Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
BEVEZETŐ
Egyenletrendszer megoldása esetén a grafi kus módszer nehézségei:– az eljárás megköveteli a grafi konok pontos ábrázolását,
– nem lehet minden esetben pontosan leolvasni a metszéspontok koordinátáit,
– minden esetben ellenőrzést kell végezni a leolvasott értékekkel az egyenletekbe való visszahelyettesítéssel.
Az említett nehézségek egy része elkerülhető az algebrai megoldási módszerek használatával.
KIDOLGOZOTT FELADAT
1. Oldjuk meg az
5x + 7y = 19
2x − 7y = −12
egyenletrendszert a valós számok halmazán!
5x + 7y = 19
2x − 7y = −12
egyenletrendszert a valós számok halmazán!
2. Oldjuk meg a
3x + 2y = 11
2x + 3y = 9
egyenletrendszert!
3x + 2y = 11
2x + 3y = 9
egyenletrendszert!
ELMÉLET
Behelyettesítő módszer:
↓ Az egyik egyenletből kifejezem valamelyik ismeretlent.
↓ Beírom a másik egyenletbe, az ismeretlen helyébe.
↓ Egyismeretlenes egyenletet kapok, ezt megoldom.
Megkapom az egyik ismeretlen értékét.
↓ A kiszámított értéket behelyettesítem az egyik eredeti egyenletbe, így kiszámolom a másik ismeretlen értékét is.
↓Ellenőrzöm a megoldást mindkét egyenletre.
A módszer hátránya, hogy bonyolult (pl. törtes) egyenletekre vezethet a megoldás menete.↓ Beírom a másik egyenletbe, az ismeretlen helyébe.
↓ Egyismeretlenes egyenletet kapok, ezt megoldom.
Megkapom az egyik ismeretlen értékét.
↓ A kiszámított értéket behelyettesítem az egyik eredeti egyenletbe, így kiszámolom a másik ismeretlen értékét is.
↓Ellenőrzöm a megoldást mindkét egyenletre.
Összehasonlító módszer:
↓ Mindkét egyenletből kifejezem ugyanazt az ismeretlent.
↓ A kapott kifejezések egyenlőek, így felírom ezek egyenlőségét.
↓ Egyismeretlenes egyenletet kapok, ezt megoldom.
Megkapom az egyik ismeretlen értékét.
↓ A kiszámított értéket behelyettesítem az egyik eredeti egyenletbe, így kiszámolom a másik ismeretlen értékét is.
↓ Ellenőrzöm a megoldást mindkét egyenletre.
A módszer hátránya, hogy bonyolult (pl. törtes) egyenletekre vezethet a megoldás menete.↓ A kapott kifejezések egyenlőek, így felírom ezek egyenlőségét.
↓ Egyismeretlenes egyenletet kapok, ezt megoldom.
Megkapom az egyik ismeretlen értékét.
↓ A kiszámított értéket behelyettesítem az egyik eredeti egyenletbe, így kiszámolom a másik ismeretlen értékét is.
↓ Ellenőrzöm a megoldást mindkét egyenletre.
Egyenlő együtthatók módszere:
↓ Az egyenleteket külön-külön megszorzom úgy, hogy az egyik ismeretlen együtthatói egyenlő abszolút értékű (0-tól különböző) számok legyenek.
↓ Ha az együtthatók egyenlők, akkor „kivonom az egyik egyenletből a másikat”.
↓ Ha az együtthatók ellentettek, „összeadom a két egyenletet”.
Egyismeretlenes egyenletet kapok, ezt megoldom.
↓ Megkapom az egyik ismeretlen értékét.
A kiszámított értéket behelyettesítem az egyik eredeti egyenletbe, így kiszámolom a másik ismeretlen értékét is.
↓ Ellenőrzöm a megoldást mindkét egyenletre.
↓ Ha az együtthatók egyenlők, akkor „kivonom az egyik egyenletből a másikat”.
↓ Ha az együtthatók ellentettek, „összeadom a két egyenletet”.
Egyismeretlenes egyenletet kapok, ezt megoldom.
↓ Megkapom az egyik ismeretlen értékét.
A kiszámított értéket behelyettesítem az egyik eredeti egyenletbe, így kiszámolom a másik ismeretlen értékét is.
↓ Ellenőrzöm a megoldást mindkét egyenletre.
A módszer előnye, hogy elkerülhető a bonyolult (pl. törtes) egyenletekre való visszavezetés.
Mindhárom algebrai megoldási módszer esetén olyan átalakításokat végzünk az egyes egyenletekkel, amelyek során nem veszítünk el megoldásokat, és hamis megoldásokat sem kapunk.
Ilyen átalakítások az egyenletek nullától különböző számmal való szorzása, az egyenletek (az egyenletek többszöröseinek) összeadása vagy kivonása.
Egy elsőfokú, kétismeretlenes egyenletrendszer megoldását megadhatjuk x és y összetartozó értékeinek felsorolásával, vagy (x; y) rendezett valós számpár formájában.
FELADAT
1. Oldd meg algebrai módszerrel az egyenletrendszereket!
7x − 5y = −1
7x + 5y = −41
Megoldás:
x =
y =
✓ ✗
b)
x + 9y = 20
4x − 7y = 37
Megoldás:
x =
y =
✓ ✗
c)
12x + 35y = −5
8x − 5y = 8
Megoldás:
x =
y =
✓ ✗
Adatbevitel:
n = nincs megoldás
v = végtelen sok megoldás
a)n = nincs megoldás
v = végtelen sok megoldás
7x − 5y = −1
7x + 5y = −41
Megoldás:
x =
y =
✓ ✗
b)
x + 9y = 20
4x − 7y = 37
Megoldás:
x =
y =
✓ ✗
c)
12x + 35y = −5
8x − 5y = 8
Megoldás:
x =
y =
✓ ✗
2. Hány megoldása van az alábbi egyenletrendszereknek?
a)
0,6x − 2y = 8
3x − 10y = 20
Megoldás:
x =
y =
✓ ✗
b)
0,6x − 2y = 4
3x − 10y = 20
Megoldás:
x =
y =
✓ ✗
a)
0,6x − 2y = 8
3x − 10y = 20
Megoldás:
x =
y =
✓ ✗
b)
0,6x − 2y = 4
3x − 10y = 20
Megoldás:
x =
y =
✓ ✗
3. Oldd meg az egyenletrendszereket!
a)
3(2x + 5y) - 4(3x + 2y) = -64
5(y - 3x) + 4(x - 5y) = -6
Megoldás:
x =
y =
✓ ✗
b)
(x -1)² + 2y = x² + 1
(y - 2)² + 4x = y² + 6
Megoldás:
x =
y =
✓ ✗
a)
3(2x + 5y) - 4(3x + 2y) = -64
5(y - 3x) + 4(x - 5y) = -6
Megoldás:
x =
y =
✓ ✗
b)
(x -1)² + 2y = x² + 1
(y - 2)² + 4x = y² + 6
Megoldás:
x =
y =
✓ ✗
4. Az iskolai rendezvényre készülve a főszervező diák a székeket számolgatja:
„Ez most 20 szék soronként.
Ha áthelyeznénk a színpadot, akkor 3 sorral kevesebb lenne ugyan, de soronként 30 szék is elférne, és akkor 50-nel többen tudnának leülni.”
Hány szék van most a teremben?
✓ ✗
„Ez most 20 szék soronként.
Ha áthelyeznénk a színpadot, akkor 3 sorral kevesebb lenne ugyan, de soronként 30 szék is elférne, és akkor 50-nel többen tudnának leülni.”
Hány szék van most a teremben?
✓ ✗
HÁZI FELADAT
1. Oldd meg az egyenletrendszereket algebrai módszerrel!
a)
2x −9y = 4
2y −9x = 59
x =
y =
b)
3/5x - 4/3y = 11
2/15x + 1/6y = -1/3
x =
y =
c)
2(5x −4y)−3(2x − y)= −8
4(3y −2x)+ 2(5x − y)= −4
x =
y =
a)
2x −9y = 4
2y −9x = 59
x =
y =
b)
3/5x - 4/3y = 11
2/15x + 1/6y = -1/3
x =
y =
c)
2(5x −4y)−3(2x − y)= −8
4(3y −2x)+ 2(5x − y)= −4
x =
y =
2. Egy kórház egyik új szárnyában összesen 16 kórterem kialakítását tervezik.
A kórtermek kétágyasak vagy négyágyasak lehetnek.
a) Az egyik terv szerint összesen 54 ágyat helyeznének el.
Hány szoba lehetne kétágyas?
b) Egy másik terv legalább 10 kétágyas szoba kialakítását javasolja.
Hány ágyat tudnának elhelyezni?
Legalább , legfeljebb ágyat.
c) Az építési engedélyben az szerepel, hogy legfeljebb 8 kétágyas szoba alakítható ki.
Hány ágyat tudnak elhelyezni?
Legalább , legfeljebb ágyat.
A kórtermek kétágyasak vagy négyágyasak lehetnek.
a) Az egyik terv szerint összesen 54 ágyat helyeznének el.
Hány szoba lehetne kétágyas?
b) Egy másik terv legalább 10 kétágyas szoba kialakítását javasolja.
Hány ágyat tudnának elhelyezni?
Legalább , legfeljebb ágyat.
c) Az építési engedélyben az szerepel, hogy legfeljebb 8 kétágyas szoba alakítható ki.
Hány ágyat tudnak elhelyezni?
Legalább , legfeljebb ágyat.
3. Egy nemzetközi expresszbusz a kedvező forgalmi viszonyok miatt 8 km/h-val nagyobb átlagsebességgel tudott haladni, mint amit a menetrend előír, így 48 perccel a kiírt időpont előtt érkezett meg.
Egy másik alkalommal a csúszós utak miatt az előírt átlagsebességnél 12 km/h-val lassabban tudott csak haladni, így 1 óra 36 percet késett.
Mennyi az előírt átlagsebesség?
Mekkora utat kell megtennie a busznak a két végállomás között?
Az átlagsebesség km/h, a távolság km
Egy másik alkalommal a csúszós utak miatt az előírt átlagsebességnél 12 km/h-val lassabban tudott csak haladni, így 1 óra 36 percet késett.
Mennyi az előírt átlagsebesség?
Mekkora utat kell megtennie a busznak a két végállomás között?
Az átlagsebesség km/h, a távolság km
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
