Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
BEVEZETŐ
Bence mérgesen kiáltott fel, miközben éppen a matek házi feladatát készítette:„Ilyen feladatot nem is csináltunk, ezért nem tudom megoldani!”
Édesapja megnézte, és látta, hogy az x ↦ x^2 + 6x + 9 függvényt kellett Bencének ábrázolnia a valós számok halmazán.
Így szólt a fiához: „Bence, hiszen éppen ilyen feladatokat gyakoroltatok ezen az órán, csak nem pontosan ebben az alakban volt megadva a hozzárendelési szabály!”
Bence egy kicsit elcsodálkozott, de rövid idő múlva így kiáltott:
„Tényleg! Ez nagyon egyszerű feladat!”
FELADAT
1. Kösd össze az egyenlőket!
Az egyiknek nincs párja, ahhoz írd fel a hiányzó alakot!
1. (x + 10)^2
2. (x - 5)^2
3. (x - 10)^2
A. x^2 + 10x + 25
B. x^2 - 10x + 25
C. x^2 + 20x + 100
D. x^2 - 20x + 100
// (𝑥𝑥+10)2=𝑥𝑥2+20𝑥𝑥+100 (𝑥𝑥−5)2=𝑥𝑥2−10𝑥𝑥+25 (𝑥𝑥−10)2=𝑥𝑥2−20𝑥𝑥+100 (𝑥𝑥+5)2=𝑥𝑥2+10𝑥𝑥+25
✓ ✗
Az egyiknek nincs párja, ahhoz írd fel a hiányzó alakot!
1. (x + 10)^2
2. (x - 5)^2
3. (x - 10)^2
A. x^2 + 10x + 25
B. x^2 - 10x + 25
C. x^2 + 20x + 100
D. x^2 - 20x + 100
// (𝑥𝑥+10)2=𝑥𝑥2+20𝑥𝑥+100 (𝑥𝑥−5)2=𝑥𝑥2−10𝑥𝑥+25 (𝑥𝑥−10)2=𝑥𝑥2−20𝑥𝑥+100 (𝑥𝑥+5)2=𝑥𝑥2+10𝑥𝑥+25
✓ ✗
2. Használd a nevezetes azonosságot, majd ábrázold a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!
f(x) = x^2 + 6x + 9
g(x) = x^2 - 8x + 16
//𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥+3)2, 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥−4)2
✓ ✗
f(x) = x^2 + 6x + 9
g(x) = x^2 - 8x + 16
//𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥+3)2, 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥−4)2
✓ ✗
ELMÉLET
1. Ha a, b és c adott számok, és a ! 0, akkor a valós számok halmazán értelmezett x ↦ ax2 + bx + c függvényt másodfokú függvénynek nevezzük. A másodfokú tagban szereplő együtthatót (vagyis az a-t) főegyütthatónak hívjuk. Például: az x ↦ 3x2 - 2x - 5 függvény másodfokú, továbbá itt a = 3, b = -2 és c = -5, a főegyüttható 3.2. Az x ↦ ax2 + bx + c másodfokú függvény grafikonja olyan parabola, melynek tengelye merőleges az x tengelyre.
Ez a parabola „felfelé” nyitott, ha főegyütthatója pozitív, azaz a 2 0, és „lefelé” nyitott, ha főegyütthatója negatív, azaz a 1 0.
3. Az x ↦ ax^2 + bx + c hozzárendelési szabály algebrai módszerekkel átalakítható x ↦ a(x - u)^2 + v alakra.
Az itt szereplő u és v éppen a parabola tengelypontjának az első, illetve második koordinátája.
E számok azt is megmutatják, menynyivel kell eltolni az x ↦ ax^2 függvény grafikonját a koordinátatengelyek mentén, hogy az x ↦ ax^2 + bx + c függvény grafikonját kapjuk.
FELADAT
3. Ábrázold az f : R → R, f(x) = (x - 3)^2 - 4 függvény
grafikonját!
a) Algebrai átalakítás segítségével add meg ennek a másodfokú függvények az általános alakját!
( f(x) = ax^2 + bx + c )
✓ ✗
b) Olvasd le a parabola tengelypontját!
c) Hol veszi fel ez a függvény a minimumát?
✓ ✗
//a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥2−6𝑥𝑥+5
b) (3; -4)
c) x = 3 helyen
a) Algebrai átalakítás segítségével add meg ennek a másodfokú függvények az általános alakját!
( f(x) = ax^2 + bx + c )
✓ ✗
b) Olvasd le a parabola tengelypontját!
c) Hol veszi fel ez a függvény a minimumát?
✓ ✗
//a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥2−6𝑥𝑥+5
b) (3; -4)
c) x = 3 helyen
4. Ábrázold a valós számok halmazán értelmezett függvények grafikonját!
Van-e zérushelyük?
Melyik függvénynek van minimuma, melyiknek van maximuma?
f(x) = x^2 + 2x +1
g(x) = x^2 - 4x + 4
h(x) =-x^2 + 4x - 4
k(x) = x^2 - 10x + 25
//zérushelye van: f, g, h, k, minimuma van: f, g, k, maximuma van: k
✓
✗
Van-e zérushelyük?
Melyik függvénynek van minimuma, melyiknek van maximuma?
f(x) = x^2 + 2x +1
g(x) = x^2 - 4x + 4
h(x) =-x^2 + 4x - 4
k(x) = x^2 - 10x + 25
//zérushelye van: f, g, h, k, minimuma van: f, g, k, maximuma van: k
5. Egy másodfokú függvény grafikonja olyan parabola, amely egybevágó az x ↦ x^2 függvény grafikonjával, és amelynek tengelypontja a (-2; 5) pont.
Hány ilyen másodfokú függvény van?
Írd fel ezek hozzárendelési szabályát!
//kettő: 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥+2)2+5, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=−(𝑥𝑥+2)2+5
✓ ✗
Hány ilyen másodfokú függvény van?
Írd fel ezek hozzárendelési szabályát!
//kettő: 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥+2)2+5, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=−(𝑥𝑥+2)2+5
✓ ✗
6. Olvasd le a grafikonról a valós számok halmazán értelmezett függvények hozzárendelési szabályát, majd rendezd ax^2 + bx + c alakba!
Határozd meg a, b és c értékét!
✓
✗
//a) 2𝑥𝑥2−2, azaz 𝑎𝑎=2, 𝑏𝑏=0 és 𝑐𝑐=−2 b) −(𝑥𝑥−2)2+3=−𝑥𝑥2+4𝑥𝑥−1, azaz 𝑎𝑎=−1, 𝑏𝑏=4 és 𝑐𝑐=−1 c) −(𝑥𝑥+2)2+6=−𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+2, azaz 𝑎𝑎=−1, 𝑏𝑏=−4 és 𝑐𝑐=2 d) −1/4𝑥𝑥2, azaz 𝑎𝑎=−1/4, 𝑏𝑏=0 és 𝑐𝑐=0
Határozd meg a, b és c értékét!
//a) 2𝑥𝑥2−2, azaz 𝑎𝑎=2, 𝑏𝑏=0 és 𝑐𝑐=−2 b) −(𝑥𝑥−2)2+3=−𝑥𝑥2+4𝑥𝑥−1, azaz 𝑎𝑎=−1, 𝑏𝑏=4 és 𝑐𝑐=−1 c) −(𝑥𝑥+2)2+6=−𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+2, azaz 𝑎𝑎=−1, 𝑏𝑏=−4 és 𝑐𝑐=2 d) −1/4𝑥𝑥2, azaz 𝑎𝑎=−1/4, 𝑏𝑏=0 és 𝑐𝑐=0
HÁZI FELADAT
1. Ábrázoltuk két függvény grafikonját.
Olvasd le a grafikonról a hozzárendelési szabályt, majd a zárójel felbontása után rendezd a kifejezést ax^2 + bx + c alakra, ahol a, b és c valós számok!
Add meg a, b és c értékét!
//a) (𝑥𝑥−2)2+1=𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+5, azaz 𝑎𝑎=1, 𝑏𝑏=−4 és 𝑐𝑐=5
b) (𝑥𝑥+1)2−1=𝑥𝑥2+2𝑥𝑥, azaz 𝑎𝑎=1, 𝑏𝑏=2 és 𝑐𝑐=0
Olvasd le a grafikonról a hozzárendelési szabályt, majd a zárójel felbontása után rendezd a kifejezést ax^2 + bx + c alakra, ahol a, b és c valós számok!
Add meg a, b és c értékét!
2. Ábrázold a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!
Melyiknek van minimuma, melyiknek van maximuma?
f(x) = x^2 - 6x + 9
g(x) = -x^2 + 6x - 9
h(x) = x^2 + 3x + 2,25
//minimuma van: f, h, maximuma van: g
Melyiknek van minimuma, melyiknek van maximuma?
f(x) = x^2 - 6x + 9
g(x) = -x^2 + 6x - 9
h(x) = x^2 + 3x + 2,25
3. Adj meg olyan, a valós számok halmazán értelmezett másodfokú függvényt, melynek a -4 helyen minimuma van, és a minimum értéke -3!
Írd fel a függvényt az általános (x ↦ ax^2 + bx + c ) alakjával is!
A másodfokú függvények ábrázolásához használható függvényábrázoló szoftver is, például a GeoGebra program.
//Pl. 𝑓𝑓: ℝ→ℝ, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥+4)2−3=𝑥𝑥2+8𝑥𝑥+13 (ha a főegyüttható nem 1, akkor a többi együttható is más)
Írd fel a függvényt az általános (x ↦ ax^2 + bx + c ) alakjával is!
A másodfokú függvények ábrázolásához használható függvényábrázoló szoftver is, például a GeoGebra program.
//Pl. 𝑓𝑓: ℝ→ℝ, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥+4)2−3=𝑥𝑥2+8𝑥𝑥+13 (ha a főegyüttható nem 1, akkor a többi együttható is más)
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
