Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
ELMÉLET
A középpontos nagyítás és kicsinyítés összefoglaló neve egy geometriai transzformáció, a középpontos hasonlóság.
Adott egy O pont (a középpontos hasonlóság középpontja) és egy k pozitív valós szám (a hasonlóság aránya).
A tér bármely P pontjához hozzárendeljük a Pl pontot úgy, hogy – az O pont képe önmaga (azaz O = Ol);
– ha P ! O, akkor Pl az OP félegyenesének azon pontja, melyre igaz, hogy az OPl szakasz hossza az OP szakasz hosszának k-szorosa.
Ez a hozzárendelés középpontos nagyítás, ha 1 1 k, középpontos kicsinyítés, ha k 1 1, egybevágósági transzformáció, ha k = 1.
Szokás a középpontos hasonlóságot negatív k-ra is értelmezni, ekkor a transzformáció a | k | arányú, O középpontú középpontos hasonlóság és egy O középpontú tükrözés egymásutánja.
Definíció:
Ha két alakzathoz van olyan középpontos hasonlóság, amely az egyiket a másikba viszi át, akkor ezeket a alakzatokat középpontosan hasonlóknak mondjuk.
Például az ABC háromszög középpontosan hasonló az AlBlCl háromszöghöz; az ABCDEO gúlához középpontosan hasonló a másik két, szintén O csúcsú gúla (amelyeknek az alaplapja párhuzamos az ABCDE lappal).
– pont képe pont;
– egyenes képe egyenes, a kapott egyenes egybeesik az eredeti egyenessel, ha ez az egyenes illeszkedik az O pontra, párhuzamos az eredeti egyenessel, ha ez az egyenes nem illeszkedik az O pontra;
– szög képe vele egyenlő nagyságú szög;
– szakasz képe k-szor olyan hosszú szakasz, mint az eredeti szakasz.
A középpontos hasonlóság további fontos tulajdonságai:
– kör képe kör, melynek sugara az eredeti sugár k-szorosa;
– sokszög képe sokszög, e két sokszög megfelelő szögei egyenlők, megfelelő oldalai párhuzamosak (a pontos matematikai definíció szerint minden egyenes önmagával is párhuzamos), megfelelő oldalaik hosszának aránya k-val egyenlő.
A középpontos hasonlóság tulajdonságai vizsgálhatók egy geometriai szoft verrel, például a GeoGebra programmal is.
FELADAT
1. Igaz-e, hogy bármely két nem egybevágó
a) négyzet;
✓ ✗
c) egy síkban fekvő kör;
✓ ✗
b) kocka;
✓ ✗
d) gömb
✓ ✗
középpontosan hasonló?
//a) nem b) nem c) igen d) igen
a) négyzet;
✓ ✗
c) egy síkban fekvő kör;
✓ ✗
b) kocka;
✓ ✗
d) gömb
✓ ✗
középpontosan hasonló?
//a) nem b) nem c) igen d) igen
2. Az O csúcsú szög szárait párhuzamosokkal metszettük.
Két-két keletkezett síkidomról azt állítjuk, hogy középpontosan hasonlók.
Melyik állítás igaz, melyik hamis, és miért?
a) az OAD háromszög és OBE háromszög;
✓ ✗
b) az OCF háromszög és OBD háromszög;
✓ ✗
c) az ABED trapéz és BCFE trapéz;
✓ ✗
d) az ABED trapéz és ACFD trapéz.
✓ ✗
//a) igaz b) hamis c) hamis d) hamis
Két-két keletkezett síkidomról azt állítjuk, hogy középpontosan hasonlók.
Melyik állítás igaz, melyik hamis, és miért?
✓ ✗
b) az OCF háromszög és OBD háromszög;
✓ ✗
c) az ABED trapéz és BCFE trapéz;
✓ ✗
d) az ABED trapéz és ACFD trapéz.
✓ ✗
//a) igaz b) hamis c) hamis d) hamis
3. Nagyíts középpontosan egy négyzetet, a nagyítás aránya legyen 2!
Mennyi a nagyított és az eredeti négyzet kerületének aránya, és mennyi a területük aránya?
✓ ✗
//2; 4
Mennyi a nagyított és az eredeti négyzet kerületének aránya, és mennyi a területük aránya?
✓ ✗
//2; 4
4. Az ABCDE szabályos négyoldalú gúlát középpontos hasonlósággal nagyítjuk az E pontból.
A nagyítás aránya
a) 2;
b) 8;
c) 100;
d) 2 .
Mekkorák a nagyított gúlák alapélei és oldalélei?
Mekkora a nagyított gúlák alapterülete?
Mekkora a nagyított gúlák oldallapjainak kerülete?
✓ ✗
//oldallapok területe 3532 cm2, 56 511 cm2, 883 c𝑚 2, 1766 cm2
a) 2;
b) 8;
c) 100;
d) 2 .
Mekkorák a nagyított gúlák alapélei és oldalélei?
Mekkora a nagyított gúlák alapterülete?
Mekkora a nagyított gúlák oldallapjainak kerülete?
✓ ✗
//oldallapok területe 3532 cm2, 56 511 cm2, 883 c𝑚 2, 1766 cm2
5. Folytasd az előző feladatot!
Számítsd ki, hányszorosa a nagyított gúlák alapterülete az ABCD négyzet területének!
Hányszorosa a nagyított gúlák oldallapjainak kerülete az ABE oldallap kerületének?
✓ ✗
//területekre: 4; 64; 10000; 2 kerületekre: 2; 8; 100; √2
Számítsd ki, hányszorosa a nagyított gúlák alapterülete az ABCD négyzet területének!
Hányszorosa a nagyított gúlák oldallapjainak kerülete az ABE oldallap kerületének?
✓ ✗
//területekre: 4; 64; 10000; 2 kerületekre: 2; 8; 100; √2
HÁZI FELADAT
1. Vegyél fel a füzetedben egy 5 cm sugarú kört!
Kicsinyítsd a kört úgy, hogy a hasonlóság aránya 0,5 legyen, valamint
a) a hasonlóság középpontja legyen a kör középpontjától kétszer akkora távolságra, mint amekkora a kör sugara;
b) a hasonlóság középpontja legyen a körvonalon!
Kicsinyítsd a kört úgy, hogy a hasonlóság aránya 0,5 legyen, valamint
a) a hasonlóság középpontja legyen a kör középpontjától kétszer akkora távolságra, mint amekkora a kör sugara;
b) a hasonlóság középpontja legyen a körvonalon!
2. Vegyél fel a füzetedben egy 8 cm oldalú szabályos háromszöget!
Kicsinyítsd az egyik oldalfelező pontjából úgy, hogy a kicsinyítés aránya 0,5 legyen!
Számold ki a kicsinyített és az eredeti háromszög kerületét, területét, majd határozd meg a kerületek arányát és a területek arányát is!
//kerületek: 24 cm; 12 cm; arány 0,5; területek: 27,71 cm2; 6,93 cm2; arány: 0,25
Kicsinyítsd az egyik oldalfelező pontjából úgy, hogy a kicsinyítés aránya 0,5 legyen!
Számold ki a kicsinyített és az eredeti háromszög kerületét, területét, majd határozd meg a kerületek arányát és a területek arányát is!
//kerületek: 24 cm; 12 cm; arány 0,5; területek: 27,71 cm2; 6,93 cm2; arány: 0,25
3. Egy gömb sugara 6 cm. Kicsinyítjük a gömböt úgy, hogy a hasonlóság aránya 0,5 legyen.
Számold ki a kicsinyített és az eredeti gömb felszínét és térfogatát, majd határozd meg a felszínek arányát és a térfogatok arányát is!
(A gömb felszínét az A = 4r2π képlettel, térfogatát a V = 4/3r3π képlettel számolhatod ki.)
//felszínek: 452,39 cm2; 113,1 cm2; arány: 0,25; térfogatok: 904,78 cm3; 113,1 cm3
Számold ki a kicsinyített és az eredeti gömb felszínét és térfogatát, majd határozd meg a felszínek arányát és a térfogatok arányát is!
(A gömb felszínét az A = 4r2π képlettel, térfogatát a V = 4/3r3π képlettel számolhatod ki.)
//felszínek: 452,39 cm2; 113,1 cm2; arány: 0,25; térfogatok: 904,78 cm3; 113,1 cm3
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
