Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
FELADAT
1. Határozd meg, hol van zérushelye és szélsőértéke a következő, a valós számok halmazán értelmezett függvényeknek!
a) f(x) = x^2 +112x
//a) 0; -112; -56
✓ ✗
b) g(x) = 14x^2 -168x
//b) 0; 12; 6
✓ ✗
a) f(x) = x^2 +112x
//a) 0; -112; -56
✓ ✗
b) g(x) = 14x^2 -168x
//b) 0; 12; 6
✓ ✗
2. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a valós számok halmazán értelmezett függvények grafikonját!
a) f(x) = x^2 - 3x ;
g(x) = x^2 - 3x - 2
✓
✗
b) f(x) = 2x^2 - 8x ;
g(x) = 2x^2 - 8x + 7
✓
✗
a) f(x) = x^2 - 3x ;
g(x) = x^2 - 3x - 2
b) f(x) = 2x^2 - 8x ;
g(x) = 2x^2 - 8x + 7
3. Egy matematikai modell szerint ha egy terepjáró 1 liter üzemanyaggal x km-t képes megtenni, akkor a terepjáró szén-dioxid-kibocsátása 50 000 km-en, kg-ban mérve: d(x) = 200x^2 - 5200x + 44 000.
Ez a matematikai modell akkor érvényes, ha 4,8 ≤ x ≤ 13,2.
A matematikai modell alapján elemezd a terepjárók szén-dioxid-kibocsátását!
a) Hány liter üzemanyagot fogyaszt 100 km-en az a terepjáró, amely 1 liter üzemanyaggal 4,8 km-t képes megtenni?
És az, amelyik 13,2 km-t?
✓ ✗
b) A modell szerint hány km-t képes megtenni 1 liter üzemanyaggal az a terepjáró, amelyik a legkevesebb szén-dioxidot bocsátja ki?
Hány liter üzemanyagot fogyaszt 100 km-en ez a terepjáró?
✓ ✗
c) Hány kilogramm szén-dioxidot juttat a légkörbe 50 000 km-en a legkevésbé szennyező terepjáró?
És az, amelyik a legtöbb szén-dioxidot bocsátja ki?
✓ ✗
//a) ≈20,8 l; ≈7,6 l b) 13 km; ≈7,7 l c) 10200 kg; 23648 kg
Ez a matematikai modell akkor érvényes, ha 4,8 ≤ x ≤ 13,2.
A matematikai modell alapján elemezd a terepjárók szén-dioxid-kibocsátását!
a) Hány liter üzemanyagot fogyaszt 100 km-en az a terepjáró, amely 1 liter üzemanyaggal 4,8 km-t képes megtenni?
És az, amelyik 13,2 km-t?
✓ ✗
b) A modell szerint hány km-t képes megtenni 1 liter üzemanyaggal az a terepjáró, amelyik a legkevesebb szén-dioxidot bocsátja ki?
Hány liter üzemanyagot fogyaszt 100 km-en ez a terepjáró?
✓ ✗
c) Hány kilogramm szén-dioxidot juttat a légkörbe 50 000 km-en a legkevésbé szennyező terepjáró?
És az, amelyik a legtöbb szén-dioxidot bocsátja ki?
✓ ✗
//a) ≈20,8 l; ≈7,6 l b) 13 km; ≈7,7 l c) 10200 kg; 23648 kg
4. Veszélyes hulladék megsemmisítése Egy amerikai államban egy tanulmány részeként a veszélyes hulladékok kezelésével is foglalkoztak.
A veszélyes hulladéknak a PCP (pentaklórfenol) eltávolítása céljából történő kezelési költsége növekszik az eltávolított PCP mennyiségének növekedésével.
Egy matematikai modell szerint ha naponta x kilogramm PCP-t távolítanak el, akkor a költség dollárban kifejezve:
k(x) = 2000 + 100x^2.
Az állam PCP-kilogrammonként 500 dollárt átvállal a költségekből.
Elemezzük a nettó (az állami hozzájárulás következtében kialakuló) költséget a matematikai modell alapján, a naponta megsemmisített PCP menynyiségének függvényében!
a) Ábrázold közös koordináta-rendszerben, hogy x kg PCP megsemmisítése esetén :
– Hogyan alakulnának a költségek, ha nem lenne hozzá állami támogatás?
– Hogyan alakulnak a költségek az állam támogatásával?
Válassz olyan egységeket a vízszintes és a függőleges tengelyekre, hogy szemléletesek legyenek a grafikonok!
✓
✗
//(az x tengelyen az egység 1 kg, az y tengelyen az egység 100 dollár)
b) Hány kg PCP megsemmisítése esetén lesz a napi költség a legkisebb?
Mekkora ez a legkisebb napi költség?
✓ ✗
//2,5 kg
c) Mire tudnál még következtetni a költségekre felírt k(x) függvényből?
✓ ✗
A veszélyes hulladéknak a PCP (pentaklórfenol) eltávolítása céljából történő kezelési költsége növekszik az eltávolított PCP mennyiségének növekedésével.
Egy matematikai modell szerint ha naponta x kilogramm PCP-t távolítanak el, akkor a költség dollárban kifejezve:
k(x) = 2000 + 100x^2.
Az állam PCP-kilogrammonként 500 dollárt átvállal a költségekből.
Elemezzük a nettó (az állami hozzájárulás következtében kialakuló) költséget a matematikai modell alapján, a naponta megsemmisített PCP menynyiségének függvényében!
a) Ábrázold közös koordináta-rendszerben, hogy x kg PCP megsemmisítése esetén :
– Hogyan alakulnának a költségek, ha nem lenne hozzá állami támogatás?
– Hogyan alakulnak a költségek az állam támogatásával?
Válassz olyan egységeket a vízszintes és a függőleges tengelyekre, hogy szemléletesek legyenek a grafikonok!
//(az x tengelyen az egység 1 kg, az y tengelyen az egység 100 dollár)
b) Hány kg PCP megsemmisítése esetén lesz a napi költség a legkisebb?
Mekkora ez a legkisebb napi költség?
✓ ✗
//2,5 kg
c) Mire tudnál még következtetni a költségekre felírt k(x) függvényből?
✓ ✗
5. Egy 20 cm hosszú cérnaszállal téglalap alakú síkrészt kerítünk el.
a) Ha a téglalap egyik oldalának hossza x cm, akkor hány cm hosszú a téglalap másik oldala, és hány cm2 a téglalap területe?
✓ ✗
b) Ábrázold az oldalhossz és a terület kapcsolatát!
✓ ✗
c) Melyik x-hez tartozik a legnagyobb terület?
✓ ✗
//a) a másik oldala: 10 – x; a területe: x(10 – x)
b) T(x) = x(10 – x) , ami átalakítás után T(x)=-x2 +10x = - (x-5)2 + 25
✓ ✗
c) x = 5 esetén a legnagyobb a terület, mely ekkor T=25 (cm2)
✓ ✗
a) Ha a téglalap egyik oldalának hossza x cm, akkor hány cm hosszú a téglalap másik oldala, és hány cm2 a téglalap területe?
✓ ✗
b) Ábrázold az oldalhossz és a terület kapcsolatát!
✓ ✗
c) Melyik x-hez tartozik a legnagyobb terület?
✓ ✗
//a) a másik oldala: 10 – x; a területe: x(10 – x)
b) T(x) = x(10 – x) , ami átalakítás után T(x)=-x2 +10x = - (x-5)2 + 25
✓ ✗
c) x = 5 esetén a legnagyobb a terület, mely ekkor T=25 (cm2)
✓ ✗
HÁZI FELADAT
1. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a valós
számok halmazán értelmezett függvények grafikonját!
a) f(x) = x ;
g(x) = x + 1,5 ;
h(x) = x + 1,5 - 2,5;
b) f(x) = 2x^2 + 6x ;
g(x) = 2x^2 + 6x - 1
a) f(x) = x ;
g(x) = x + 1,5 ;
h(x) = x + 1,5 - 2,5;
b) f(x) = 2x^2 + 6x ;
g(x) = 2x^2 + 6x - 1
2. Egy terepjáró átlagos, kilogrammban mért tömege egy matematikai modell szerint a következőképpen függ a terepjáró évjáratától:
m(t) = 1,5t2 - 45t + 2100, ahol 5 ≤ t ≤ 27, és t az időt jelöli.
