13 EGÉSZ KITEVŐJŰ HATVÁNYOK

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_I__teljes.pdf
Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf

BEVEZETŐ

Mennyi a `(2^8)/(2^11)` és `(5^8)/(5^8)` törtek értéke?

Megoldás

Az egyszerűsítés szabályait felhasználva könnyen válaszolhatunk a kérdésre, de vessük ezt össze azzal, vajon mire vezetne az azonos alapú hatványok osztására vonatkozó azonosság alkalmazása!
Egyszerűsítéssel: `(2^8)/(2^11) = 1/(2^3)`.
Azonosság alkalmazásával: `(2^8)/(2^11) = 2^(8-11) = 2^(-3)`.
Lehetne-e `2^(-3)=(1)/(2^3)`?
Egyszerűsítéssel: `(5^8)/(5^8)=1`.
Azonosság alkalmazásával:`(5^8)/(5^8)=5^0`.
Lehetne-e `5^0 = 1`?

ELMÉLET

A hatványozás fogalmát kiterjeszthetjük minden egész kitevőre.
Ehhez értelmezzük (definiáljuk) a hatvány fogalmát, ha a kitevőben negatív egész szám vagy 0 áll.
Az új definíciót úgy érdemes bevezetni, hogy az azonosságok továbbra is érvényben maradjanak.
(A kiterjesztésnek azt a módját, amikor figyelünk arra, hogy bizonyos tulajdonságok továbbra is teljesüljenek, permanencia-elvnek nevezzük, a latin permanens = folyamatos szóból.)

Definíció:
Ha a ≠ 0, és n pozitív egész szám, akkor a `a^(-n)=1/(a^n)`.
Az azonos alapú hatványok hányadosára vonatkozó azonosság miatt a `a^(-n)=1/(a^n)=(1/a)^n`, vagyis negatív egész kitevőre úgy hatványozunk, hogy az alap reciprokát emeljük a kitevő ellentettjére.

Definíció:
Ha a ≠ 0, akkor `a^0 = 1`, vagyis bármely nullától különböző valós szám nulladik hatványa 1.
Például:
`5^(-4)=1/(5^4);(-3)^0=1;(1/3)^(-2)=1/(1/3)^2=1/(1/3^2)=3^2;(3/7)^(-4)=(7/3)^4`

Tétel: (a hatványozás azonosságai a; b ∈ R, a ≠ 0, b ≠ 0 és m; n ∈ Z esetén)

Azonos alapú hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy az alapot a kitevők összegére emeljük.	`a^m · a^n = a^(m + n)`
Azonos alapú hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapot a kitevők különbségére emeljük.	`(a^m)/(a^n) = a^(m-n)`; ha a ≠ 0
Hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük.	`(a^m)^n = a^(m · n)`
Szorzat hatványa egyenlő a tényezők hatványának szorzatával.	`(a · b)^n = a^n · b^n`
Hányados hatványa egyenlő a számláló hatványának és a nevező hatványának hányadosával.	`(a/b)^n = (a^n)/(b^n)`; ha b ≠ 0

A `0^0` nem értelmezett.

FELADAT

1. Írd fel az alábbi kifejezéseket pozitív kitevős hatványként!
a)
`(1/5)^(-3)` = ^3
`(1/20)^(-2)` = ^2
`(2/3)^(-4)` = (/ )^4
`(3/4)^(-2)` = (/ )^2
`(1/b)^(-3)` = ^3
`(b/a)^(-3)` = (/ )^3
✓ ✗

---

2. Hányadik hatványa?
a) 2-nek a
256, =
1/64 =
✓ ✗
b) 1/2-nek a
256 =
1/64 =
✓ ✗

KIDOLGOZOTT FELADAT

1. Mennyi `0,01^2, 0,01^3` és `0,01^4`?

Első módszer

0,01^2 = 0,01 ∙ 0,01 = 0,0001 (1 tízezred);
0,01^3 = 0,01 ∙ 0,01 ∙ 0,01 = 0,0001 ∙ 0,01 = 0,000 001 (1 milliomod);
0,01^4 = 0,01 ∙ 0,01 ∙ 0,01 ∙ 0,01 = 0,000 001 ∙ 0,01 = 0,000 000 01 (1 százmilliomod).

Második módszer

`0,01 = 1/100 = 1/10^2 = 10^(−2)` , ezért `0,01^2 = (10^(-2))^2 = 10^(−4)` ;
`0,01^3 = (10^(−2))^3 = 10^(−6)` ;
`0,01^4 = (10^(−2))^4 = 10^(−8)`.
A második módszer könnyebben áttekinthető, mert csak a 10 hatványaival kell számolnunk.
A két módszert összehasonlítva látjuk:
`0,0001 = 10^(– 4)`;
`0,000 001 = 10^(– 6)`;
`0,000 000 01 = 10^(– 8)`.

FELADAT

3. Írd fel 10 hatványaként!
a) 0,001⁵ ∙ 0,1³ = 10^ ✓ ✗
b) 0,001³ : 0,1⁵ = 10^ ✓ ✗
c) 0,1^–5 : 0,001^–3 = 10^ ✓ ✗

---

4. a) Tudjuk, hogy  509,8 = 5 · 10² + 9 · 10⁰ + 8 · 10^–1.
Írd le az 5065,8-et és a 3,085-et hasonló alakban!
5065,8 = ∙ 10³ + ∙ 10¹ + ∙ 10⁰ + ∙ 10^-1 és
3,085 = ∙ 10⁰ + ∙ 10^-2 + ∙ 10^-3.
✓ ✗
b) Melyik a nagyobb:
8 · 10^–3 + 5 · 10⁰ + 3 · 10^–1 vagy
2 · 10^–1 + 5 · 10⁰ + 10^–2?
Az első a nagyobb. A második a nagyobb. Egyenlők. ✓ ✗

---

5. Írd fel az eredményt 10 egész kitevőjű hatványaként!
a) `(2^-8*5^-7)/(2^5*5^6)` = 10^ ✓ ✗
b) `(4^-3)^2*25^-7*2^3*5^5` = 10^ ✓ ✗
c) `(25^-1*8^-4)/(5^3*2^-7)` = 10^ ✓ ✗
d) `(20^-3)^-2*5^-1*4^-2*125` = 10^ ✓ ✗

---

6. Írd fel két egész szám hányadosaként!
`(1/3)^-3:(1/2)^-3` = /
`(1/3)^-3:(1/3)^3` = /
`(2/7)^-3:(7/3)^2` = /
`(3/5)^3:(2/5)^-3` = /
✓ ✗

HÁZI FELADAT

1. Melyik igaz, melyik hamis?
Válaszod számolással igazold!
a) (5 ∙ 7)^–3 = 5^–3 ∙ 7^–3
igaz hamis
b) (5 + 7)⁰ = 5⁰ + 7⁰
igaz hamis
c) (25 : 4)^–1 = 25^–1 : 4^–1
igaz hamis
d) (25 – 4)^–1 = 25^–1 – 4^–1
igaz hamis

---

2. Számítsd ki számológép nélkül!
`(3^-7*7^-3)/(2^5*7^4):(3^-9*7^-7)/(2^5)` =

---

3. Írd fel az eredményt 10 egész kitevőjű hatványaként!
a) 0,001 ∙ 0,000 01 = 10^
c) 0,0001^(–2) = 10^
b) 0,001⁴ = 10^
d) 100^–3 : 0,01⁶ = 10^

---

4. Zsebszámológép használata nélkül írd fel két egész szám hányadosaként!
`(3/2)^(-2):(3/2)^3` = /
`(5/3)^3:(2/5)^(-3)` = /
`(7/11)^(-3):(7/11)^(-2)` = /
`(2/7)^(-2):(3/2)^(-3)` = /

---

5. Igaz vagy hamis?
a) `(–2)^10 = 4^(–5)` igaz hamis
b) `4^(–8) = 16^(–4)` igaz hamis
c) `8^(–7) = 4^(–14)` igaz hamis
d) `27^(–9) = (–3)^27` igaz hamis
e) `(–6)^0 = 6^0` igaz hamis
f) `(–2)^(–4) = 0,5^4` igaz hamis

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /