Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
BEVEZETŐ
A Nagyítás című film egyik fontos jelenete a következő:„…Aztán az egyik fotón felfigyel egy apró részletre.
Nagyítást készít a képről, egészen addig, amíg rá nem döbben arra, hogy egy pisztolyt tartó kezet lát a bokrok között. …” (Nagyítás, 1966; a filmet Michelangelo Antonioni rendezte)
Keress rá, és nézd meg a filmet, érdemes!
Jacques-Louis David neoklasszikus stílusú francia festő Laurent Lavoisier és felesége című festményének egy részletét felnagyítottuk.
Egyszóval a formák, az alakok megmaradnak, nem torzulnak a nagyítás során: a kéz kéznek, a papírlap papírlapnak látszik mindegyik nagyításban.
A nagyítás során a képen a férfiujjainak hossza ugyanannyiszorosára nő, mint a papírlap szélessége.
A mai technika világában számítógép segítségével sokszor nagyítjuk, kicsinyítjük a fényképeinket.
Kicsinyítjük, ha kisebb méretben szeretnénk beilleszteni egy szövegbe, de fontos számunkra, hogy a teljes fénykép bekerüljön úgy, hogy megtartjuk közben az eredeti fényképen szereplő arányokat.
Nagyítjuk, ha egy részletre vagyunk kíváncsiak.
A fotókról optikai úton készülő nagyítások – nagyon leegyszerűsítve – középpontos nagyítással készülnek.
Ennek lényegét mutatja a mellékelt képsorozat, amely egy kisfiú eredeti képének kétszeresre nagyított, valamint felére, illetve negyedére kicsinyített változatát mutatja.
Ha az eredeti képen megjelölünk három pontot (A, B, C), akkor láthatjuk, hogy az O középpontú kétszeres nagyításnál:
OA1 = 2 $ OA, OB1 = 2 $ OB, OC1 = 2 $ OC.
Így van ez az összes többi ponttal is: például a kisfiú orra hegye a nagyított képen kétszer akkora távolságra van az O ponttól, mint az eredetin.
A negyedére kicsinyített kép esetében minden O-tól mért távolság a negyede az eredeti távolságnak, a felére kicsinyített képen pedig ugyanez az arány 1 : 2.
Az egymásnak megfelelő szakaszok párhuzamosak (például AB ;; A1B1 ;; A2B2 ;; A3B3), illetve egy egyenesbe esnek, ha a szakasz egyenese átmegy az O ponton (például OA, OA1, OA2 és OA3).
Ebből az következik, hogy az ABC háromszög szögei ugyanakkorák, mint a másik három háromszög megfelelő szögei.
Ez minden más szögre ugyancsak igaz: bármely szögnek a középpontos nagyítás során kapott képe ugyanakkora, mint az eredeti szög.
Azt is könnyen beláthatjuk, hogy a kétszeres nagyításnál minden szakasz kétszer olyan hosszúvá válik, a negyedére kicsinyítésnél minden szakasz negyedakkora lesz, mint az eredeti képen: például A1B1 = 2 $ AB, A C 4 AC.
Érthetővé válik ezek alapján, hogy mit jelent a „forma”, az „alak” megmaradása:
– Az ABC háromszög bármelyik két oldalának arányát nézzük, ez ugyanannyi, mint a nagyított, illetve kicsinyített háromszög megfelelő két oldalának aránya; hiszen ha egy háromszög minden oldalának hosszát például kétszeresére változtatjuk, akkor a háromszögoldalak aránya nem változik meg;
– a kisfiú arcának bármely két részletét hasonlítjuk össze az egyik képen, a megfelelő méretek aránya mindegyik képen ugyanakkora lesz.
Megjegyzés
Egy síkbeli alakzat nagyítható a síkjának valamely pontjából, de a síkján kívüli pontból is.A fotók nagyítása általában nem a kép síkjában, hanem térben megvalósuló folyamat.
A mellékelt ábra egy ötszög olyan kétszeres nagyítását szemlélteti, amelynél a nagyítás középpontja (O) nincs benne az ötszög síkjában.
FELADAT
1. Adott a nagyítás középpontja (O) és aránya (k).
a) A négyzetháló segítségével nagyítsd (kicsinyítsd) a megadott alakzatot a füzetedben!
✓ ✗
b) Számold ki az eredeti és a nagyított síkidom kerületét és területét (a hosszúságegység a rács legkisebb négyzetének oldalhossza legyen)!
Hányszorosa a nagyított síkidom kerülete, illetve területe az eredetinek?
Foglald az eredményeidet táblázatba!
✓ ✗
//b) kerületek aránya 2; 0,75; 1,5 és 0,5; területek aránya 4; 0,5625; 2,25 és 0,25.
A) k = 2
B) k = 3/4
C) k = 3/2
D) k = 0,5
a) A négyzetháló segítségével nagyítsd (kicsinyítsd) a megadott alakzatot a füzetedben!
✓ ✗
b) Számold ki az eredeti és a nagyított síkidom kerületét és területét (a hosszúságegység a rács legkisebb négyzetének oldalhossza legyen)!
Hányszorosa a nagyított síkidom kerülete, illetve területe az eredetinek?
Foglald az eredményeidet táblázatba!
✓ ✗
//b) kerületek aránya 2; 0,75; 1,5 és 0,5; területek aránya 4; 0,5625; 2,25 és 0,25.
A) k = 2
2. Másold le az ábrát!
Szerkeszd meg a füzetedben az ABC háromszög O középpontú nagyított vagy kicsinyített képét, ha a hasonlóság aránya
a) k = 3/2 ;
✓ ✗
b) k = 3/4 !
✓ ✗
Szerkeszd meg a füzetedben az ABC háromszög O középpontú nagyított vagy kicsinyített képét, ha a hasonlóság aránya
a) k = 3/2 ;
✓ ✗
b) k = 3/4 !
✓ ✗
3. Az ABCDE tömör, szabályos négyoldalú gúla alapéle 8 cm, magassága 12 cm.
A gúlát az alaplapjával párhuzamos három síkkal négy részre vágjuk úgy, hogy a szomszédos párhuzamos síkok távolsága 3 cm legyen.
a) Milyen testek keletkeztek a részekre vágás során, milyen sokszögek határolják ezeket a testeket?
✓ ✗
b) Mekkora területűek a szétvágásnál keletkező síkmetszetek (a színezett négyszögek, pl. A1B1C1D1)?
✓ ✗
c) A síkmetszetek mindegyike átvihető egy másikba középpontos nagyítással. Válassz ki két síkmetszetet, add meg a megfelelő nagyítás középpontját és arányát!
✓ ✗
//a) 𝐴𝐴𝐴 =𝐵𝐵𝐵 =𝐶𝐶𝐶 =𝐷𝐷𝐷 =8 cm; 𝐸𝐸𝐸𝐸=12 cm b) egy gúla, 3 csonkagúla; egyenlőszárú háromszögek, négyzetek, szimmetrikus trapézok c) 36 cm2; 16 cm2; 4 cm2
A gúlát az alaplapjával párhuzamos három síkkal négy részre vágjuk úgy, hogy a szomszédos párhuzamos síkok távolsága 3 cm legyen.
✓ ✗
b) Mekkora területűek a szétvágásnál keletkező síkmetszetek (a színezett négyszögek, pl. A1B1C1D1)?
✓ ✗
c) A síkmetszetek mindegyike átvihető egy másikba középpontos nagyítással. Válassz ki két síkmetszetet, add meg a megfelelő nagyítás középpontját és arányát!
✓ ✗
//a) 𝐴𝐴𝐴 =𝐵𝐵𝐵 =𝐶𝐶𝐶 =𝐷𝐷𝐷 =8 cm; 𝐸𝐸𝐸𝐸=12 cm b) egy gúla, 3 csonkagúla; egyenlőszárú háromszögek, négyzetek, szimmetrikus trapézok c) 36 cm2; 16 cm2; 4 cm2
HÁZI FELADAT
1. Másold át a füzetedbe a jobb oldali ábrát!
Nagyítsd a megadott tervrajzot másfélszeresére az O pontból (jelöld a kapott pontokat az eredeti pontoknak megfelelően 1-es indexszel), majd a P pontból (jelöld a kapott pontokat az eredeti pontoknak megfelelően 2-es indexszel)!
Igazold, hogy a két nagyított ábra egy eltolással egymásba átvihető!
Add meg az eltolást egy vektorral!
Nagyítsd a megadott tervrajzot másfélszeresére az O pontból (jelöld a kapott pontokat az eredeti pontoknak megfelelően 1-es indexszel), majd a P pontból (jelöld a kapott pontokat az eredeti pontoknak megfelelően 2-es indexszel)!
Igazold, hogy a két nagyított ábra egy eltolással egymásba átvihető!
Add meg az eltolást egy vektorral!
2. Kicsinyítsd a kört mindkét megadott pontból (P külső pont, K a kör középpontja) a 3/5 -ére!
A füzetedben dolgozz!
A füzetedben dolgozz!
3. A Bevezetőben látható, kisfiúról készült képsorozattal kapcsolatosak a következő kérdések:
a) Hányszoros nagyítása a legnagyobb kép a legkisebbnek?
b) Mekkora annak az O középpontú kicsinyítésnek az aránya, amelynél az A1B1C1 háromszög képe az A2B2C2 háromszög?
c) Hányszor akkora területű a legnagyobb kép, mint a legkisebb?
////a) 8 b) 0,25 c) 64
a) Hányszoros nagyítása a legnagyobb kép a legkisebbnek?
b) Mekkora annak az O középpontú kicsinyítésnek az aránya, amelynél az A1B1C1 háromszög képe az A2B2C2 háromszög?
c) Hányszor akkora területű a legnagyobb kép, mint a legkisebb?
////a) 8 b) 0,25 c) 64
4. Fogalmazd meg, hogy az alábbi esetekben hogyan határozható meg szerkesztéssel a nagyítás középpontja!
//a) c) Az eredeti csúcspontot és a képét összekötő egyenesek metszéspontja.
b) K pont d) Pl. két közös érintő metszéspontja
//a) c) Az eredeti csúcspontot és a képét összekötő egyenesek metszéspontja.
b) K pont d) Pl. két közös érintő metszéspontja
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