A t = 0 érték azt jelenti, hogy 1970-ben, a t = 5 azt, hogy 1975-ben és így tovább, a t = 27 azt, hogy 1997-ben gyártották a gépkocsit.
A modell szerint
a) mekkora volt a terepjárók átlagos tömege 1975-ben, 1980-ban, 1990-ben;
b) melyik évben csökkent és melyikben növekedett a terepjárók átlagos tömege;
c) melyik évben volt a legkisebb a terepjárók átlagos tömege, és ez hány kg volt;
d) mekkora volt a terepjárók átlagos tömege 2000-ben?
//a) 1912,5 kg; 1 800 kg; 1800 kg b) 5≤𝑡𝑡≤15 csökkent (1975-1985); 15≤𝑡𝑡≤27 nőtt (1985-1997) c) 1985-ben; 1762,5 kg d) erről a modell nem szól, mert t = 30 lenne!
m(t) = 1,5t2 - 45t + 2100, ahol 5 ≤ t ≤ 27, és t az időt jelöli.
A t = 0 érték azt jelenti, hogy 1970-ben, a t = 5 azt, hogy 1975-ben és így tovább, a t = 27 azt, hogy 1997-ben gyártották a gépkocsit.
A modell szerint
a) mekkora volt a terepjárók átlagos tömege 1975-ben, 1980-ban, 1990-ben;
b) melyik évben csökkent és melyikben növekedett a terepjárók átlagos tömege;
c) melyik évben volt a legkisebb a terepjárók átlagos tömege, és ez hány kg volt;
d) mekkora volt a terepjárók átlagos tömege 2000-ben?
//a) 1912,5 kg; 1 800 kg; 1800 kg b) 5≤𝑡𝑡≤15 csökkent (1975-1985); 15≤𝑡𝑡≤27 nőtt (1985-1997) c) 1985-ben; 1762,5 kg d) erről a modell nem szól, mert t = 30 lenne!
3. Egy 20 cm hosszú cérnaszállal téglalap alakú síkrészt kerítünk el úgy, hogy a téglalap egyik oldala egy hosszú hurkapálca egy része, és csak a másik három oldal cérna.
a) Ha a téglalap egyik oldalának hossza x cm, akkor hány cm hosszú a téglalap másik oldala, és hány cm2 a téglalap területe?
(Két lehetőség is van!)
b) Ábrázold az oldalhossz és a terület kapcsolatát!
c) Melyik x-hez tartozik a legnagyobb terület?
//a) a másik oldal: egyik esetben 20-2x ; másik esetben 10-0,5x b) egyik esetben T(x)= x(20-2x)= -2x2 + 20 másik esetben T(x)= x(10-0,5x)= -0,5x2 + 10x
c) egyik esetben x= 5 esetén legnagyobb a terület; ekkor T=50 cm2
Hasonlítsd össze a lecke 4. feladatára kapott választ a most adott válasszal!
Mit tapasztalsz?
//másik esetben x= 10 esetén legnagyobb a terület; ekkor T=50 cm2 a két terület értéke megegyezik
a) Ha a téglalap egyik oldalának hossza x cm, akkor hány cm hosszú a téglalap másik oldala, és hány cm2 a téglalap területe?
(Két lehetőség is van!)
b) Ábrázold az oldalhossz és a terület kapcsolatát!
c) Melyik x-hez tartozik a legnagyobb terület?
//a) a másik oldal: egyik esetben 20-2x ; másik esetben 10-0,5x b) egyik esetben T(x)= x(20-2x)= -2x2 + 20 másik esetben T(x)= x(10-0,5x)= -0,5x2 + 10x
c) egyik esetben x= 5 esetén legnagyobb a terület; ekkor T=50 cm2
Hasonlítsd össze a lecke 4. feladatára kapott választ a most adott válasszal!
Mit tapasztalsz?
//másik esetben x= 10 esetén legnagyobb a terület; ekkor T=50 cm2 a két terület értéke megegyezik
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
