Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
BEVEZETŐ
Korábban láttuk, hogy minden háromszögnek van körülírt és beírt köre.
Könnyen látható, hogy ez a tulajdonság, amellyel minden háromszög rendelkezik, nem teljesül minden sokszög esetében.
Vannak olyan sokszögek, amelyeknek sem beírt, sem körülírt körük nincs.
Vannak olyan sokszögek, amelyeknek csak beírt vagy csak körülírt körük van.
ELMÉLET
A síkban egy konvex sokszögnek van beírható köre, ha létezik a síknak olyan pontja, mely egyenlő távolságra van a sokszög minden oldalától.Ez a távolság a beírható kör sugara.
(Ebben az esetben a sokszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást, a sokszög oldalegyenesei a kör érintői.)
A síkban egy konvex sokszögnek van körülírható köre, ha létezik a síknak olyan pontja, mely egyenlő távolságra van a sokszög minden csúcsától. Ez a távolság a körülírható kör sugara.
(Ebben az esetben a sokszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, a sokszög oldalai a kör húrjai.)
A rajzokon r a négyszögbe írt kör sugarát, R a négyszög körülírt körének sugarát jelenti.
| beírt köre a beírt kör középpontja körülírt köre a körülírt kör középpontja | ||||
| négyzet van az átlók metszéspontja van az átlók metszéspontja | ||||
| téglalap általában nincs, speciális esetben van (négyzet) – van az átlók metszéspontja | ||||
| rombusz van az átlók metszéspontja általában nincs, speciális esetben van (négyzet) – | ||||
| paralelogramma általában nincs, speciális esetben van (rombusz) – általában nincs, speciális esetben van (téglalap) – | ||||
| egyenlő szárú trapéz (húrtrapéz) általában nincs, speciális esetben van (ha a szemközti oldalak hosszának összege egyenlő) – van a szimmetriatengely egy pontja | ||||
| konvex deltoid van a szimmetriatengely egy pontja általában nincs, speciális esetben van (ha a szemközti szögek összege 180°) – |
FELADAT
1. Határozd meg a 7 cm oldalhosszúságú négyzetből kivágható legnagyobb sugarú kör kerületét és területét!
✓ ✗
//21,99 cm; 38,48 cm2
✓ ✗
//21,99 cm; 38,48 cm2
2. Mekkora a rombuszba írt körnek a sugara, ha a rombusz átlóinak hossza 10 cm és 24 cm?
✓ ✗
//60/13 cm
✓ ✗
//60/13 cm
3. Egy 4,1 dm átmérőjű körre illeszkedik egy olyan téglalap négy csúcsa, melynek egyik oldala 9 cm hosszúságú.
Mennyivel nagyobb a kör területe a téglalap területénél?
✓ ✗
//960,25 cm2-rel
Mennyivel nagyobb a kör területe a téglalap területénél?
✓ ✗
//960,25 cm2-rel
4. Egy húrtrapéz alapjainak a hosszúsága 24 mm és 54 mm.
A trapéznak mind a négy oldala érinti a zöld kört.
a) Mekkorák a trapéz csúcsaiból a körhöz húzott érintőszakaszok?
✓ ✗
b) Mekkorák a trapéz szárai?
✓ ✗
c) Mekkora a trapéz magassága?
✓ ✗
d) Mekkora a zöld kör sugara?
✓ ✗
//a) 12 mm; 27 mm b) 39 m c) 36 m d) 18 m
A trapéznak mind a négy oldala érinti a zöld kört.
✓ ✗
b) Mekkorák a trapéz szárai?
✓ ✗
c) Mekkora a trapéz magassága?
✓ ✗
d) Mekkora a zöld kör sugara?
✓ ✗
//a) 12 mm; 27 mm b) 39 m c) 36 m d) 18 m
KIDOLGOZOTT FELADAT
1. A Google Maps egy ingyenes internetes térképszolgáltatás, melynek segítségével a szobánkból is felfedezhetjük a világot.
Érdekes kép tárul elénk, ha rákeresünk Koppenhága Brondby nevű külvárosára az 55°38l10.2mN 12°24l11.6mE koordináták segítségével.
Ez a külváros olyan „körváros”, melyben egy-egy köríven – a kör sugarától függően – 16, illetve 24 házat építettek fel.
Tegyük fel, hogy az egy-egy ilyen körben lakók szeretnének egymással kommunikálni.
Képzeljük el, hogy mindenkinek két lehetőséget biztosítanak a kényelmes, közvetlen kommunikációra.
Az egyik lehetőség a tőszomszéddal a „kerítéskapcsolat” (kerítés egyik és másik oldalán állva beszélgethetnek), a másik lehetőség a hálózati kapcsolat, melyet minden, egymással nem tőszomszéd hozhat létre.
(A kapcsolatok házanként értendők, függetlenül az egy házban lakók számától.
Minden kapcsolathoz két fél szükséges.)
Egy tetszőleges házban lakók hány „kerítéskapcsolatot” és hány hálózati kapcsolatot fognak létrehozni, ha 16 házas egységben laknak?
Hány „kerítéskapcsolatot” és hány hálózati kapcsolatot hoznak létre összesen, ha mindenki mindenkivel szeretne közvetlenül kommunikálni a 16 házas egységben?
Válaszold meg az előbbi kérdéseket a 24 házas egységekre vonatkozóan is!
(A házak közötti ívek nem feltétlenül egyenlő hosszúak.)
Érdekes kép tárul elénk, ha rákeresünk Koppenhága Brondby nevű külvárosára az 55°38l10.2mN 12°24l11.6mE koordináták segítségével.
Ez a külváros olyan „körváros”, melyben egy-egy köríven – a kör sugarától függően – 16, illetve 24 házat építettek fel.
Tegyük fel, hogy az egy-egy ilyen körben lakók szeretnének egymással kommunikálni.
Képzeljük el, hogy mindenkinek két lehetőséget biztosítanak a kényelmes, közvetlen kommunikációra.
Az egyik lehetőség a tőszomszéddal a „kerítéskapcsolat” (kerítés egyik és másik oldalán állva beszélgethetnek), a másik lehetőség a hálózati kapcsolat, melyet minden, egymással nem tőszomszéd hozhat létre.
(A kapcsolatok házanként értendők, függetlenül az egy házban lakók számától.
Minden kapcsolathoz két fél szükséges.)
Egy tetszőleges házban lakók hány „kerítéskapcsolatot” és hány hálózati kapcsolatot fognak létrehozni, ha 16 házas egységben laknak?
Hány „kerítéskapcsolatot” és hány hálózati kapcsolatot hoznak létre összesen, ha mindenki mindenkivel szeretne közvetlenül kommunikálni a 16 házas egységben?
Válaszold meg az előbbi kérdéseket a 24 házas egységekre vonatkozóan is!
(A házak közötti ívek nem feltétlenül egyenlő hosszúak.)
ELMÉLET
Konvex sokszögek tulajdonságai:Az n oldalú konvex sokszög egy csúcsából induló átlóinak száma n - 3.
Az n oldalú konvex sokszög átlóinak száma n n$ ] - 3g .
KIDOLGOZOTT FELADAT
2.
a) Határozzuk meg a belső szögek összegét egy 16, illetve 24 oldalú konvex sokszögben!
b) Határozzuk meg a külső szögek összegét egy 16, illetve 24 oldalú konvex sokszögben!
b) Határozzuk meg a külső szögek összegét egy 16, illetve 24 oldalú konvex sokszögben!
ELMÉLET
Konvex sokszögek általános tulajdonságai:Az n oldalú konvex sokszög belso szögeinek összege (n - 2) ∙ 180°, külső szögeinek összege 360°.
A konkáv sokszögek is felbonthatók háromszögekre, de nem minden esetben egy csúcsból induló átlókkal.
Belátható, hogy az n oldalú sokszögeket átlók segítségével n − 2 darab háromszögre lehet bontani, ezért a konkáv sokszög belső szögeinek összege is (n - 2) ∙ 180°.
FELADAT
5. Hány átlója van egy olyan konvex sokszögnek, melyben a belső szögek összege 2160°?
✓ ✗
//77
✓ ✗
//77
6. Mennyi a belső szögek összege egy olyan konvex sokszögben, melyben az átlók száma 27?
✓ ✗
//1260°
✓ ✗
//1260°
ELMÉLET
Az n oldalú szabályos sokszög tulajdonságai (ahol n ! N; 3 # n):Minden oldala egyenlő hosszú és minden szöge egyenlő nagyságú.
Egy belső szögének nagysága n (n - 2)*180° .
Kerülete K = n ∙ a, ahol a a sokszög oldalának hosszát jelöli.
Van beírható és körülírható köre.
Bármely n oldalú szabályos sokszög felbontható n darab egybevágó, egyenlő szárú háromszögre.
Egy ilyen háromszög alapja a sokszög oldala (a), az alaphoz tartozó magasság pedig a sokszög beírható körének sugara (r).
Ha az egyenlő szárú háromszög területét Ti jelöli, akkor az n oldalú szabályos sokszög területe
T n T n a r = $ i = $ $ .
Egy geometriai programmal tetszőleges n-re rajzoljunk szabályos sokszögeket!
FELADAT
7. Egy szabályos hatszög oldala 1 cm hosszú.
a) Számítsd ki a hatszög területét, továbbá a beírt és a körülírt kör területét is!
✓ ✗
b) Hány százaléka a hatszög területének a két kör területének különbsége?
✓ ✗
//a) 3,6 cm2; 2,36 cm2; 3,14 cm2 b) 30,22%
a) Számítsd ki a hatszög területét, továbbá a beírt és a körülírt kör területét is!
✓ ✗
b) Hány százaléka a hatszög területének a két kör területének különbsége?
✓ ✗
//a) 3,6 cm2; 2,36 cm2; 3,14 cm2 b) 30,22%
HÁZI FELADAT
1. Mekkora a 24 cm kerületű szabályos
a) háromszög;
b) négyszög;
c) hatszög
köré írt kör sugara?
//a) 4,6 cm b) 4,2 cm c) 4 cm
a) háromszög;
b) négyszög;
c) hatszög
köré írt kör sugara?
//a) 4,6 cm b) 4,2 cm c) 4 cm
2. Egy 8 cm oldalú rombusz egyik szöge 60°-os.
a) Mekkora a rombusz területe?
b) Mekkora a rombusz beírt körének sugara?
//a) 55,4 cm2 b) 3,46 cm
a) Mekkora a rombusz területe?
b) Mekkora a rombusz beírt körének sugara?
//a) 55,4 cm2 b) 3,46 cm
3. a) Milyen négyszög az a paralelogramma, amelynek van körülírt köre?
b) Milyen négyszög az a deltoid, amelynek van körülírt köre?
c) Milyen négyszög az a paralelogramma, amelynek van beírt köre?
d) Milyen négyszög az a téglalap, amelynek van beírt köre?
e) Milyen négyszög az a deltoid, amelynek van beírt köre?
f) Milyen négyszög az a rombusz, amelynek van körülírt köre?
//a) téglalap b) olyan deltoid, melynek van legalább két derékszöge c) rombusz d) négyzet e) konvex deltoid f) négyzet
b) Milyen négyszög az a deltoid, amelynek van körülírt köre?
c) Milyen négyszög az a paralelogramma, amelynek van beírt köre?
d) Milyen négyszög az a téglalap, amelynek van beírt köre?
e) Milyen négyszög az a deltoid, amelynek van beírt köre?
f) Milyen négyszög az a rombusz, amelynek van körülírt köre?
//a) téglalap b) olyan deltoid, melynek van legalább két derékszöge c) rombusz d) négyzet e) konvex deltoid f) négyzet
4. Egy deltoid két szemközti szöge derékszög.
Hosszabb átlója 6 cm, rövidebb átlója 5 cm hosszú.
Mekkora a deltoid köré írható kör sugara?
//3 cm
Hosszabb átlója 6 cm, rövidebb átlója 5 cm hosszú.
Mekkora a deltoid köré írható kör sugara?
//3 cm
5. Mennyi a belső szögek összege abban a sokszögben, melyben egy csúcsból 10 átló indul ki?
//1980°
//1980°
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
