16 A GYÖKVONÁS AZONOSSÁGAI

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_I__teljes.pdf
Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf

BEVEZETŐ

Régről ismert egy hamis bizonyítás arra, hogy 64 = 65.

A 8 egység oldalú négyzetet az ábra szerint vágjuk négy síkidomra!
Ezekből rakjuk ki az alsó ábra szerinti téglalapot!
Mivel a két síkidom ugyanazokból a részekből áll, területük egyenlő:
8 ⋅ 8 = 5 ⋅ 13, azaz
64 = 65.

Hol a hiba?

Tényleg hézag nélkül tölti ki a négy síkidom az 5 × 13-as téglalapot?
Vajon egy egyenesbe esik a téglalapban az I. trapéz szára és a II. háromszög átfogója?
Hasonlítsuk össze a téglalap UV átlóját a PQ és RS szakaszok összegével!
Pitagorasz-tétellel:
UV = `sqrt(5^2 +13^2) = sqrt(194) ≈ 13,93` és
PQ + RS = `sqrt(5^2 + 2^2) + sqrt(8^2 + 3^2) = sqrt(29) + sqrt(73) ≈ 13,93`.

Két szám egyenlőségéhez nem elég azonban csak a közelítő értékeiket vizsgálni.
Azt tudjuk, hogy mindkét szám pozitív, hasonlítsuk össze a négyzetüket!
`sqrt(29) + sqrt(73) = 29 + 73 + 2*sqrt(29)*sqrt(73) = 102 + 2*sqrt(29)*sqrt(73)`
`(sqrt(194))^2 = 194 = 102 + 2*46`
Melyik nagyobb: `sqrt(29)*sqrt(73)` vagy 46?
Hasonlítsuk össze a négyzetüket!
(`(sqrt(29)*sqrt(73))^2 = 29*73 = 2117`, de 46^2 = 2116.
Azt kaptuk, hogy PQ + RS > UV, vagyis az I. és II. részek (és ugyanígy a III. és IV. részek) összeillesztése után nem háromszöget kapunk, hanem egy konkáv négyszöget!
A négy síkidom nem hézagmentesen tölti ki a téglalapot.

ELMÉLET

Ismétlés:
Definíció:
Egy nemnegatív valós a szám négyzetgyöke az a nemnegatív valós szám, melynek négyzete a, vagyis bármely a ∈ R0+ esetén a `(sqrt(a))^2 =a` .
Negatív számoknak nem létezik négyzetgyöke, mert nincs olyan valós szám, melynek négyzete negatív lenne.
Például:
√64 = 8, mert 8^2 = 64;
√169 = 13, mert 13^2 = 169;
√289 = 17, mert 17^2 = 289.

KIDOLGOZOTT FELADAT

Számológép használata nélkül számoljuk ki 8 és 2 szorzatának, valamint hányadosának pontos értékét!

Megoldás:

A √8 és √2 is irracionális szám, így nehezen tudnánk elvégezni a számolást.
A keresett számok meghatározásához használjuk a négyzetgyök definícióját!
`(sqrt(8)*sqrt(2))^2=(sqrt(8))^2*(sqrt(2))^2=8*2=16.`
Tudjuk, hogy van olyan pozitív szám, melynek négyzete ugyancsak 16, mivel 4^2 = 16.
Az előbbiekből következik, hogy `sqrt(8)*sqrt(2) = 4`, ebből adódik, hogy `sqrt(8)*sqrt(2) = sqrt(16) = sqrt(8 * 2)` .
Járjunk el hasonlóan a hányados esetén.
`(sqrt(8)/sqrt(2))^2=(sqrt(8))^2/((sqrt(2))^2) = 4`.
Van olyan pozitív szám, melynek négyzete ugyancsak 4, mivel 2^2 = 4.
Az előbbiekből következik, hogy `sqrt(8)/sqrt(2) = 2`, és ebből adódik, hogy `sqrt(8)/sqrt(2)=sqrt(4)=sqrt(8/2)`.

ELMÉLET

1. A négyzetgyökvonás azonosságai

Szorzat négyzetgyöke egyenlő a tényezők négyzetgyökének szorzatával (ha a tényezők nem negatív számok).	`sqrt(a * b) = sqrt(a)*sqrt(b)` , ha a ≥ 0; b ≥ 0
Például: `sqrt(81*16) = sqrt(81)*sqrt(16) = 9 * 4 = 36`; `sqrt(2)*sqrt(8) = sqrt(16) = 4` (de az értelmezés miatt nem áll fenn, hogy `sqrt(-2)*sqrt(-8) = sqrt(16) = 4`)
Tört négyzetgyöke egyenlő a számláló és a nevező négyzetgyökének hányadosával (ha a számláló nem negatív, a nevező pozitív szám).	`sqrt(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b)`, ha a ≥ 0; b > 0
Például: `sqrt(49/64) = sqrt(49)/sqrt(64) = 7/8` ; `sqrt(52)/sqrt(13) = sqrt(52/13) = sqrt(4) = 2`
Hatvány négyzetgyöke egyenlő a hatványalap négyzetgyökének hatványával (ha a hatványalap nem negatív).	`sqrt(a^n)=(sqrt(a))^n`, ha a > 0; n ∈ Z
Például: `sqrt(16^3) = sqrt(16)^3 = 4^3 = 64`; `(sqrt(3))^4 = sqrt(3^4) = sqrt(81) = 9`

A normálalakban megadott szám négyzetgyökét akkor tudjuk az azonosságok segítségével könnyen meghatározni, ha a normálalakban a 10 kitevője páros szám.
Ha a kitevő páratlan, akkor alakítsuk a normálalakban megadott számot olyan szorzattá, amelyben a 10 kitevője páros.

Például:
`sqrt(9*10^6) = sqrt(9)*sqrt(10^6) = 3 * 10^3` , mert `(3 · 10^3)^2 = 9 · 10^6`;
`sqrt(8,1 * 10^5) = sqrt(81 * 10^4) = 9 * 10^2` , mert `(9 · 10^2)^2 = 81 · 10^4`.

2. Gyökvonás egy valós szám négyzetéből

Vizsgáljuk meg a `sqrt(a^2)` kifejezést!
a) A négyzetgyökvonás értelmezése miatt teljesülnie kell az 0 ≤ a^2 relációnak.
Tudjuk, hogy bármely valós szám négyzete nemnegatív, ezért a bármilyen valós szám lehet, tehát a ∈ R.
b) Vizsgáljuk a kifejezést az a lehetséges előjelei szerint egy-egy példán keresztül!
Legyen a = -3, ekkor `sqrt((-3)^2) = sqrt(9) = 3 =-(-3)`.
Legyen a = 5, ekkor `sqrt(5^2) = sqrt(25) = 5`.
Ha a negatív valós szám, akkor a művelet eredménye az eredeti szám ellentettje, ha a nemnegatív valós szám, akkor a művelet eredménye az eredeti szám értéke, azaz bármely esetben az eredeti szám abszolút értékét kaptuk.
`sqrt(a^2) = |a|` ahol a ∈ R.

FELADAT

1. Számológép használata nélkül döntsd el, melyik művelet eredménye ad racionális, melyik irracionális számot!
a) `sqrt(50) * sqrt(8)` = és a `sqrt(50) : sqrt(8)` = ✓ ✗
b) `sqrt(72) * sqrt(8)` = és a `sqrt(72) : sqrt(8)` = ✓ ✗
c) `sqrt(72) * sqrt(50)` = és a `sqrt(72) : sqrt(50)` = ? ✓ ✗

---

2. Határozd meg az alábbi kifejezések pontos értékét számológép használata nélkül!
a) `sqrt(49 * 81)` = ✓ ✗
b) `sqrt(64 * 0,04)` = ✓ ✗
c) `sqrt(0,00000036)` = ✓ ✗
d) `sqrt(25 * 10^8)` = ✓ ✗
e) `sqrt(16/49)` = / ✓ ✗
f) `sqrt(9/25 * 49)` = / ✓ ✗

---

3. Igazold, hogy
a) `2sqrt(2) = sqrt(8)`
`2sqrt(2)` = √*   ✓ ✗
b) `sqrt(8) : sqrt(2) = 2`
`sqrt(8) : sqrt(2)` = √  ✓ ✗
c) `7/sqrt(7) = sqrt(7)`;
`7/sqrt(7)` = √/   ✓ ✗
d)`sqrt(8)/sqrt(98)=sqrt(8/98)=2/7`
`sqrt(8)/sqrt(98)=sqrt(8/98)` = √ /   ✓ ✗
e)`sqrt(54)/sqrt(6)=sqrt(54/6)=3`
`sqrt(54)/sqrt(6)=sqrt(54/6)` = √   ✓ ✗

---

4. Melyik szám négyzetgyökeként írható fel a szorzat?
Hogyan lehet „bevinni a gyökjel alá” a szorzótényezőt?
Figyeld meg: `3 * sqrt(10) = sqrt(9) * sqrt(10) = sqrt(9 * 10) = sqrt(90)`
a) `2 * sqrt(7) = ` √  ✓ ✗
b) `5 * sqrt(6) = ` √  ✓ ✗
c) `10 * sqrt(19) = ` √  ✓ ✗
d) `12 * sqrt(3) = ` √  ✓ ✗

---

5. Figyeld meg: `sqrt(75) = sqrt(25 * 3) = sqrt(25) * sqrt(3) = 5 *sqrt(3)` .
A példa alapján írd fel szorzatként a következő számokat("kiemelés a gyökjel alól"):
`sqrt(12)` = `*sqrt(3)` ✓ ✗
`sqrt(20)` = `*sqrt(5)` ✓ ✗
`sqrt(300)` = `*sqrt(3)` ✓ ✗
`sqrt(45)` = `*sqrt(5)` ✓ ✗
`sqrt(25a)` = `*sqrt(a)` ✓ ✗
(a ≥ 0).

---

6. Vond össze a tagokat! (a ≥ 0)
a) `sqrt(a) + sqrt(4a)` = `*sqrt(a)` ✓ ✗
b) `sqrt(2) + sqrt(50) - sqrt(18)` = `*sqrt(2)` ✓ ✗

---

7. Végezd el a négyzetre emelést!
(ismétlésképpen: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 )
a) `(sqrt(5) + sqrt(7))^2` = +2*√ ✓ ✗
b) `(sqrt(13) + sqrt(11))^2` = +2*√ ✓ ✗

---

8.Közelítő értékek használata nélkül határozd meg, melyik szám a nagyobb!
a) A = `sqrt(34) + sqrt(18)` vagy B = `sqrt(102)` Az A a nagyobb. A B a nagyobb. Egyenlők. ✓ ✗
b) A = `sqrt(46) + sqrt(51)` vagy B = `sqrt(195)` Az A a nagyobb. A B a nagyobb. Egyenlők. ✓ ✗

Feladatok

HÁZI FELADAT

1. Egy téglalap egyik oldalának hossza `sqrt(6)` .
Mekkora a másik oldal hossza, ha a téglalap területe
a) `sqrt(24)` =
b) `sqrt(150)` =
c) `sqrt(0,06)` =
d) `sqrt(6^3)` =

---

2. Számolj gyorsan, számológép nélkül!
a) `sqrt(2) * sqrt(2) * sqrt(2) * sqrt(3) * sqrt(2) * sqrt(3)` =
b) `sqrt(18)/3 + 2/sqrt(2) -2*sqrt(2) ` =
c) `(3/sqrt(3)+5/sqrt(5))(sqrt(3) - sqrt(5))` =

---

3. Melyik a nagyobb?
Ne használj számológépet!
a) A = `sqrt(18)` vagy B = `sqrt(2,5) * sqrt(7,5)`   Az A a nagyobb. A B a nagyobb. Egyenlők.
b) A = `sqrt(7)` vagy B = `sqrt(23,8)/sqrt(3,4)`  Az A a nagyobb. A B a nagyobb. Egyenlők.
c) A = `sqrt(32)` vagy B = `(sqrt(2))^5`  Az A a nagyobb. A B a nagyobb. Egyenlők.

---

4. Közelítő értékek használata nélkül döntsd el, hogy melyik szám a nagyobb!
a) A = `sqrt(505)` vagy B = `sqrt(194) + sqrt(73)`   Az A a nagyobb. A B a nagyobb. Egyenlők.
b) A = `sqrt(1325)` vagy B = `sqrt(194) + sqrt(505)`  Az A a nagyobb. A B a nagyobb. Egyenlők.

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /