2024. augusztus 8., csütörtök

12 A HATVÁNYOZÁS (ismétlés)

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_I__teljes.pdf
Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf

BEVEZETŐ

Eddigi tanulmányaid során már tapasztalhattad, hogy a matematikai kifejezések jelentése, értéke függhet attól, hogy a benne szereplő számokat, betűket milyen sorrendben írjuk egymáshoz képest, illetve, hogy közéjük, föléjük, mögéjük stb. milyen szimbólumokat helyezünk el.
Sain Márton: Nincs királyi út! című matematikatörténeti könyvében olvashatjuk az alábbiakat a III. században élt Alexandriai Diophantosz munkásságáról:
„…Távol áll még a mai algebrai jelölésrendszertől, de már külön jele van az egyenlőségre, a kivonásra, az ismeretlenre, … hatványokra és azok reciprokaira.
Az összeadást egymás mellé írással jelölte.
Az algebra fejlődésében három korszakot szokás megkülönböztetni.
Azt, amelyben algebrai jeleket még nem használtak, és az összefüggéseket csupán szavakkal írták le, az algebra »retorikus« szakaszának nevezik.
A szinkopikus algebra már használt rövidítéseket, szimbólumokat is, de még lényeges szerephez jut a szóbeli közlés.
A szimbolikus algebrában már mindent szimbólumokkal fejezünk ki: ismeretleneket, műveleteket, ítéleteket….”
A matematikában fontos, hogy a szimbólumokat helyesen értelmezzük, és helyesen használjuk.
Megtanultuk például, hogy a 25 hatványkifejezés egy szorzás műveletet szimbolizál, melyben a tényezők mindegyikének értéke 2, a tényezők száma pedig 5, azaz 2^5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.
Ha az előbbi két számot fordított „sorrendben”, 52 formában írjuk, akkor jelentése és értéke is megváltozik: 5^2 = 5 · 5 = 25.

BEVEZETŐ FELADAT

9. osztályban értelmeztük a pozitív egész kitevőjű hatványokat és megtanultuk, bizonyítottuk az ezekre felírható hatványazonosságokat.
Tégy próbát, mennyire emlékszel a tanultakra!
Az egyes négyszögekben kijelölt műveletek helyes végeredménye megmutatja, melyik úton lépj át a következő mezőre.
Indulj a START-tól és juss el a :)-ig!
(a kifejezésekben a változókra fennáll, hogy a; b; x; y ∈ (R \{0}) és m; n ∈ N+)

FELADAT

1. Írd fel a 2 egyetlen hatványaként!
`2^4 · 2^7 · 2^3 · 2 =` 2^

b) Írd fel a 3 hatványaként!
`(3^2*3*3^8)/(3^3*3^6) =` 3^

c) Írd fel az 5 hatványaként!
`((5^3)^2*5^8)/(5*5^4) =` 5^


2. Állítsd növekvő rendbe az alábbi számokat!
Számológép nélkül dolgozz!
A = `(2^3)^4` = 2^
B = `2^4 · 2^3` = 2^
C = `2^5 · 2^2` = 2^
D = `2^(3^4)` = 2^
E = `2^5 · 5^2`
F = `2^5 : 2^2` = 2^
< = < < < .


3. Hány nullára végződnek az alábbi hatványok?
Számológép nélkül dolgozz!
A = `(2^5)^12`
db 0-ra végződik;

B = `2^8 · 5^6`
db 0-ra végződik;

C = `5^5 · 2^10`
db 0-ra végződik;

D = `25^4 · 12^7`
db 0-ra végződik;

E = `27^5 · 5^4`
db 0-ra végződik;

F = `20^15 : 2^6`
db 0-ra végződik.


4. Mit kell a x helyére írni, hogy fennálljon az egyenlőség?
a) `2^8 · 2^4 · 2^5 = 2^x · 2^3`
x =

b) `5^13 : 5^4 = 5^x · 5^7`
x =

c) `3^6 · 3^4 : 3^5 = 3^x : 3^3`
x =

d) `4^7 · 2 · 0,5^3 = 8^3 · 2^x`
x =


5. Hányszorosa az A szám a B számnak?
a) `A = (3^3)^2  B = 3^8 *1^6/3*(1/3)^6`
A/B =

b) `A = 2^9 · 0,5^3  B = (4^3)^2 · 0,5^6`
A/B =

c) `A = 5^5 · 0,2^2  B = (0,2^4)^2 · 25^6`
A/B =


6. Mely kifejezések egyenlők minden a; b ∈ (R \ {0}) esetén?
`A = 3a^4 · a^6` = *a^*b^
`B = a^3b^4 · (-3)ab^2` = *a^*b^
`C = 3/2(ab^4)^2 · (-2a^2b)` = *a^*b^
`D = (b^6b^3)/(0,5b)` = *a^*b^
`E = (-a/b)^2` = *a^*b^
`F = (-(a^3)/(b^2))^4:(a^2)/(3b^8)` = *a^*b^
`G = ((b^5)/(a^3))^2:((b^3)/(a^2))^4` = *a^*b^
`H = ((-3a)^3(-ab)^7)/(9a^6(-b))` = *a^*b^
`I = ((2a^3b)^10)/(512(a^15b)^2)` = *a^*b^
`J = (75(a^2b)^6)/((5ab^3)^2)` = *a^*b^

Megoldás:

A párjai = és
B párja =
C párja =
D párja =
E párja =


7. a) Írd le a 2-nek, a 3-nak és az 5-nek az 1000-nél kisebb pozitív egész kitevős hatványait növekvő sorrendben!
2 hatványai:
2^1 = ;
2^2 = ;
2^3 = ;
2^4 = ;
2^5 = ;
2^6 = ;
2^7 = ;
2^8 = ;
2^9 = .
3 hatványai:
3^1 = ;
3^2 = ;
3^3 = ;
3^4 = ;
3^5 = ;
3^6 = .
5 hatványai:
5^1 = ;
5^2 = ;
5^3 = ;
5^4 = .
b) Számológép használata nélkül határozd meg akifejezések pontos értékét!
Segítségként használd az a) feladatrészben leírt hatványalakokat a számok szorzattá alakításában!
`(96*45*42)/(512*27*21)=` /

`(162*960)/(32*55*243)=` /


HÁZI FELADAT

1. Döntsd el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis!
Válaszod indokold!
a) Egy negatív számnak minden pozitív egész kitevős hatványa negatív.
b) Van olyan pozitív szám, melynek harmadik hatványa kisebb magánál a számnál.
c) A -1-nek van olyan pozitív egész kitevős hatványa, mely kisebb a -1-nél.
d) Ha egy szám a 2-nek pozitív egész kitevős hatványa, akkor az a 4-nek is pozitív egész kitevős hatványa.
e) Ha egy szám a 9-nek pozitív egész kitevős hatványa, akkor a 3-nak páros kitevős hatványa.
f) A 12-nek bármely 2-nél nagyobb pozitív egész kitevős hatványa osztható 18-cal.
2. Mindkét sorban az egyik kifejezés értéke különbözik a többitől.(x; y ∈ R+)
Melyik ez a kifejezés?
a)
1. `2^4 · 3^5 · 7` =
2. `2^4 · 3^3 · 6 · 7` =
3. `7 · 36 · 72` =
4. `8 · 28 · 81` =
A kakukktojás kifejezés sorszáma =
b)
1. `x^2y^3 · x^4y` = x^*y^
2. `x^6y^2 · xy^2` = x^*y^
3. `(x^3y^2)^2` = x^*y^
4. `(x^7y^6)/(xy^2)` = x^*y^
A kakukktojás kifejezés sorszáma =
3. Az alábbi számok közül melyik a nagyobb?
A feladatot számológép használata nélkül oldd meg!
a) `2^10 · 3^5` vagy `2^11 · 3^4`
b) `(2^3*3^3)/(5^2)` vagy `(2^2*3^2)/(5^6)`
4.Nullánál kisebb, nagyobb vagy nullával egyenlő a felsorolt hatványok értéke?
`A = -5^6 · 5^6`

`B = (-5)^6 · 5^6`

`C = (-5^6) · (-5)^6`

`D = (-5^3)^6 · 5^6`

`E = (-5^6)^3 · 5^6`

`F = (-5)^6 + 5^6`


NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
dátum: