2024. augusztus 9., péntek

60 EKVIVALENS EGYENLETEK

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_I__teljes.pdf
Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf

KIDOLGOZOTT FELADAT

1. Hasonlítsuk össze az egyenleteket!
Ugyanazok-e a megoldásaik a valós számok halmazán?
a) x^2 = 4 ; x^2 - 4 = 0; |x| = 2
b) x + 3 = 7 és (x + 3)^2 = 49

FELADAT

1. Az ax^2 + bx + c = 0 másodfokú egyenlet megoldóképletéből kimaradt néhány szám.
Melyek a hiányzó számok? x a

//4; 2

2. Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán, majd vond ki a nagyobbik gyökből a kisebbiket!
A különbséghez tartozó betűkből egy magyar város neve rakható ki.
Melyik ez a város?
x^2 - 9x + 8 = 0
6 Á
7 R
8 Ő

x^2 - 7x - 30 = 0
13 I
14 E
15 P

4x^2 + 16x - 65 = 0
7 E
8 P
9 Z

4x^2 + 20x - 11 = 0
5 A
6 C
7 G

//Zirc

ELMÉLET

Ha két egyenletnek ugyanazon az alaphalmazon ugyanaz a megoldáshalmaza, akkor ezeket az egyenleteket ekvivalensnek mondjuk a tekintett alaphalmazon.
Az ekvivalens szó latin eredetű, magyarul egyenértékűt jelent.
Ha olyan átalakításokat végzünk egy egyenlet megoldásakor, amely során nem változnak meg az egyenlet gyökei, akkor azt mondjuk, hogy ekvivalens átalakításokat végeztünk.
Például ilyen átalakítás lehet a mérlegelv alkalmazása.
Figyelnünk kell azonban az egyenletek rendezése közben:

1. Ha négyzetre emeljük egy egyenlet mindkét oldalát, akkor lehetséges, hogy az új egyenletnek már több gyöke van az alaphalmazon, mint az eredeti egyenletnek.
Ebben az esetben tehát hamis gyököket kaphatunk.
Behelyettesítéssel ellenőrizni kell, hogy a kapott gyökök megoldásai-e az eredeti egyenletnek.

2. Ha az (f(x))^2 = (g(x))^2 egyenlet helyett az f(x) = g(x) egyenletet vizsgáljuk, akkor lehetséges, hogy az új egyenletnek kevesebb gyöke van, mint az eredetinek, és nem találjuk meg így a feladat összes megoldását. Ilyenkor tehát gyököket veszíthetünk.

KIDOLGOZOTT FELADAT

2. Oldjuk meg a Rx = x - 2 egyenletet a valós számok halmazán!

FELADAT

3. Megegyeznek-e a két egyenlet gyökei a valós számok halmazán?
a) 3 2 x 7 x 4 = 5x +13

b) (x + 8)^2 = (4 - 3x)^2 és x + 8 = 4 - 3x

//a) igen (megoldás: 39/17) b) nem (megoldások: 6 és -1; illetve -1)

4. Ekvivalens-e az R alaphalmazon
a) az x^2 + = egyenlet és az x x x 2 + 2 = 2 egyenlet;

b) az 5x + 1x = 1x egyenlet és az 5x = 0 egyenlet;

c) az x x egyenlet és a 3^x - 3h = -2^x + 2h egyenlet?

//a) nem (nincs megoldás, illetve a 0) b) nem (nincs megoldás, illetve a 0) c) igen (megoldás: 1)

5. Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán!
a) x = 6 - x
b) 2x = 4 - x

//a) 4 b) 2

6. Ekvivalens-e az R alaphalmazon a két egyenlet?
a) x = 2 - x és x = (2 - x)2

b) x = x + 10 és x = x^2 + 20x + 100

//a) nem (megoldások: 1; illetve 1 és 4) b) igen (nincs megoldás)

HÁZI FELADAT

1. Ekvivalens-e egymással az R alaphalmazon a következő két-két egyenlet?
a) x^2 -16 = 0 és x^2 -16 = 0

b)3 0 2 + = és 3x = 0

//a) igen b) igen
2. Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán!
a) x = x - 6

b) 3x = 6 - x

//a) 9 b) 3
3. A három egyenlet közül kettő ekvivalens egymással a valós számok halmazán, a harmadik nem.
Mely egyenletek ekvivalensek?
a) | 2x - 1 | = 5
(2x - 1)^2 = 25
2x - 1 = 25

b) R(x + 8) = 3x
x + 8 = 9x^2
9x^2 - x - 8 = 0

//a) az első és a második b) a második és a harmadik

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
dátum: