7 EGYENLETRENDSZEREK GRAFIKUS MEGOLDÁSA

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_I__teljes.pdf
Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf

KIDOLGOZOTT FELADAT

1. Egy sok száz éves, híres feladat nyomán:
Egy udvaron tyúkok és nyulak vannak, összesen 7 fejük és 20 lábuk van.
Hány tyúk és hány nyúl van közöttük?

9. osztályban olyan feladatokkal foglalkoztunk, amelyekben egyetlen ismeretlen mennyiség értékét kellett meghatározni egyetlen egyenlet (vagy egyenlőtlenség) segítségével.
Mostani példánkban két ismeretlen mennyiség értékét keressük.

---

Első megoldás (okoskodással)

Rajzoljunk le 7 „testet”, mindegyikhez tegyünk két lábat!
Ekkor felhasználtunk 14 lábat, maradt még 20 – 14 = 6.
A 6 lábat kettesével odarajzoljuk a 3 testhez, ez a 3 (négylábú) rajz szemlélteti a nyulakat, az a 4 test pedig, amelyiknél csak két láb maradt, szemlélteti a tyúkokat.

---

Második megoldás (az összes eset vizsgálata táblázattal):

Jelöljük a nyulak számát x-szel, a tyúkok számát y-nal!
A szöveg alapján ezek segítségével felírható, hogy a fejek száma x + y = 7, valamint a lábak száma összesen 4x + 2y = 20, mivel egy nyúlnak 4, és egy tyúknak 2 lába van.
Gyűjtsük táblázatba az ismeretlenek összes lehetséges értékét a szövegnek megfelelően (x és y 7-nél kisebb pozitív egész lehet, mert a feladat szövegéből következik, hogy mind a két állatfajból van legalább egy az udvaron)!

x (nyulak száma)	1	2	3	4	5	6
y (tyúkok száma)	6	5	4	3	2	1
x + y (fejek száma)	7	7	7	7	7	7
4x + 2y (lábak száma)	16	18	20	22	24	26

A táblázatból látható, hogy egyetlen lehetséges megoldás adódik:
x = 3 és y = 4, tehát az udvaron 3 nyúl és 4 tyúk van.
(Nehézséget jelentene a táblázattal történő megoldás, ha túl sok lehetséges esetet kellene vizsgálni, vagy ha a megoldást nem csak az egész számok körében keresnénk.)

---

Harmadik megoldás (grafikus módszerrel)

Jelöljük továbbra is x-szel a nyulak, y-nal a tyúkok számát!
A fejek és lábak számára felírt egyenletek az előbbi megoldásban felírtak szerint:
x + y = 7.
4 x + 2 y = 20.

Fejezzük ki az első egyenletből az y ismeretlent: y = 7 – x.
Tekintsük azt a függvényt (a valós számok halmazán), melynek hozzárendelési szabálya x ↦ 7 – x, ábrázoljuk a grafikonját!
Hasonló módon fejezzük ki a második egyenletből is y-t: y = 10 – 2 x.
Tekintsük azt a függvényt (a valós számok halmazán), melyeknek hozzárendelési szabálya x ↦ 10 – 2 x, ábrázoljuk ennek is a grafikonját!

Az ábrán azt a két egyenest látjuk, amelyeknek az egyenlete:
x + y = 7, vagy másképp y = 7 – x (ez az x ↦ 7 – x függvény grafikonja); illetve 2 x + y = 10, vagy másképp y = 10 – 2 x (ez az x ↦ 10 – 2 x függvény grafikonja).
Ez a két egyenes a (3; 4) pontban metszi egymást.
Ez azt jelenti, hogy ha x = 3 és y = 4, akkor mindkét egyenletből igaz állítást kapunk.
A feladat megoldása tehát: az udvaron 3 nyúl és 4 tyúk van.

Megjegyzés

Eredményünket így is megfogalmazhatjuk:
Az
x + y = 7
2x + y = 10
kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása a (3; 4) rendezett számpár.

Az egyenletrendszer megoldásához a függvényábrázoló programok is használhatók.

