosszabb helyezést a második fordulóban, mint az elsőben.
E: A versenyt nem lány nyerte.
A versenyt nyerte.
3. (Kompetenciamérés, 2019)
Speciális technikával mérhető, hogy ki mennyi időt tölt mély alvással és könnyű alvással, és hogy ezek a szakaszok hogyan váltakoznak az éjszaka folyamán.
A következő oszlopdiagramon Miklós alvásának egy hétfői és egy szombati napon mért adatai láthatók.
Döntsd el, hogy melyik igaz, illetve melyik hamis a következő állítások közül!
Adatok:
Hétfő: 1,5-(0,25)-2-(0,25)-1,5-(0,5)-0,5-(0,5)
Szombat: 2,5-(0,5)-2-(0,5)-2-(0,5)
A: A vizsgált napokon a mély alvás leghosszabb összefüggő szakasza két és fél óráig tartott.
B: Hétfőn többször váltakozott a mély és a könnyű alvási szakasz, mint szombaton.
C: Szombaton az első könnyű alvási szakasz elalvás után 150 perccel kezdődött.
D: Hétfőn a könnyű alvással töltött összes idő több volt, mint szombaton.
E: Szombaton az alvással töltött idő nagyobb arányát tette ki a könnyű alvás, mint hétfőn.
Speciális technikával mérhető, hogy ki mennyi időt tölt mély alvással és könnyű alvással, és hogy ezek a szakaszok hogyan váltakoznak az éjszaka folyamán.
A következő oszlopdiagramon Miklós alvásának egy hétfői és egy szombati napon mért adatai láthatók.
Adatok:
Hétfő: 1,5-(0,25)-2-(0,25)-1,5-(0,5)-0,5-(0,5)
Szombat: 2,5-(0,5)-2-(0,5)-2-(0,5)
A: A vizsgált napokon a mély alvás leghosszabb összefüggő szakasza két és fél óráig tartott.
B: Hétfőn többször váltakozott a mély és a könnyű alvási szakasz, mint szombaton.
C: Szombaton az első könnyű alvási szakasz elalvás után 150 perccel kezdődött.
D: Hétfőn a könnyű alvással töltött összes idő több volt, mint szombaton.
E: Szombaton az alvással töltött idő nagyobb arányát tette ki a könnyű alvás, mint hétfőn.
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
