Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
KIDOLGOZOTT FELADAT
1. Oldjuk meg teljes négyzetté kiegészítéssel a következő
egyenletet: x^2 - 6x + 8 = 0.
2. Adott a következő függvény:
f: R → R, f (x) = x^2 - 5x + 5,25.
a) Ábrázold a függvény grafikonját!
b) Határozd meg a függvény zérushelyeit!
f: R → R, f (x) = x^2 - 5x + 5,25.
a) Ábrázold a függvény grafikonját!
b) Határozd meg a függvény zérushelyeit!
FELADAT
1. Az ábra alapján csoportosítsd a felsorolt tagokat úgy, hogy az x^2-hez hozzáadva teljes négyzetet alkossanak, majd alkalmazd a megfelelő nevezetes azonosságot!
A. x^2 + … + … = (x + 4 )2
B. x^2 + … + … =
C. x^2 + … + … =
D. x^2 + … + … =
E. x^2 + … + … =
F. x^2 + … + … =
Behelyettesítés: A. +8x +16
a1. –8x
a2. –12x
a3. –6x
a4. –16x
a5. –4x
b1. +9
b2. +4
b3. +36
b4. +64
b5. +16
✓ ✗
//𝑥𝑥2−8𝑥𝑥+16=(𝑥𝑥−4)2, 𝑥𝑥2−12𝑥𝑥+36=(𝑥𝑥−6)2, 𝑥𝑥2−16𝑥𝑥+64=(𝑥𝑥−8)2, 𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+4=(𝑥𝑥−2)2, 𝑥𝑥2−6𝑥𝑥+9=(𝑥𝑥−3)2
A. x^2 + … + … = (x + 4 )2
B. x^2 + … + … =
C. x^2 + … + … =
D. x^2 + … + … =
E. x^2 + … + … =
F. x^2 + … + … =
Behelyettesítés: A. +8x +16
a1. –8x
a2. –12x
a3. –6x
a4. –16x
a5. –4x
b1. +9
b2. +4
b3. +36
b4. +64
b5. +16
✓ ✗
//𝑥𝑥2−8𝑥𝑥+16=(𝑥𝑥−4)2, 𝑥𝑥2−12𝑥𝑥+36=(𝑥𝑥−6)2, 𝑥𝑥2−16𝑥𝑥+64=(𝑥𝑥−8)2, 𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+4=(𝑥𝑥−2)2, 𝑥𝑥2−6𝑥𝑥+9=(𝑥𝑥−3)2
2. Töltsd ki a táblázat hiányzó celláit!
A nevezetes azonosság segítségével írd fel az ax^2 + bx + c alakban megadott kifejezéseket teljes négyzetet tartalmazó alakban, illetve fordítva!
✓
✗
A nevezetes azonosság segítségével írd fel az ax^2 + bx + c alakban megadott kifejezéseket teljes négyzetet tartalmazó alakban, illetve fordítva!
| ax^2 + bx + c alak | Teljes négyzetet tartalmazó alak | Segítség |
| x^2 - 18x + 83 | (x - 9)2 + 2 | (x - 9)2 = x2 - 18x + 81 |
| //𝑥𝑥2−18𝑥𝑥+71 | (x - 9)2 - 10 | |
| x^2 - 18x + 75 | //(𝑥𝑥−9)2−6 | |
| x^2 - 18x | //(𝑥𝑥−9)2−81 | |
| //𝑥𝑥2+14𝑥𝑥+50 | (x + 7)2 + 1 | (x + 7)2 = x2 + 14x + 49 |
| x^2 + 14x + 40 | //(𝑥𝑥+7)2−9 | |
| x^2 + 14x + 56 | //(𝑥𝑥+7)2+7 | |
| x^2 + 14x | //(𝑥𝑥+7)2−49 |
3. A teljes négyzetté kiegészítés módszerével állapítsd meg, milyen eltolásokkal kapjuk meg a következő függvények
grafikonját az f : R → R, x → x^2 függvény grafikonjából!
a) g: R → R, g(x) = x^2 - 4x - 1
✓ ✗
b) h: R → R, h(x) = x^2 + 14x + 39
✓ ✗
//a) A hozzárendelési szabály (𝑥𝑥−2)2−5 alakban írható, tehát 2-vel eltoljuk jobbra és 5-tel lefelé. b) A hozzárendelési szabály (𝑥𝑥+7)2−10 alakban írható, tehát 7-tel toljuk balra és 10-zel lefelé.
a) g: R → R, g(x) = x^2 - 4x - 1
✓ ✗
b) h: R → R, h(x) = x^2 + 14x + 39
✓ ✗
//a) A hozzárendelési szabály (𝑥𝑥−2)2−5 alakban írható, tehát 2-vel eltoljuk jobbra és 5-tel lefelé. b) A hozzárendelési szabály (𝑥𝑥+7)2−10 alakban írható, tehát 7-tel toljuk balra és 10-zel lefelé.
4. Oldjuk meg a következő egyenleteket!
Töltsd ki a táblázatot a második oszlop alapján!
Az egyik esetben nincs megoldás.
Melyik ez az egyenlet?
a) x^2 + 6x + 8 = 0
b) x^2 - 14x + 33 = 0
c) x^2 - 10x + 27 = 0
d) x^2 + 3x - 10 = 0
✓
✗
Megjegyzés: A gyökök összege és szorzata érdekes kapcsolatot mutat a kiindulási egyenletekben szereplő együtthatókkal.
Erre majd egy későbbi leckében visszatérünk.
Töltsd ki a táblázatot a második oszlop alapján!
Az egyik esetben nincs megoldás.
Melyik ez az egyenlet?
a) x^2 + 6x + 8 = 0
b) x^2 - 14x + 33 = 0
c) x^2 - 10x + 27 = 0
d) x^2 + 3x - 10 = 0
| Az egyenlet | x^2 + 6x + 8 = 0 | x^2 - 14x + 33 = 0 | x^2 - 10x + 27 = 0 | x^2 + 3x - 10 = 0 |
| Teljes négyzetté kiegészítés | (x + 3)2 - 9 + 8 = 0 (x + 3)2 = 1 |
//(𝑥𝑥−7)2−49+33=0 (𝑥𝑥−7)2=16 | //(𝑥𝑥−5)2−25+27=0 (𝑥𝑥−5)2=−2 | //(𝑥𝑥+1,5)2−2,25−10=0 (𝑥𝑥+1,5)2=12,25 |
| Megoldás | x + 3 = 1 → x = -2 vagy x + 3 = -1 → x = -4 |
//𝑥𝑥−7=4 vagy 𝑥𝑥−7=−4 | //nincs megoldás | //𝑥𝑥+1,5=3,5 vagy 𝑥𝑥+1,5=−3,5 |
| Az egyenlet gyökei | -2 és -4 | //11 és 3 | // | //2 és -5 |
| A gyökök összege | -6 | //14 | // | //-3 |
| A gyökök szorzata | 8 | //-33 | // | //-10 |
Megjegyzés: A gyökök összege és szorzata érdekes kapcsolatot mutat a kiindulási egyenletekben szereplő együtthatókkal.
Erre majd egy későbbi leckében visszatérünk.
5. Oldd meg teljes négyzetté kiegészítéssel a következő egyenleteket!
a) x^2 + 2x = 15
✓ ✗
b) x^2 + 3x = 28
✓ ✗
c) x^2 - 12x + 20 = 0
✓ ✗
d) x^2 + 10x + 16 = 0
✓ ✗
//a) 3 és-5 b) 4 és -7 c) 2 és 10 d) -2 és -8
a) x^2 + 2x = 15
✓ ✗
b) x^2 + 3x = 28
✓ ✗
c) x^2 - 12x + 20 = 0
✓ ✗
d) x^2 + 10x + 16 = 0
✓ ✗
//a) 3 és-5 b) 4 és -7 c) 2 és 10 d) -2 és -8
6. Egy társaságban mindenki mindenkivel egyszer kezet fogott.
Összesen 55 kézfogás történt.
Hányan vannak a társaságban?
✓ ✗
//11-en
Összesen 55 kézfogás történt.
Hányan vannak a társaságban?
✓ ✗
//11-en
HÁZI FELADAT
1. Oldd meg a teljes négyzetté kiegészítés módszerével
az alábbi egyenleteket!
a) x^2 + 14x = 15
b) x^2 + 9,6x = 10,6
//a) 1 és -15 b) 1 és -10,6
a) x^2 + 14x = 15
b) x^2 + 9,6x = 10,6
//a) 1 és -15 b) 1 és -10,6
2. Oldd meg az egyenleteket!
a) x^2 - 9x + 21,25 = 0
b) x^2 - 65,61 = 0
//a) 4,5 b) 8,1 és -8,1
a) x^2 - 9x + 21,25 = 0
b) x^2 - 65,61 = 0
//a) 4,5 b) 8,1 és -8,1
3. Milyen eltolásokkal kaphatjuk meg a függvények
grafikonját a k(x) = x^2 függvény grafikonjából?
Értelmezési tartomány a valós számok halmaza.
a) f(x) = x^2 + 4,6x
b) g(x) = x^2 + 9,2x + 21
c) h(x) = x^2 - 1,8x + 2,1
//a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥+2,3)2−5,29, tehát 2,3-del eltoljuk balra és 5,29 -dal lefelé b) 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥+4,6)2−0,16, tehát 4,6-del eltoljuk balra és 0,16 -dal lefelé. c) ℎ(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥−0,9)2+1,29, tehát 0,9-del eltoljuk jobbra és 1,29 -dal felfelé.
Értelmezési tartomány a valós számok halmaza.
a) f(x) = x^2 + 4,6x
b) g(x) = x^2 + 9,2x + 21
c) h(x) = x^2 - 1,8x + 2,1
//a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥+2,3)2−5,29, tehát 2,3-del eltoljuk balra és 5,29 -dal lefelé b) 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥+4,6)2−0,16, tehát 4,6-del eltoljuk balra és 0,16 -dal lefelé. c) ℎ(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥−0,9)2+1,29, tehát 0,9-del eltoljuk jobbra és 1,29 -dal felfelé.
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
