Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
BEVEZETŐ
Egy mérnök észrevette, hogy egy fontos alkatrész tervrajzát bent hagyta az irodájában a tervezőasztalon.Telefonál az egyik munkatársának, Jánosnak:
– Légy szíves, küldd el nekem a 6-os hengersor rajzát!
János látja, hogy a tervrajz túl nagy ahhoz, hogy beférjen az A/4-es méretű másológépbe (szkennerbe), ezért 1 : 4 arányú középpontos kicsinyítést végez.
Az így kapott ábra megfelelő méretű, így beszkenneli, majd egy e-mail mellékleteként gyorsan elküldi a munkatársa számítógépére.
A mérnök kinyomtatja a rajzot A/4-es méretben.
Milyen kapcsolat van a kinyomtatott és az eredeti rajz között?
A középpontos hasonlósággal kapott ábrán
– minden szög ugyanakkora, mint az eredetin;
– minden szakasz negyedakkora, mint az eredeti szakasz.
Ezt küldte el János egyik számítógépről a másikra.
Eközben sem a szögek nagysága, sem a szakaszok hossza nem változott meg, tehát a megérkezett rajz egybevágó azzal, amit János küldött.
A nyomtatás is ezekkel egybevágó rajzot eredményezett.
Tehát a mérnök a 6-os hengersor tervrajzának pontos kicsinyített változatát kapta, ezzel dolgozhat tovább.
Azt mondjuk, hogy ez az ábra hasonló az irodában lévő eredeti tervrajzhoz.
Nemcsak hasonlít hozzá, nemcsak olyasmi, mint az, hanem matematikai szakkifejezéssel: hasonló.
Nézzük azt a tervrajzot, amelyet János a másolással kapott!
Ez
– az eredeti kicsinyített képe és
– egybevágó azzal a tervrajzzal, amelyet a mérnök kinyomtatott.
A mérnök által kinyomtatott tervrajz az eredetinek is kicsinyített képe.
ELMÉLET
Ha egy alakzat középpontosan hasonló képét valahova elmozdítjuk és/vagy tükrözzük, akkor a keletkező harmadik alakzatra azt mondjuk, hogy ez hasonló az első alakzathoz.A hasonlóság jele: +
A középpontos hasonlóság aránya egyúttal az itt fellépő hasonlóságnak is aránya.
Ha a hasonlóság aránya 1, akkor egybevágóságról beszélünk.
Ez azt jelenti, hogy az egybevágósági transzformációk halmaza valódi részhalmaza a hasonlósági transzformációk halmazának.
Másképp: Két alakzatot hasonlónak mondunk, ha az egyik egy középpontos hasonlóság és egy egybevágósági transzformáció egymás után való elvégzésével a másikba vihető.
Két alakzat középpontosan hasonló, ha az egyik létrehozható a másikból középpontos hasonlósági transzformációval.
A nagyítás aránya 5 11 .
A rózsaszínű nyolcszög elmozdítható úgy, hogy éppen a kék nyolcszöget kapjuk meg.
Ezért azt mondjuk, hogy a zöld és a kék sokszög hasonló.
A rózsaszínű sokszög oldalai 5 11 -ször akkorák, mint a zöld sokszög megfelelő oldalai, és ugyanekkorák a kék nyolcszög oldalai is.
A három sokszög megfelelő szögei mind egyenlők.
Megjegyzés
A zöld és a rózsaszín nyolcszögre is mondhatjuk, hogy hasonlók.Ezzel kevesebbet állítunk a két sokszögről, mint ami valójában teljesül rájuk, hiszen a középpontos hasonlóság a hasonlóság különleges esete.
A szemléltetés egy geometriai szoftft verrel, például a GeoGebra programmal is elvégezhető.
KIDOLGOZOTT FELADAT
1. Az ABC háromszög oldalhosszúságai: 15 mm (a), 19 mm (b) és 26 mm (c).
Ezt kétszeresére nagyítottuk az O pontból, majd a nagyított képet tükröztük az e egyenesre.
Milyen kapcsolat van a három háromszög között, illetve mekkorák az egyes háromszögek oldalai?
Ezt kétszeresére nagyítottuk az O pontból, majd a nagyított képet tükröztük az e egyenesre.
Milyen kapcsolat van a három háromszög között, illetve mekkorák az egyes háromszögek oldalai?
2. Az ABCD téglalap oldalainak hossza legyen a és b!
Alkalmazzunk a téglalapra egy olyan középpontos hasonlósági transzformációt, amelynek középpontja az A csúcs, a hasonlóság aránya k = 3!
Határozzuk meg a kapott AlBlClDl és az eredeti ABCD téglalap kerületének és területének arányát!
Alkalmazzunk a téglalapra egy olyan középpontos hasonlósági transzformációt, amelynek középpontja az A csúcs, a hasonlóság aránya k = 3!
Határozzuk meg a kapott AlBlClDl és az eredeti ABCD téglalap kerületének és területének arányát!
ELMÉLET
Ha egy síkidomot k arányú középpontos hasonlósággal transzformálunk, akkor a transzformáció során kapott alakzat kerülete az eredeti alakzat kerületének k-szorosa, területe pedig az eredeti alakzat k2-szerese.Például
Az ábra ABCD-vel párhuzamos síkú sokszögei kerületének aránya (a legkisebbtől indulva):1 : 2 : 3 : 4; a területük aránya: 1 : 4 : 9 : 16.
A fenti összefüggések nem csak a középpontosan hasonló alakzatok esetén állnak fenn.
Bizonyítható, hogy két hasonló sokszög (vagy bármely más síkidom) kerületének aránya a hasonlóságuk arányával (k-val), területének aránya a hasonlóságuk arányának négyzetével (k2-tel) egyenlő.
FELADAT
1. Egy háromszög oldalainak hosszúsága 12 cm, 15 cm és 16 cm.
Egy ahhoz hasonló másik háromszög egyik oldala 10 cm-es.
a) Mennyi lehet a hasonlóság aránya?
✓ ✗
b) Mekkora lehet a másik háromszög többi oldala?
✓ ✗
//a) 5/6; 2/3; 5/8 b) 12,5 cm és 13,3 cm; 8 cm és 10,7 cm; 7,5 cm és 9,38 cm.
Egy ahhoz hasonló másik háromszög egyik oldala 10 cm-es.
a) Mennyi lehet a hasonlóság aránya?
✓ ✗
b) Mekkora lehet a másik háromszög többi oldala?
✓ ✗
//a) 5/6; 2/3; 5/8 b) 12,5 cm és 13,3 cm; 8 cm és 10,7 cm; 7,5 cm és 9,38 cm.
2. Egy háromszög oldalainak hosszúsága 10 cm, 10 cm és 12 cm.
Egy ahhoz hasonló másik háromszögnek
a) a kerülete 16 dm; b) a területe 12 cm2.
Mekkorák a másik háromszög oldalai?
✓ ✗
//a) 5 dm; 5 dm és 6 dm b) 5 cm; 5 cm és 6 cm
Egy ahhoz hasonló másik háromszögnek
a) a kerülete 16 dm; b) a területe 12 cm2.
Mekkorák a másik háromszög oldalai?
✓ ✗
//a) 5 dm; 5 dm és 6 dm b) 5 cm; 5 cm és 6 cm
3. Egy külföldi megrendelő többszintes családi házat szeretne építtetni.
Az alábbi tervrajz az épület alsó szintjéről készült, melyen az adatokat – az Egyesült Államokban mai napig használatos – láb (angolul foot, rövidítése: ft ) mértékegységben tüntették fel.
A magyar kivitelező számára olyan tervrajzot szeretnénk készíteni, melyen a méretek méterben szerepelnek.
Hivatalosan 1 ft = 0,3048 m, de a feladatban számoljunk 1 ft = 0,3 m átváltással!
A méretarány az a szám, amely megmutatja, hogy a rajzon 1 cm hosszúság a valóságban hány cm-nek felel meg (jelölésére M = 1: valóságbeli hossz alakot szokás használni).
a) Milyen széles a valóságban az ábra alsó vízszintes vonalán jelölt bejárati ajtó?
✓ ✗
b) Mekkora az a lehető legnagyobb méretarányú rajz, amely elfér egy A2 méretű lapon, ha a lapszélen legalább 1,2 cm széles keretet biztosítunk az adatok megjelenítéséhez?
✓ ✗
c) Add meg cm-ben az a) esetben elkészített tervrajzon a living room (nappali) adatait!
✓ ✗
//a) 0,9 m b) 1:25011≈1:22,7 (azaz 1:22 arányú) c) 19,8 cm; 27,76 cm
Az alábbi tervrajz az épület alsó szintjéről készült, melyen az adatokat – az Egyesült Államokban mai napig használatos – láb (angolul foot, rövidítése: ft ) mértékegységben tüntették fel.
A magyar kivitelező számára olyan tervrajzot szeretnénk készíteni, melyen a méretek méterben szerepelnek.
Hivatalosan 1 ft = 0,3048 m, de a feladatban számoljunk 1 ft = 0,3 m átváltással!
A méretarány az a szám, amely megmutatja, hogy a rajzon 1 cm hosszúság a valóságban hány cm-nek felel meg (jelölésére M = 1: valóságbeli hossz alakot szokás használni).
✓ ✗
b) Mekkora az a lehető legnagyobb méretarányú rajz, amely elfér egy A2 méretű lapon, ha a lapszélen legalább 1,2 cm széles keretet biztosítunk az adatok megjelenítéséhez?
✓ ✗
c) Add meg cm-ben az a) esetben elkészített tervrajzon a living room (nappali) adatait!
✓ ✗
//a) 0,9 m b) 1:25011≈1:22,7 (azaz 1:22 arányú) c) 19,8 cm; 27,76 cm
HÁZI FELADAT
1. Bármely két négyzet hasonló.
Melyik szám lehet a hasonlóság aránya, ha
a) az egyik négyzet oldala 24 mm hosszú, a másiknak a kerülete 24 mm;
b) az egyik négyzet oldala 25 mm hosszú, a másiknak a területe 25 cm2;
c) az egyik négyzet kerülete 25 mm hosszú, a másiknak a területe 25 cm2?
//a) 0,25 b) 0,2 c) 0,8
Melyik szám lehet a hasonlóság aránya, ha
a) az egyik négyzet oldala 24 mm hosszú, a másiknak a kerülete 24 mm;
b) az egyik négyzet oldala 25 mm hosszú, a másiknak a területe 25 cm2;
c) az egyik négyzet kerülete 25 mm hosszú, a másiknak a területe 25 cm2?
//a) 0,25 b) 0,2 c) 0,8
2. Az ABCD téglalap oldalai 3 cm, illetve 12 cm hoszszúak.
Vágd szét a téglalapot egy egyenessel két téglalapra úgy, hogy az egyik levágott rész hasonló legyen az ABCD téglalaphoz!
Mekkorák a levágott részek oldalai?
//0,75 cm és 3 cm; 11,25 cm és 3 cm
Vágd szét a téglalapot egy egyenessel két téglalapra úgy, hogy az egyik levágott rész hasonló legyen az ABCD téglalaphoz!
Mekkorák a levágott részek oldalai?
//0,75 cm és 3 cm; 11,25 cm és 3 cm
3. Az ABCDE gúla alapja 4 cm-es oldalú négyzet, magassága 12 cm hosszú.
Három párhuzamos síkkal (amelyek párhuzamosak az ABCD négyzet síkjával is) a gúlát négy egyenlő magasságú részre daraboltuk (ekkor a gúla oldaléleit is negyedeltük).
//a) 4; 9; 16 b) 4; 9; 16
a) Hányszorosa a legkisebb gúla alaplapja területének a másik három gúla alaplapjának területe?
b) Hányszorosa a legkisebb gúla oldallapja területének a másik három gúla oldallapjának területe?
Három párhuzamos síkkal (amelyek párhuzamosak az ABCD négyzet síkjával is) a gúlát négy egyenlő magasságú részre daraboltuk (ekkor a gúla oldaléleit is negyedeltük).
//a) 4; 9; 16 b) 4; 9; 16
b) Hányszorosa a legkisebb gúla oldallapja területének a másik három gúla oldallapjának területe?
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
