Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
Egyenletek megoldása:
1. Ekvivalens-e egymással az R alaphalmazon a következő két-két egyenlet?
a) ^x + 3h2 =16 és x + 3 = -4
b) 2x + 3 x = 3 x - 8 és 2x = -8
//a) nem (a megoldások -7 és 1; illetve -7) b) nem (elsőnek nincs megoldása, másodiknak a -4 a megoldása)
a) ^x + 3h2 =16 és x + 3 = -4
b) 2x + 3 x = 3 x - 8 és 2x = -8
//a) nem (a megoldások -7 és 1; illetve -7) b) nem (elsőnek nincs megoldása, másodiknak a -4 a megoldása)
2. Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán!
a) x x
b) x = x - 2
//a) 0 és 9 b) 4
a) x x
b) x = x - 2
//a) 0 és 9 b) 4
3. Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán!
a) x + 2 = x - 4
b) x + 6 = x - 6
c) 2x + 2 = x - 3
d) 3x + 1 = x - 3
//a) 7 b) 10 c) 7 d) 8
a) x + 2 = x - 4
b) x + 6 = x - 6
c) 2x + 2 = x - 3
d) 3x + 1 = x - 3
//a) 7 b) 10 c) 7 d) 8
4. Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán!
a) 3x + 10 - x = 0
b) 2x x2 =
c) 4x + 8 + 1 = x
d) 5x + 1 = 5x + 1
//a) 5 b) 0 és 8 c) 7 d) 0 és -0,2
a) 3x + 10 - x = 0
b) 2x x2 =
c) 4x + 8 + 1 = x
d) 5x + 1 = 5x + 1
//a) 5 b) 0 és 8 c) 7 d) 0 és -0,2
5. Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán!
a) 9 x - 4 = x - 26
b) 3 2x - 6 = x - 3
//a) 125 b) 3 és 21
a) 9 x - 4 = x - 26
b) 3 2x - 6 = x - 3
//a) 125 b) 3 és 21
Egyenlőtlenségek:
6. Oldd meg a valós számok halmazán az egyenlőtlenségeket!
a) x2 - 11x ≤ 0
b) x2 - 7x > 0
//a) [0;11] b) 𝑥𝑥<0 vagy 𝑥𝑥>7
a) x2 - 11x ≤ 0
b) x2 - 7x > 0
//a) [0;11] b) 𝑥𝑥<0 vagy 𝑥𝑥>7
7. Oldd meg a valós számok halmazán az egyenlőtlenségeket!
a) x2 - 11x + 30 ≤ 0
b) -x2 - 3x > 0
c) -x2 + 3x + 4 230
//a) [5;6] b) ]−3;0[ c) ]−1;4[
a) x2 - 11x + 30 ≤ 0
b) -x2 - 3x > 0
c) -x2 + 3x + 4 230
//a) [5;6] b) ]−3;0[ c) ]−1;4[
8. Oldd meg a valós számok halmazán az egyenlőtlenségeket!
a) 2x2 -11x - 6 < 0
b) -10x2 + 21x - 9 ≤ 0
//a) ]−0,5;6[ b) ]−∞;0,6]∪[1,5; ∞[
a) 2x2 -11x - 6 < 0
b) -10x2 + 21x - 9 ≤ 0
//a) ]−0,5;6[ b) ]−∞;0,6]∪[1,5; ∞[
9. Oldd meg az egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán!
Mérlegelv segítségével hozd egyszerűbb alakra az egyenlőtlenségeket!
a) x + 3x2 - 5 # x2 - x + 7
b) x x x
c) ^x + 1h2 2^2x + 1h2 + x
//a) [−3;2] b) 2 c) ]−1;0[
Mérlegelv segítségével hozd egyszerűbb alakra az egyenlőtlenségeket!
a) x + 3x2 - 5 # x2 - x + 7
b) x x x
c) ^x + 1h2 2^2x + 1h2 + x
//a) [−3;2] b) 2 c) ]−1;0[
10. Oldd meg valós számok halmazán az egyenlőtlenségeket!
Mérlegelv segítségével hozd egyszerűbb alakra!
a) 1 + 13x $ 3x - 7 - 2x2
b) x x x
c) ^x + 1h2 + ^x + 2h2 2^x + 3h2
//a) 𝑥𝑥<−4 vagy 𝑥𝑥>−1 b) 3 c) 𝑥𝑥<−2 vagy 𝑥𝑥>2Mérlegelv segítségével hozd egyszerűbb alakra!
a) 1 + 13x $ 3x - 7 - 2x2
b) x x x
c) ^x + 1h2 + ^x + 2h2 2^x + 3h2
Képletalkalmazások:
11. Egy függőlegesen felfelé dobott test x másodperc múlva h(x) = 32x - 5x2 méter magasságban van.
Melyik időtartamban van magasabban, mint 40 méter?
//1,7 másodpercnél később és 4,7 másodpercnél hamarabb.
Melyik időtartamban van magasabban, mint 40 méter?
//1,7 másodpercnél később és 4,7 másodpercnél hamarabb.
12. Egy cég a következő félévben akkor oszt prémiumot a dolgozók között, ha a nyereség több lesz, mint 2 ezer euró.
A cég számításai szerint x db termék forgalmazása esetén a nyereség f(x) = 57x - 0,3x2 euró, és x # 95.
Hány terméket kell ahhoz forgalmazni, hogy prémiumot kapjanak a dolgozók?
//Legalább 46-ot.
A cég számításai szerint x db termék forgalmazása esetén a nyereség f(x) = 57x - 0,3x2 euró, és x # 95.
Hány terméket kell ahhoz forgalmazni, hogy prémiumot kapjanak a dolgozók?
//Legalább 46-ot.
13. A Coulomb-törvény szerint két, egymástól r távolságra lévő pozitív töltés között a következő nagyságú taszító erő lép fel: F k = ; ahol Q1 és Q2 a töltések nagysága, k pedig egy állandó. k C 9 109 Nm
Mekkora távolságra vannak egymástól a Q1 és Q2 töltések (Q1 = 3,84 ⋅ 10-6 C és Q2 = 2,16 ⋅ 10-2 C), ha a köztük lévő taszító erő nagyobb, mint 12 N?
//Közelebb, mint 2,5 m.
Mekkora távolságra vannak egymástól a Q1 és Q2 töltések (Q1 = 3,84 ⋅ 10-6 C és Q2 = 2,16 ⋅ 10-2 C), ha a köztük lévő taszító erő nagyobb, mint 12 N?
//Közelebb, mint 2,5 m.
Kör:
14. Egy kör alakú tükörnek 5 cm széles kerete van.
A bekeretezett tükör teljes területének kevesebb, mint 20%-a keret.
Mekkora a tükör belső átmérője?
//Nagyobb, mint 85 cm
A bekeretezett tükör teljes területének kevesebb, mint 20%-a keret.
Mekkora a tükör belső átmérője?
//Nagyobb, mint 85 cm
15. Egy körlap közepére céltáblát rajzolunk úgy, hogy a céltáblát 3 cm széles sáv veszi körbe.
A teljes körlapnak kevesebb, mint 10%-a, de több, mint 9%-a ez a 3 cm széles sáv.
Mekkora a céltábla átmérője?
//Nagyobb, mint 76 cm, és kisebb, mint 124 cm
A teljes körlapnak kevesebb, mint 10%-a, de több, mint 9%-a ez a 3 cm széles sáv.
Mekkora a céltábla átmérője?
//Nagyobb, mint 76 cm, és kisebb, mint 124 cm
Másodfokú polinomok:
16. Alakítsd szorzattá a polinomokat!
a) 3x2 - 4x - 7
b) 4x2 - 16x - 9
//a) (𝑥𝑥+1)(3𝑥𝑥−7) b) 4(𝑥𝑥−4,5)(𝑥𝑥+0,5)
a) 3x2 - 4x - 7
b) 4x2 - 16x - 9
//a) (𝑥𝑥+1)(3𝑥𝑥−7) b) 4(𝑥𝑥−4,5)(𝑥𝑥+0,5)
17. Adj meg olyan egész együtthatós másodfokú polinomot, melynek zérushelyei
a) 9 2 és 3 11 ;
b) 4 7 és 6- 5 !
//a) 27𝑥𝑥2−105𝑥𝑥+22 b) 24𝑥𝑥2−22𝑥𝑥−35
a) 9 2 és 3 11 ;
b) 4 7 és 6- 5 !
//a) 27𝑥𝑥2−105𝑥𝑥+22 b) 24𝑥𝑥2−22𝑥𝑥−35
18. Írd fel az alábbi polinomokat gyöktényezős alakban!
a) 5x2 + 3x - 8
b) 0,2x2 - 0,1x - 2,1
//a) 5(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+1,6) b) 0,2(𝑥𝑥−3,5)(𝑥𝑥+3)
a) 5x2 + 3x - 8
b) 0,2x2 - 0,1x - 2,1
//a) 5(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+1,6) b) 0,2(𝑥𝑥−3,5)(𝑥𝑥+3)
19. Írd fel a polinom gyöktényezős alakját!
a) x x 21 4 2 2 + + 15
b) x x 4- 2 - + 15
c) -2x2 + x + 28
d) x x 21 2 2- 2 + + 21
//a) 1/2(𝑥𝑥+3)(𝑥𝑥+5) b) −(𝑥𝑥+2,5)(𝑥𝑥−1,5)
c) −2(𝑥𝑥+3,5)(𝑥𝑥−4) d) −1/2(𝑥𝑥+3)(𝑥𝑥−7)
a) x x 21 4 2 2 + + 15
b) x x 4- 2 - + 15
c) -2x2 + x + 28
d) x x 21 2 2- 2 + + 21
//a) 1/2(𝑥𝑥+3)(𝑥𝑥+5) b) −(𝑥𝑥+2,5)(𝑥𝑥−1,5)
c) −2(𝑥𝑥+3,5)(𝑥𝑥−4) d) −1/2(𝑥𝑥+3)(𝑥𝑥−7)
Másodfokú függvények:
20. Egy valós számokon értelmezett másodfokú függvény két zérushelye 1 és 7, főegyütthatója 1.
Add meg a függvény hozzárendelési szabályát!
Határozd meg a függvény szélsőértékhelyét és szélsőértékét!
//𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥−7)=𝑥𝑥2−8𝑥𝑥+7 minimuma -9, minimumhelye 𝑥𝑥=4
Add meg a függvény hozzárendelési szabályát!
Határozd meg a függvény szélsőértékhelyét és szélsőértékét!
//𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥−7)=𝑥𝑥2−8𝑥𝑥+7 minimuma -9, minimumhelye 𝑥𝑥=4
21. A zérushelyei és a szélsőértéke leolvasásával írd fel a következő, a valós számok halmazán értelmezett függvények hozzárendelési szabályát!
//𝑓𝑓(𝑥𝑥)=3(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+3)=3𝑥𝑥2+12𝑥𝑥+9
𝑔𝑔(𝑥𝑥)=−1/2(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+3)=−1/2𝑥𝑥2−𝑥𝑥+3/2
ℎ(𝑥𝑥)=−1/4(𝑥𝑥−3)(𝑥𝑥−7)=−1/4𝑥𝑥2+5/2𝑥𝑥−21/4
22. Keress olyan számot az egyenlőtlenség jobb oldalára, hogy minden valós szám megoldása legyen az egyenlőtlenségnek!
Melyik a legnagyobb ilyen szám?
a) x2 + 4x $
b) 2x2 + 20x $
c) -x2 + 6x #
//a) -4 vagy kisebb b) -50 vagy kisebb c) 9 vagy nagyobb
Melyik a legnagyobb ilyen szám?
a) x2 + 4x $
b) 2x2 + 20x $
c) -x2 + 6x #
//a) -4 vagy kisebb b) -50 vagy kisebb c) 9 vagy nagyobb
23. Hány olyan kétjegyű pozitív egész szám van, amelyre teljesül az egyenlőtlenség?
a) -x2 + 25x - 144 > 0
b) -x2 + 26x - 165 ≥ 0
c) 2x2 + 8x - 7 > 0
d) 3x x 2- 2 + 1 - 6 < 0
//a) 6 db (10-től 15-ig) b) 5 db (11-től 15-ig) c) 90 db (mindegyik) d) 0
a) -x2 + 25x - 144 > 0
b) -x2 + 26x - 165 ≥ 0
c) 2x2 + 8x - 7 > 0
d) 3x x 2- 2 + 1 - 6 < 0
//a) 6 db (10-től 15-ig) b) 5 db (11-től 15-ig) c) 90 db (mindegyik) d) 0
24. Egy konvex sokszög átlóinak száma több, mint 100 és kevesebb, mint 200.
Hány oldalú lehet a sokszög?
//24. minimum 16, maximum 21
Hány oldalú lehet a sokszög?
//24. minimum 16, maximum 21
25. Egy termék árát felemelték p százalékkal, majd megint felemelték, de most 2p százalékkal.
Hány százalékos volt az első áremelés, ha a két áremelés után az ár az eredetihez képest több, mint 32%-kal emelkedett?
//𝑝𝑝>10 %
Hány százalékos volt az első áremelés, ha a két áremelés után az ár az eredetihez képest több, mint 32%-kal emelkedett?
//𝑝𝑝>10 %
26. Határozd meg a kifejezés értelmezési tartományát!
a) -x2 + 11x - 24
b) -x2 + 5x + 6
//a) [3;8] b) [−1;6]
a) -x2 + 11x - 24
b) -x2 + 5x + 6
//a) [3;8] b) [−1;6]
27. Határozd meg a kifejezés értelmezési tartományát és értékkészletét!
a) -x2 + 2x + 48
b) -x2 + 2x + 35
//a) [−6;8] és [0;7] b) [−5;7] és [0;6]
a) -x2 + 2x + 48
b) -x2 + 2x + 35
//a) [−6;8] és [0;7] b) [−5;7] és [0;6]
28. Konrád tavaly megmérte a tömegét és a magasságát.
Azt tapasztalta, hogy magassága 165 cm, és kiszámította a testtömegindexét, ami 23,8 volt.
Mennyit nőtt egy év alatt, ha egy évvel később azt tapasztalta, hogy testtömegindexe több, mint 5 százalékkal csökkent, de közben a tömege 5 százalékkal lett több, mint egy évvel korábban?
(A testtömegindexet úgy számolják, hogy a kg-ban mért testtömeget elosztják a méterben mért magasság négyzetével.)
//minimum 8 cm-t
Azt tapasztalta, hogy magassága 165 cm, és kiszámította a testtömegindexét, ami 23,8 volt.
Mennyit nőtt egy év alatt, ha egy évvel később azt tapasztalta, hogy testtömegindexe több, mint 5 százalékkal csökkent, de közben a tömege 5 százalékkal lett több, mint egy évvel korábban?
(A testtömegindexet úgy számolják, hogy a kg-ban mért testtömeget elosztják a méterben mért magasság négyzetével.)
//minimum 8 cm-t
29. Két ellenállást sorosan kapcsolva az eredő ellenállás 6 Ω.
Ugyanezeket az ellenállásokat párhuzamosan kapcsolva az eredő ellenállás 1,365 Ω.
Mekkorák az ellenállások?
(R1 és R2 ellenállásokat sorosan kapcsolva az eredő ellenállás R1 + R2.
Párhuzamos kapcsolás esetén az eredő ellenállás reciproka R R .)
//2,1 Ω és 3,9 Ω
Ugyanezeket az ellenállásokat párhuzamosan kapcsolva az eredő ellenállás 1,365 Ω.
Mekkorák az ellenállások?
(R1 és R2 ellenállásokat sorosan kapcsolva az eredő ellenállás R1 + R2.
Párhuzamos kapcsolás esetén az eredő ellenállás reciproka R R .)
//2,1 Ω és 3,9 Ω
