Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
BEVEZETŐ
Az ókorban érdekes ábrákon keresztül oldottak meg másodfokú
egyenleteket.
Figyeld meg az x^2 + 6x - 7 = 0 egyenlet megoldását, egy régi módszer segítségével!
Figyeld meg az x^2 + 6x - 7 = 0 egyenlet megoldását, egy régi módszer segítségével!
ELMÉLET
I. Másodfokú kifejezés, másodfokú egyenlet
Az ax^2 + bx + c kifejezést, melyben a, b és c valós számok, és a ≠ 0, másodfokú kifejezésnek nevezzük.Másik elnevezése: másodfokú polinom.
A másodfokú kifejezésben mindig szerepel a változó (pl. x) második hatványa, ennek együtthatója a főegyüttható.
Ezen kívül szerepelhet a változó első hatványa egy együtthatóval szorozva, valamint a változót nem tartalmazó, úgynevezett konstans tag.
ax^2 + bx + c
a = főegyüttható (nem lehet 0)
b = elsőfokú tag együtthatója
c = konstans tag
A másodfokú egyenlet rendezett, úgynevezett kanonikus alakja: ax^2 + bx + c = 0, ahol a ≠ 0.
II. Teljes négyzet
Egy kéttagú kifejezés négyzetét nevezetes azonosság segítségével felírhatjuk más alakban is: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, illetve (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.Amennyiben egy másodfokú kifejezés felírható egy kéttagú kifejezés négyzeteként, akkor azt mondjuk, hogy az teljes négyzetté alakítható.
Például: x^2 + 10x + 25 = (x + 5)2
x^2 - 2,4x + 1,44 = (x - 1,2)2
III. Teljes négyzetté kiegészítés
A teljes négyzetté kiegészítés módszerét másodfokú kifejezések esetén használhatjuk a kifejezés átalakítására.Ezzel az eljárással egy másodfokú kifejezést egy teljes négyzet felhasználásával írunk fel.
Például: x^2 - 8x + 9 = (x - 4)2 - 7
Ha a főegyüttható 1 (a = 1), akkor lépései a következők:
1. Azonosítsuk, hogy melyik az a teljes négyzet, melyben az egyik tag négyzete, valamint a két tag szorzatának kétszerese megtalálható a másodfokú kifejezésben!
Például:
x^2 - 8x + 9 esetén azt keressük, hogy x^2 - 8x melyik teljes négyzet két tagjával egyezik meg.
(x - 4)2 a keresett teljes négyzet, hiszen (x - 4)2 = x^2 - 8x + 16.
2. Adjuk hozzá és vonjuk le a teljes négyzet konstans tagját az eredeti kifejezéshez! Így az eredeti kifejezés értéke nem változik meg.
Például: x^2 - 8x + 9 = x^2 - 8x + 16 - 16 + 9
3. A kifejezésben előáll a teljes négyzet, ezt írjuk le, a megmaradt számokat pedig vonjuk össze! (Az eredeti kifejezés értéke most sem változik meg.)
Például: x^2 - 8x + 9 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 9 = (x - 4)2 - 7
FELADAT
1. Írd be a területeket jelző algebrai kifejezéseket az
ábra megfelelő helyére, majd írd fel azt a nevezetes
azonosságot, amelyet az ábra szemléltet!
x2, 2x, 2x, 4
✓
✗
//A nevezetes azonosság, amit szemléltet: (𝑥𝑥+2)2=𝑥𝑥2+4𝑥𝑥+4
x2, 2x, 2x, 4
//A nevezetes azonosság, amit szemléltet: (𝑥𝑥+2)2=𝑥𝑥2+4𝑥𝑥+4
2. Végezd el a következő műveleteket!
a) (x - 6)2
✓ ✗
b) (x + 11)2
✓ ✗
c) (x - 0,5)2
✓ ✗
d) (x + 1,5)2
✓ ✗
//a) 𝑥𝑥2−12𝑥𝑥+36 b) 𝑥𝑥2+22𝑥𝑥+121 c) 𝑥𝑥2−𝑥𝑥+0,25 d) 𝑥𝑥2+3𝑥𝑥+2,25
a) (x - 6)2
✓ ✗
b) (x + 11)2
✓ ✗
c) (x - 0,5)2
✓ ✗
d) (x + 1,5)2
✓ ✗
//a) 𝑥𝑥2−12𝑥𝑥+36 b) 𝑥𝑥2+22𝑥𝑥+121 c) 𝑥𝑥2−𝑥𝑥+0,25 d) 𝑥𝑥2+3𝑥𝑥+2,25
3. Írd fel a következő kifejezéseket két tag összegének
vagy különbségének négyzeteként!
a) x^2 + 18x + 81
✓ ✗
b) x^2 - 100x + 2500
✓ ✗
c) x^2 + 50x + 625
✓ ✗
d) x^2 - 3x + 2,25
✓ ✗
//a) (𝑥𝑥+9)2 b) (𝑥𝑥−50)2 c) (𝑥𝑥+25)2 d) (𝑥𝑥−1,5)2
a) x^2 + 18x + 81
✓ ✗
b) x^2 - 100x + 2500
✓ ✗
c) x^2 + 50x + 625
✓ ✗
d) x^2 - 3x + 2,25
✓ ✗
//a) (𝑥𝑥+9)2 b) (𝑥𝑥−50)2 c) (𝑥𝑥+25)2 d) (𝑥𝑥−1,5)2
4. Egészítsd ki a következő kifejezéseket úgy, hogy
teljes négyzetet kapj!
Írd fel a kifejezéseket két tag összegének vagy különbségének négyzeteként!
a) x^2 + 4x + …
✓ ✗
b) x^2 - 8x + …
✓ ✗
c) x^2 + 5x + …
✓ ✗
d) x^2 - 15x + …
✓ ✗
//a) 𝑥𝑥2+4𝑥𝑥+4 b) 𝑥𝑥2−8𝑥𝑥+16 c) 𝑥𝑥2+5𝑥𝑥+6,25 d) 𝑥𝑥2−15𝑥𝑥+56,25
Írd fel a kifejezéseket két tag összegének vagy különbségének négyzeteként!
a) x^2 + 4x + …
✓ ✗
b) x^2 - 8x + …
✓ ✗
c) x^2 + 5x + …
✓ ✗
d) x^2 - 15x + …
✓ ✗
//a) 𝑥𝑥2+4𝑥𝑥+4 b) 𝑥𝑥2−8𝑥𝑥+16 c) 𝑥𝑥2+5𝑥𝑥+6,25 d) 𝑥𝑥2−15𝑥𝑥+56,25
5. Alkalmazzuk a teljes négyzetté kiegészítés módszerét!
Töltsd ki a táblázatot!
✓
✗
Töltsd ki a táblázatot!
| másodfokú kifejezés | x^2 + 16x + 54 | x^2 + 14x + 50 | x^2 - 4x - 1 |
| x2-es és x-es tagok | x^2 + 16x | //𝑥𝑥2+14𝑥𝑥 𝑥𝑥2−4𝑥𝑥 | |
| melyik teljes négyzet két tagja szerepel benne? | (x + 8)2 = x^2 + 16x + 64 | //(𝑥𝑥+7)2= 𝑥𝑥2+14𝑥𝑥+49 (𝑥𝑥−2)2= 𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+4 | |
| teljes négyzetté kiegészítés | x^2 + 16x + 54 = = x^2 + 16x + 64 - 64 + 54 |
//𝑥𝑥2+14𝑥𝑥+50= 𝑥𝑥2+14𝑥𝑥+49−49+50 𝑥𝑥2−4𝑥𝑥−1= 𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+4−4−1 | |
| teljes négyzeten kívüli tagok | -64 + 54 = -10 | //−49+50=1 −4−1=−5 | |
| megoldás | x^2 + 16x + 54 = (x + 8)2 - 10 | //𝑥𝑥2+14𝑥𝑥+50= (𝑥𝑥+7)2+1 𝑥𝑥2−4𝑥𝑥−1= (𝑥𝑥−2)2−5 |
6. Teljes négyzetté kiegészítéssel alakítsd át a kifejezéseket!
a) x^2 + 12x + 40
✓ ✗
b) x^2 - 10x - 20
✓ ✗
c) x^2 + 6x + 3,5
✓ ✗
d) x^2 - 3x + 4,25
✓ ✗
//a) (𝑥𝑥+6)2+4 b) (𝑥𝑥−5)2−45 c) (𝑥𝑥+3)2−5,5 d) (𝑥𝑥−1,5)2+2
a) x^2 + 12x + 40
✓ ✗
b) x^2 - 10x - 20
✓ ✗
c) x^2 + 6x + 3,5
✓ ✗
d) x^2 - 3x + 4,25
✓ ✗
//a) (𝑥𝑥+6)2+4 b) (𝑥𝑥−5)2−45 c) (𝑥𝑥+3)2−5,5 d) (𝑥𝑥−1,5)2+2
7. A teljes négyzetté kiegészítés módszerével állapítsd meg, milyen eltolásokkal kapjuk meg a következő függvények
grafikonját az f : R → R, f (x) = x^2 függvény grafikonjából!
a) g: R → R, g(x) = x^2 + 4x + 5
✓ ✗
b) h: R → R, h(x) = x^2 - 6x + 12
✓ ✗
//a) A hozzárendelési szabály (𝑥𝑥+2)2+1 alakban írható, tehát 2-vel eltoljuk balra és 1-gyel fölfelé. b) A hozzárendelési szabály (𝑥𝑥−3)2+3 alakban írható, tehát 3-mal toljuk jobbra és 3-mal fölfelé.
✓ ✗
a) g: R → R, g(x) = x^2 + 4x + 5
✓ ✗
b) h: R → R, h(x) = x^2 - 6x + 12
✓ ✗
//a) A hozzárendelési szabály (𝑥𝑥+2)2+1 alakban írható, tehát 2-vel eltoljuk balra és 1-gyel fölfelé. b) A hozzárendelési szabály (𝑥𝑥−3)2+3 alakban írható, tehát 3-mal toljuk jobbra és 3-mal fölfelé.
✓ ✗
HÁZI FELADAT
1. Egészítsd ki a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetet kapj!
a) x^2 + 40x + …
b) x^2 - 24x + …
c) x^2 + 9x + …
d) x^2 - 1,6x + …
//a) 𝑥𝑥2+40𝑥𝑥+400 b) 𝑥𝑥2−24𝑥𝑥+144 c) 𝑥𝑥2+9𝑥𝑥+20,25 d) 𝑥𝑥2−1,6𝑥𝑥+0,64
a) x^2 + 40x + …
b) x^2 - 24x + …
c) x^2 + 9x + …
d) x^2 - 1,6x + …
//a) 𝑥𝑥2+40𝑥𝑥+400 b) 𝑥𝑥2−24𝑥𝑥+144 c) 𝑥𝑥2+9𝑥𝑥+20,25 d) 𝑥𝑥2−1,6𝑥𝑥+0,64
2. Teljes négyzetté kiegészítéssel alakítsd át a kifejezéseket!
a) x^2 + 22x + 100
b) x^2 - 14x + 42
c) x^2 + 7x - 2,25
d) x^2 - 9x + 20,25
//a) (𝑥𝑥+11)2−21 b) (𝑥𝑥−7)2−7 c) (𝑥𝑥+3,5)2−14,5 d) (𝑥𝑥−4,5)2
a) x^2 + 22x + 100
b) x^2 - 14x + 42
c) x^2 + 7x - 2,25
d) x^2 - 9x + 20,25
//a) (𝑥𝑥+11)2−21 b) (𝑥𝑥−7)2−7 c) (𝑥𝑥+3,5)2−14,5 d) (𝑥𝑥−4,5)2
3. Kösd össze azokat a kifejezéseket, amelyek egyenlők!
Néhány kifejezésnek nincs párja, ezekhez írd fel a hiányzó alakot!
//A hiányzó átalakítások: (𝑥−4)2+3=𝑥2−8𝑥+19 és 𝑥2+8𝑥=(𝑥+4)2−16
Néhány kifejezésnek nincs párja, ezekhez írd fel a hiányzó alakot!
| a) | (x + 4)2 | p) | x^2 + 8x + 6 |
| b) | (x + 4)2 + 3 | q) | x^2 + 8x |
| c) | (x + 4)2 - 3 | r) | x^2 + 8x + 16 |
| d) | (x - 4)2 + 3 | s) | x^2 + 8x + 13 |
| e) | (x - 4)2 - 3 | t) | x^2 - 8x + 13 |
| f) | (x + 4)2 - 10 | u) | x^2 + 8x + 19 |
//A hiányzó átalakítások: (𝑥−4)2+3=𝑥2−8𝑥+19 és 𝑥2+8𝑥=(𝑥+4)2−16
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
