Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
FELADAT
1. A Harry Potter-könyvekben szerepel egy óra, amely nem az időt mutatja, hanem azt, hogy melyik családtag hol tartózkodik éppen.
A mutatókon szerepelnek a családtagok, a „számlapon” pedig a lehetséges helyszínek, mint iskola, munkahely, otthon, útközben, életveszélyben stb.
(Akadt olyan lelkes olvasó, aki GPS és mobiltelefonok segítségével készített egy ilyen szerkezetet a saját családjához.)
Egy ilyen óra kerülete legyen 48 cm.
Az óra „számlapja” 5 db, körcikk alakú területre van bontva.
Az iskola rész 12 órától 4 óráig tart (amennyiben egy hagyományos óra számlapjához viszonyítjuk), a munkahely rész 4 órától 6 óráig, az útközben rész 6-tól 8 óráig, az otthon rész 8-tól 11 óráig, az életveszélyben rész pedig 11-től 12 óráig.
a) Milyen hosszú körívek tartoznak az egyes részekhez az óra „számlapjának” kerületén?
✓ ✗
b) Mekkora az egyes tartományokban az a szög, amelyet a tartományokat határoló sugarak zárnak közre?
✓ ✗
//a) 16 cm, 8 cm, 8 cm, 12 cm, 4 cm b) 120°, 60°, 60°, 90°, 30°
A mutatókon szerepelnek a családtagok, a „számlapon” pedig a lehetséges helyszínek, mint iskola, munkahely, otthon, útközben, életveszélyben stb.
(Akadt olyan lelkes olvasó, aki GPS és mobiltelefonok segítségével készített egy ilyen szerkezetet a saját családjához.)
Egy ilyen óra kerülete legyen 48 cm.
Az óra „számlapja” 5 db, körcikk alakú területre van bontva.
Az iskola rész 12 órától 4 óráig tart (amennyiben egy hagyományos óra számlapjához viszonyítjuk), a munkahely rész 4 órától 6 óráig, az útközben rész 6-tól 8 óráig, az otthon rész 8-tól 11 óráig, az életveszélyben rész pedig 11-től 12 óráig.
a) Milyen hosszú körívek tartoznak az egyes részekhez az óra „számlapjának” kerületén?
✓ ✗
b) Mekkora az egyes tartományokban az a szög, amelyet a tartományokat határoló sugarak zárnak közre?
✓ ✗
//a) 16 cm, 8 cm, 8 cm, 12 cm, 4 cm b) 120°, 60°, 60°, 90°, 30°
ELMÉLET
Rajzoljuk meg egy kör két sugarát, az OA-t és az OB-t!Így a körvonalat két körívre, a körlemezt két körcikkre bontottuk.
Két olyan szöget is látunk, amelyeknek O a csúcsa, az OA és az OB félegyenes pedig a két szára.
Ezeket a szögeket az adott körben a megfelelő körívhez vagy körcikkhez tartozó középponti szögeknek nevezzük.
Tétel: Egy körben
– egyenlő nagyságú középponti szögekhez egyenlő hosszúságú körívek és egybevágó körcikkek tartoznak;
– egyenlő hosszúságú körívekhez egyenlő nagyságú középponti szögek és egybevágó körcikkek tartoznak;
– egybevágó körcikkekhez egyenlő nagyságú középponti szögek és egyenlő hosszúságú körívek tartoznak.
Tétel:
Egy körben a középponti szögek nagysága, a hozzájuk tartozó körívek hosszúsága és a hozzájuk tartozó körcikkek területe egyenesen arányos.
Fordítva: a 15 cm hosszú körívhez 2,5-szer akkora középponti szög tartozik, mint a 6 cm hosszúhoz (valóban, 15 : 6 = 80 : 32 = 2,5).
FELADAT
2. Az ábrán látható szerencsekerék „nyert” mezői (az ábrán rózsaszínnel jelölve) 21°-os középponti szögű körcikkek, „nem nyert” mezői 24°-os középponti szögű kör cikkek.
A kerék sugara a valóságban 50 cm. A táblázat kitöltésével válaszolj a kérdésekre!
A füzetedben dolgozz!
a) Mekkora körív tartozik egy „nyert” feliratú mezőhöz, és mekkora egy „nem nyert” feliratúhoz?
✓ ✗
b) Mekkora egy nyerő és egy nem nyerő körcikk területe?
✓ ✗
//a) 18,3 cm, 20,9 cm b) 458 cm2, 523 cm
A kerék sugara a valóságban 50 cm. A táblázat kitöltésével válaszolj a kérdésekre!
A füzetedben dolgozz!
a) Mekkora körív tartozik egy „nyert” feliratú mezőhöz, és mekkora egy „nem nyert” feliratúhoz?
✓ ✗
b) Mekkora egy nyerő és egy nem nyerő körcikk területe?
✓ ✗
//a) 18,3 cm, 20,9 cm b) 458 cm2, 523 cm
| Középponti szög fokban Körív hossza cm-ben Körcikk területe cm2-ben | ||
| 360° | ||
| 1° | ||
| 21° | ||
| 24° |
ELMÉLET
Ha egy r cm sugarú körben egy középponti szög a°-os, akkor a hozzá tartozó körív hossza a körkerület 360-ad részének az a-szorosa.Ha ennek a cm-ben mért hosszúságát i-vel jelöljük, akkor i r r r $ a ra = = (cm).
Ugyanebben a körben egy a°-os középponti szöghöz tartozó körcikk területe a körterület 360-ad részének az a-szorosa.
Ha ennek a cm2-ben mért nagyságát t-vel jelöljük, akkor t r r a ra = = (cm2).
Másképp: A körszelet olyan síkidom, melyet az adott kör egy íve és az ív végpontjait öszszekötő húr határol.
Legyen T1 és T2 a K középpontú kör két körszeletének területe (az ábrán rendre szürke, illetve sárga színnel jelölve).
Az ábrán látható szürke körszelet területe: T1 = Tkörcikk(a) - TABKi
Az ábrán látható sárga körszelet területe: T2 = Tkörcikk(360° - a) + TABKi
Mindezek mellett teljesül, hogy T1 + T2 = Tkör.
FELADAT
3. Mekkora az 1. feladatban szereplő „órán” az egyes részek területe?
✓ ✗
//61,1 cm2, 30,55 cm2, 30,55 cm2, 45,8 cm2; 15,3 cm2
✓ ✗
//61,1 cm2, 30,55 cm2, 30,55 cm2, 45,8 cm2; 15,3 cm2
4. Oldd meg a következő feladatokat! Készíts vázlatot a körcikkekről!
a) Mekkora a 12 cm sugarú körben annak a körívnek a hossza és körcikknek a területe, amelynek a középponti szöge 107°?
✓ ✗
b) Mekkora a 181,5 mm ívhosszúságú, 200°-os középponti szögű körcikk területe?
✓ ✗
c) Mekkora a 10 m sugarú körben a 10 m ívhosszúságú körcikk középponti szöge és területe?
✓ ✗
//a) 22,41 cm, 134,46 cm2 b) 4718,37 mm2 c) 57,3°; 50 m2
a) Mekkora a 12 cm sugarú körben annak a körívnek a hossza és körcikknek a területe, amelynek a középponti szöge 107°?
✓ ✗
b) Mekkora a 181,5 mm ívhosszúságú, 200°-os középponti szögű körcikk területe?
✓ ✗
c) Mekkora a 10 m sugarú körben a 10 m ívhosszúságú körcikk középponti szöge és területe?
✓ ✗
//a) 22,41 cm, 134,46 cm2 b) 4718,37 mm2 c) 57,3°; 50 m2
5. Egy 12 cm átmérőjű kör két egymással párhuzamos húrjának hossza 6 cm és 6 2 cm.
a) Határozd meg a körív azon darabjainak hosszát, melyet a két húr végpontja hoz létre a körvonalon!
✓ ✗
b) Határozd meg a körlap két húr közé eső darabjának a területét!
✓ ✗
//a) egy ív hossza 1,57 vagy 11 cm b) 7 cm2 vagy 99,56 cm2
a) Határozd meg a körív azon darabjainak hosszát, melyet a két húr végpontja hoz létre a körvonalon!
✓ ✗
b) Határozd meg a körlap két húr közé eső darabjának a területét!
✓ ✗
//a) egy ív hossza 1,57 vagy 11 cm b) 7 cm2 vagy 99,56 cm2
HÁZI FELADAT
1. Oldd meg a következő feladatokat!
Készíts vázlatot a körcikkekről!
a) Mekkora annak a 100 cm ívhosszúságú körcikknek a területe, melynek középponti szöge 286,5°?
Mekkora annak a körnek a sugara, amelyből a körcikket kivágtuk?
b) Mekkora a 42°-os középponti szögű, 450 m2 területű körcikk ívhosszúsága?
c) Mekkora a középponti szöge és a területe egy 15 cm sugarú kör 45 cm hosszú ívéhez tartozó körcikkének?
d) Egy körcikk területe 24r cm2, a hozzá tartozó körív hossza 6r cm.
Mekkora a középponti szöge?
//a) 1000cm2;20 cm b) 25,6 m c) 172°; 338 cm2 d) 135°
Készíts vázlatot a körcikkekről!
a) Mekkora annak a 100 cm ívhosszúságú körcikknek a területe, melynek középponti szöge 286,5°?
Mekkora annak a körnek a sugara, amelyből a körcikket kivágtuk?
b) Mekkora a 42°-os középponti szögű, 450 m2 területű körcikk ívhosszúsága?
c) Mekkora a középponti szöge és a területe egy 15 cm sugarú kör 45 cm hosszú ívéhez tartozó körcikkének?
d) Egy körcikk területe 24r cm2, a hozzá tartozó körív hossza 6r cm.
Mekkora a középponti szöge?
//a) 1000cm2;20 cm b) 25,6 m c) 172°; 338 cm2 d) 135°
2. Mekkora annak a körszeletnek a területe, melyet egy 8 cm sugarú körben egy 120°-os középponti szöghöz tartozó körív és a körív végpontjait összekötő húr határol?
//39𝑐𝑐𝑚 2
//39𝑐𝑐𝑚 2
3. Egy 41 cm átmérőjű pizzán négyen osztozkodnak.
Albert egy olyan cikket kap, melynek középponti szöge 54°, Béla olyan cikket, melynek területe (valójában egy hengerszerű test alapterülete) 528 cm2.
Csanád része olyan körcikk, melyben a körív hoszsza 32,2 cm.
Dénes az előbbi részek levágása után maradt részt kapja.
a) Mekkora az egyes cikkek területe és mekkora a hozzájuk tartozó középponti szögek nagysága?
b) Kinek hány forintot kell fizetnie, ha a pizza ára 4280 Ft, és a fiúk részarányosan fizetik az adagjukat?
//a) A 198 𝑐𝑐𝑐𝑐2; B 144°; C 330𝑐𝑐𝑐𝑐2,90°; D 256𝑐𝑐𝑐𝑐2, 70°
//b) 642 Ft, 1712 Ft, 1070 Ft, 832 Ft
Albert egy olyan cikket kap, melynek középponti szöge 54°, Béla olyan cikket, melynek területe (valójában egy hengerszerű test alapterülete) 528 cm2.
Csanád része olyan körcikk, melyben a körív hoszsza 32,2 cm.
Dénes az előbbi részek levágása után maradt részt kapja.
a) Mekkora az egyes cikkek területe és mekkora a hozzájuk tartozó középponti szögek nagysága?
b) Kinek hány forintot kell fizetnie, ha a pizza ára 4280 Ft, és a fiúk részarányosan fizetik az adagjukat?
//a) A 198 𝑐𝑐𝑐𝑐2; B 144°; C 330𝑐𝑐𝑐𝑐2,90°; D 256𝑐𝑐𝑐𝑐2, 70°
//b) 642 Ft, 1712 Ft, 1070 Ft, 832 Ft
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