ELMÉLET

Ha két vagy több egyenlet közös megoldásait keressük, akkor egyenletrendszerről beszélünk.
Az egyenletrendszerek lehetséges jelölései:
(1) x + y = 7
(2) 4x + 2y = 20
vagy akár ezek együttes alkalmazása.
Példánkban két ismeretlen szerepel, mindkettő első hatványon, ezért ezek az egyenletek elsofokú (vagy lineáris), kétismeretlenes egyenletrendszert alkotnak.
Az elsőfokú, kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása olyan rendezett számpár, amely mindkét egyenletet igazzá teszi.
Az egyenletrendszer megoldásának egyik módszere a grafikus módszer, melynek lépései:

1. A megoldandó egyenletrendszer egyenleteiből kifejezzük az egyik ismeretlent (általában y-t).

2. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az ezekhez tartozó lineáris függvényeket!

3. Olvassuk le a két grafikon metszéspontjának koordinátáit!
A közös pont mindkét grafikonra illeszkedik, ezért koordinátái igazzá teszik az egyenletrendszer mindkét egyenletét.
Az egyenletrendszer megoldását tehát a közös pont koordinátái, vagyis egy rendezett valós számpár adja.

4. Behelyettesítéssel ellenőrizzük, hogy a grafikonról leolvasott érték valóban megoldása az egyenleteknek!

KIDOLGOZOTT FELADAT

2. Melyek azok az x, y valós számok, amelyekre y = 6 – x és y = 3/2x + 1 is igaz?

Megoldás

Egy kétismeretlenes egyenletrendszert kell megoldanunk.
Olyan számokat kell találnunk, amelyeket az x és az y helyett az egyenletekbe írva mindkét esetben igaz kijelentést kapunk.
A feladatot grafikus úton oldjuk meg.
Rajzoljuk meg az y = 6 – x és az y = 3/2x + 1 egyenletű egyeneseket (amelyek a valós számok halmazán értelmezett x ↦ 6 – x, illetve az x ↦ 3/2x + 1 elsőfokú függvények grafikonjai)!
A két egyenes metszéspontja a (2; 4) pont.
Ha az egyenletekben x helyébe 2-t, az y helyébe pedig 4-et helyettesítünk, akkor mindkét egyenletből egy-egy igaz kijelentést kapunk (4 = 6 – 2 igaz, és 4 = 3/2*2 + 1 = 3 + 1 is igaz).
Az
(1) y = 6 − x
(2) y = 3/2x + 1
kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása a (2; 4) rendezett számpár.

3. Oldd meg grafikus módszerrel az alábbi egyenletrendszereket, ha x és y valós szám lehet!
a)
(1) 3x + y = 5
(2) 6x + 2y = 2

b)
(1) 2x - y = 1
(2) 4x - 2y = 2

Megoldás

Az a) esetben a két egyenlettel meghatározott függvénygrafikonok párhuzamosak, nincs közös pontjuk.
Megállapíthatjuk, hogy nincs olyan pont a koordináta síkon, melynek koordinátái egyidejűleg teljesítenék mindkét egyenletet, tehát az eredeti egyenletrendszernek nincs megoldása.
A b) esetben a két egyenlettel meghatározott két függvénygrafikon egybeesik, vagyis végtelen sok közös pontjuk van.
Ez azt jelenti, hogy végtelen sok olyan pont van a koordináta síkon, melynek koordinátái teljesítik mindkét egyenletet, tehát az eredeti egyenletrendszernek is végtelen sok megoldása van.
A végtelen sok megoldás azonban nem lehet bármelyik valós számpár, csakis azok, melyek teljesítik az ismeretlenek közötti, egyenletekben meghatározott kapcsolatot. Ezért a megoldások mindegyike olyan valós számpár, melyre fennáll, hogy a két ismeretlen, x és y értéke között teljesül egy meghatározott összefüggés: y = 2x – 1.

Ha figyelmesen megvizsgáljuk az előbbi egyenletrendszerekben lévő egyenleteket, észrevehetjük, hogy
– az a) feladatban az egyenletekben lévő ismeretlenek együtthatói egymás többszörösei (háromszorosa).
A bal és jobb oldal különböző mértékű változása ellentmondásra vezet, így az egyenletrendszernek nincs megoldása.
– a b) feladatban az egyenletekben lévő megfelelő ismeretlenek együtthatói egymás kétszeresei.
Mivel a két egyenlet egymásnak többszöröse, ezért az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.

ELMÉLET

Az elsőfokú, kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldását minden esetben rendezett valós számpárok formájában adhatjuk meg.
Egy elsőfokú, kétismeretlenes egyenletrendszernek lehet, hogy

– nincs megoldása, vagyis nincs olyan rendezett valós számpár, mely igazzá teszi mindkét egyenletet;
– egy megoldása, vagyis egy olyan rendezett valós számpár van, mely igazzá teszi mindkét egyenletet;
– végtelen sok megoldása van, vagyis végtelen sok olyan rendezett valós számpár van, amely igazzá teszi mindkét egyenletet.

FELADAT

1. Oldd meg az egyenletrendszereket grafikus módszerrel!
(x; y valós szám)

Adatbevitel:
n = nincs megoldás
v = végtelen sok megoldás

a)
 (1) y = x + 4
 (2) y = −2x + 1
Megoldás:
x =
y =
✓ ✗
b)
 (1) y = 2x − 5
 (2) 2y = x − 4
Megoldás:
x =
y =
✓ ✗
c)
 (1) x + y = 0
 (2) x + y = 6
Megoldás:
x =
y =
✓ ✗

---

2. Oldd meg a
 (1) 3x +y = -1
 (2) -2x +y = 4
egyenletrendszert grafikus módszerrel, ha
a) x és y természetes szám
Megoldás:
x =
y =
✓ ✗
b) x és y valós szám!
Megoldás:
x =
y =
✓ ✗

---

3. Ágoston minden alkalommal reggel fél 8-kor indul el a lakásuktól 2100 méterre lévő iskolába, s az utat rollerrel 14 perc alatt teszi meg közel egyenletes sebességgel.
Egyik reggel apukája észreveszi, hogy Ágoston otthon felejtette a matekfüzetét.
Az apuka gyermeke indulása után 6 perccel robogóra pattan, és 450 méter/perc egyenletes sebességgel utána megy.
Mennyi ideig ment és hány métert haladt Ágoston az otthoni indulástól számítva, amikor apukája utoléri?
x = perc
y = m.
✓ ✗

HÁZI FELADAT

1. Oldd meg az egyenletrendszereket grafikus módszerrel!

Adatbevitel:
n = nincs megoldás
v = végtelen sok megoldás

a)
 (1) y = x + 4
 (2) y = -2x + 1
x =
y =
b)
 (1) y = 2x - 5
 (2) 2y = x - 4
x =
y =
c)
 (1) y = 2x - 5
 (2) 2y = x - 4
x =
y =

---

2. Dani a lakásuktól 720 méterre lévő iskolából délután 2 órakor hazaindul a tőle megszokott 60 méter/perc átlagos sebességgel.
Ugyanabban a pillanatban a lakásukból az iskola felé indul Dani anyukája 30 méter/perc átlagos sebességgel.
Hány percet gyalogolnak a találkozásig?
Milyen távol lesznek otthonuktól a találkozás pillanatában?
perc
m.

---

3. Egy baráti társaság ünnepi vacsorához a terem berendezését végzi.
Ha minden asztalhoz 6 vendéget ültetnek, akkor 2 főnek nem jut hely, ha viszont minden asztal köré 7 széket helyeznek, akkor 1 hely üresen marad.
a) Hányan vannak a társaságban, és hány asztal van a teremben?
fő
asztal.
b) Ha lehetőség van 10-nél kevesebb, más méretű asztal elhelyezésére is, akkor hány asztalt állíthatnak be ahhoz, hogy mindenkinek jusson hely, és ne maradjon egyetlen asztalnál sem üres szék?
Lehetséges esetek:
1. :; 2. :; 3. :; 4. :; 5. :; 6. :; 7. :; 8. :; 9. :.

---

4. A vásárban 1 csikóért 2 malacot és 5 tallért kell fizetni, két csikóért viszont 1 malacot és 22 tallért.
Hány tallérba kerül 1 csikó, és mennyibe 1 malac?

1 csikó = tallér,
1 malac = tallér

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /