Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
1. Egy háromszög csúcsai legyenek A, B és C.
Rajzold meg az A csúcsból a belső szögfelezőt.
Ennek a BC oldallal való metszéspontja legyen M.
M-nek az AB oldalegyenesre eső merőleges vetülete legyen P, az AC oldalegyenesre eső merőleges vetülete legyen Q.
a) Készíts ábrát!
b) Bizonyítsd be, hogy AMP háromszög egybevágó az AMQ háromszöggel!
A háromszögek egybevágóságának melyik alapesetét lehet alkalmazni?
//b) I. alapeset
Rajzold meg az A csúcsból a belső szögfelezőt.
Ennek a BC oldallal való metszéspontja legyen M.
M-nek az AB oldalegyenesre eső merőleges vetülete legyen P, az AC oldalegyenesre eső merőleges vetülete legyen Q.
a) Készíts ábrát!
b) Bizonyítsd be, hogy AMP háromszög egybevágó az AMQ háromszöggel!
A háromszögek egybevágóságának melyik alapesetét lehet alkalmazni?
//b) I. alapeset
2. Az ABCD paralelogramma két szemközti csúcsán húzzunk két, egymással párhuzamos egyenest, az ábra szerint.
Bizonyítsd be, hogy az AED háromszög egybevágó a BCF háromszöggel!
a) A háromszögek egybevágóságának melyik alapesetét lehet alkalmazni?
b) Melyik egybevágósági transzformáció viszi egymásba a két háromszöget?
//a) I. alapeset b) középpontos tükrözés
Bizonyítsd be, hogy az AED háromszög egybevágó a BCF háromszöggel!
b) Melyik egybevágósági transzformáció viszi egymásba a két háromszöget?
//a) I. alapeset b) középpontos tükrözés
3. Egy szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja háromszor akkora, mint a rövidebbik alapja.
Megrajzoltuk a trapéz középvonalát, ennek a szárakkal való metszéspontjai T és Q, a TQ szakasz felezőpontja pedig K (ld. ábra).
Bizonyítsd be, hogy az ABT háromszög egybevágó a DQK háromszöggel!
A háromszögek egybevágóságának melyik alapesetét lehet alkalmazni?
//II. alapeset
Megrajzoltuk a trapéz középvonalát, ennek a szárakkal való metszéspontjai T és Q, a TQ szakasz felezőpontja pedig K (ld. ábra).
Bizonyítsd be, hogy az ABT háromszög egybevágó a DQK háromszöggel!
A háromszögek egybevágóságának melyik alapesetét lehet alkalmazni?
//II. alapeset
4. Egy szabályos nyolcszögnek berajzoltuk néhány átlóját.
a) Bizonyítsd be, hogy az ABD háromszög egybevágó az ATD háromszöggel!
b) Igazold, hogy az ATH háromszög és a TDF háromszög egyenlő szárú!
a) Bizonyítsd be, hogy az ABD háromszög egybevágó az ATD háromszöggel!
b) Igazold, hogy az ATH háromszög és a TDF háromszög egyenlő szárú!
5. a) Hány átlója van egy konvex sokszögnek, ha belső szögeinek összege 3960°?
b) Mennyi a belső szögek összege abban a konvex sokszögben, amelyben egy csúcsból 14 átló húzható?
//a) 252 b) 2700°
b) Mennyi a belső szögek összege abban a konvex sokszögben, amelyben egy csúcsból 14 átló húzható?
//a) 252 b) 2700°
6. Egy szabályos sokszöget az egyik csúcsából induló átlók 10 darab háromszögre bontanak.
a) Hány oldala és hány átlója van ennek a sokszögnek?
b) Határozd meg a sokszög belső és külső szögeinek nagyságát!
//a) 12; 54 b) 150°; 30°
a) Hány oldala és hány átlója van ennek a sokszögnek?
b) Határozd meg a sokszög belső és külső szögeinek nagyságát!
//a) 12; 54 b) 150°; 30°
7. A gabonakörök érdekes alakzatok, melyek a gabonatáblákon a gabonaszálak megdőlésével jönnek létre.
Egy alkalommal két olyan gabonakört találtak, amelyek egy-egy körbe írt konvex sokszöget mintáztak.
a) Az egyikről megállapították, hogy a konvex sokszög átlóinak száma úgy aránylik az oldalak számához, mint 21 : 2.
Mekkora lehetett a gabonakörben lévő konvex sokszög belső szögeinek összege?
b) A másikról megtudták, hogy a belső szögek összege úgy aránylik a teljes szöghöz, mint 19 : 2.
Hány átlója volt a létrehozott sokszögnek?
//a) 3960° b) 189
Egy alkalommal két olyan gabonakört találtak, amelyek egy-egy körbe írt konvex sokszöget mintáztak.
a) Az egyikről megállapították, hogy a konvex sokszög átlóinak száma úgy aránylik az oldalak számához, mint 21 : 2.
Mekkora lehetett a gabonakörben lévő konvex sokszög belső szögeinek összege?
b) A másikról megtudták, hogy a belső szögek összege úgy aránylik a teljes szöghöz, mint 19 : 2.
Hány átlója volt a létrehozott sokszögnek?
//a) 3960° b) 189
8. A mandala az ázsiai spirituális művészetben használt szimbólum.
A mandala készítéséhez kijelölünk néhány pontot egy körvonalon.
A felvett pontok mindegyikét vonalzó mentén összekötjük az összes többi ponttal.
a) Hány pontot vettünk fel a körvonalon, ha összesen 136 szakaszt rajzoltunk?
Egy másik mandala készítéséhez ugyancsak kijelölünk néhány pontot egy körvonalon, és a felvett pontok mindegyikét vonalzó mentén összekötjük az összes többi ponttal.
Ebben az esetben az egymással szomszédos pontokat piros, a nem szomszédos pontokat kék vonallal kötjük össze.
b) Hány pontot vettünk fel a körvonalon összesen, ha végül a kék vonallal húzott szakaszok száma 75-tel több, mint a piros szakaszok száma?
//a) 17 b) 15
A mandala készítéséhez kijelölünk néhány pontot egy körvonalon.
A felvett pontok mindegyikét vonalzó mentén összekötjük az összes többi ponttal.
a) Hány pontot vettünk fel a körvonalon, ha összesen 136 szakaszt rajzoltunk?
Egy másik mandala készítéséhez ugyancsak kijelölünk néhány pontot egy körvonalon, és a felvett pontok mindegyikét vonalzó mentén összekötjük az összes többi ponttal.
Ebben az esetben az egymással szomszédos pontokat piros, a nem szomszédos pontokat kék vonallal kötjük össze.
b) Hány pontot vettünk fel a körvonalon összesen, ha végül a kék vonallal húzott szakaszok száma 75-tel több, mint a piros szakaszok száma?
//a) 17 b) 15
9. Egy szabályos sokszög oldalainak hossza 8,2 dm, körülírható körének átmérője 16,4 dm.
a) Hány átlója van a sokszögnek?
b) Számold ki a sokszög területét!
Válaszod dm2-ben, két tizedesjegy pontossággal add meg!
//a) 9 b) 21,09 dm2 (a feladat szövege hibás: mindkét mértékegység dm)
a) Hány átlója van a sokszögnek?
b) Számold ki a sokszög területét!
Válaszod dm2-ben, két tizedesjegy pontossággal add meg!
//a) 9 b) 21,09 dm2 (a feladat szövege hibás: mindkét mértékegység dm)
10. Ha egy konvex sokszög csúcsainak számát kettővel növeljük, akkor az így kapott konvex sokszög átlóinak száma 13-mal nagyobb lesz, mint az eredeti sokszög átlóinak száma.
a) Hány oldalú volt az eredeti sokszög?
b) Mekkora az eredeti sokszög egy belső szögének nagysága, ha a sokszög szabályos?
//a) 7 b) 128,6°
a) Hány oldalú volt az eredeti sokszög?
b) Mekkora az eredeti sokszög egy belső szögének nagysága, ha a sokszög szabályos?
//a) 7 b) 128,6°
11. Egy szabályos sokszögről tudjuk az alábbiakat:
– kevesebb átlója van, mint oldala;
– beírható körének sugara 1 egység hosszú.
a) Hány oldala van a sokszögnek?
b) Határozd meg a sokszög oldalainak hosszát!
c) Számold ki a sokszög területét!
//a) 3, vagy 4 b) 2√3, vagy 2 egység c) 3√3, vagy 4 egység
– kevesebb átlója van, mint oldala;
– beírható körének sugara 1 egység hosszú.
a) Hány oldala van a sokszögnek?
b) Határozd meg a sokszög oldalainak hosszát!
c) Számold ki a sokszög területét!
//a) 3, vagy 4 b) 2√3, vagy 2 egység c) 3√3, vagy 4 egység
12. Egy kör sugara 12 cm.
a) Milyen hosszú a 42°-os középponti szöghöz tartozó körív?
b) Mekkora a 72°-os középponti szöghöz tartozó körcikk területe?
//a) 8,8 cm b) 90,4 cm2
a) Milyen hosszú a 42°-os középponti szöghöz tartozó körív?
b) Mekkora a 72°-os középponti szöghöz tartozó körcikk területe?
//a) 8,8 cm b) 90,4 cm2
13. Egy 8 cm sugarú körvonalat 1 : 2 : 3 : 4 arányban négy részre osztunk.
a) Készíts ábrát!
b) Mekkora középponti szögek tartoznak az egyes ívekhez?
c) Milyen hosszúak az egyes körívek?
//a) 36°; 72°; 108°; 144° b) 5; 10; 15; 20 (cm)
a) Készíts ábrát!
b) Mekkora középponti szögek tartoznak az egyes ívekhez?
c) Milyen hosszúak az egyes körívek?
//a) 36°; 72°; 108°; 144° b) 5; 10; 15; 20 (cm)
14. A 32 cm átmérőjű pizzából mekkora területű az a szelet, amelyhez 100°-os középponti szög tartozik?
//223 cm2
//223 cm2
15. Egy kör alakú szerencsekerék sugara 36 cm.
A körlap 17 körcikkre van felosztva.
Felváltva 23°-os és 20°-os körcikkek követik egymást négyszer, a 23°-os körcikkek „Nem nyert”, a 20°-os körcikkek „Nyert” felirattal.
Az utolsó, kilencedik körcikk felirata: „Pörgess újra!”.
a) Készíts ábrát!
b) Mekkora az egyes körcikkek területe?
c) Mennyi az esélye, hogy az első pörgetés után nyer valaki?
//256 cm2; 226 cm2 és 181 cm2
A körlap 17 körcikkre van felosztva.
Felváltva 23°-os és 20°-os körcikkek követik egymást négyszer, a 23°-os körcikkek „Nem nyert”, a 20°-os körcikkek „Nyert” felirattal.
Az utolsó, kilencedik körcikk felirata: „Pörgess újra!”.
a) Készíts ábrát!
b) Mekkora az egyes körcikkek területe?
c) Mennyi az esélye, hogy az első pörgetés után nyer valaki?
//256 cm2; 226 cm2 és 181 cm2
16. Az ugandai főváros, Kampala az Egyenlítő közelébe esik, körülbelül a 29,7°-os keleti hosszúsági körre.
Ugyancsak az Egyenlítő közelében fekszik a Kongói Demokratikus Köztársaság Butembo városa, a 17,8°-os keleti hosszúsági körön.
Légvonalban mekkora a távolságuk?
(A Föld sugara 6370 km.)
//1320 km
Ugyancsak az Egyenlítő közelében fekszik a Kongói Demokratikus Köztársaság Butembo városa, a 17,8°-os keleti hosszúsági körön.
Légvonalban mekkora a távolságuk?
(A Föld sugara 6370 km.)
//1320 km
17. Egy 25 cm sugarú körlapból kivágunk egy 205°-os középponti szögű körcikket.
Ebből a körcikkből kúppalástot hajtunk.
a) Mekkora a körcikk kerülete?
b) Mekkora a keletkező kúp alapkörének kerülete és sugara, ha tudjuk, hogy a körcikk íve megegyezik a kúp alapkörének kerületével?
//a) 139cm b) 89 cm; 14,2 cm
Ebből a körcikkből kúppalástot hajtunk.
a) Mekkora a körcikk kerülete?
b) Mekkora a keletkező kúp alapkörének kerülete és sugara, ha tudjuk, hogy a körcikk íve megegyezik a kúp alapkörének kerületével?
//a) 139cm b) 89 cm; 14,2 cm
18. Egy 20 cm átmérőjű körbe berajzolunk két egymást nem metsző, egymással nem párhuzamos húrt.
Az egyik húr hossza 10 cm, a másik húr hossza 10 2 cm.
A két húr a kört három síkidomra bontja.
Határozd meg az egyes részek kerületének és területének nagyságát!
//Kerületek: 20,5 cm; 29,9 cm; 60,8 cm, Területek: 9 cm2; 28,5 cm2; 276,7 cm2
Az egyik húr hossza 10 cm, a másik húr hossza 10 2 cm.
A két húr a kört három síkidomra bontja.
Határozd meg az egyes részek kerületének és területének nagyságát!
//Kerületek: 20,5 cm; 29,9 cm; 60,8 cm, Területek: 9 cm2; 28,5 cm2; 276,7 cm2
19. Egy kertkapu formáját úgy alakították ki, hogy egy négyzet alakra egy 60°-os középponti szögű körívet illesztettek.
A négyzet oldalai 1,4 m hosszúak.
a) Milyen magas a kertkapu a legmagasabb pontján?
b) Mekkora a kertkapu területe?
//a) 1,6 m b) 2,14 m2
A négyzet oldalai 1,4 m hosszúak.
a) Milyen magas a kertkapu a legmagasabb pontján?
b) Mekkora a kertkapu területe?
//a) 1,6 m b) 2,14 m2
20. Egy szíjáttételt látsz az ábrán.
A körök középpontjaiban vannak a tengelyek, ezek távolsága 68 cm.
A nagyobbik kör sugara 28 cm, a kisebbik kör sugara 12 cm.
A hajtószíjak keresztbe mennek, így megfordítják a forgás irányát.
Középen a hajtószíjak (és a közös érintők) szöge 72°.
Milyen hosszú a szíj?
//2∙55+123+53=286(cm)
A nagyobbik kör sugara 28 cm, a kisebbik kör sugara 12 cm.
A hajtószíjak keresztbe mennek, így megfordítják a forgás irányát.
Középen a hajtószíjak (és a közös érintők) szöge 72°.
Milyen hosszú a szíj?
//2∙55+123+53=286(cm)
