Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
KIDOLGOZOTT FELADAT
Oldjuk meg a következő egyenleteket:
a) 3x² + 5x + 1 = 0
b) ax² + bx + c = 0, ahol a ≠ 0.
a) 3x² + 5x + 1 = 0
b) ax² + bx + c = 0, ahol a ≠ 0.
ELMÉLET
Ha az a, a b és a c betű egy-egy adott valós számot jelöl, ahol a ! 0, akkor az ax² + bx + c = 0 egyenletnek 0, 1 vagy 2 gyöke van a valós számok körében.– Ha b2 - 4ac 1 0, akkor az egyenletnek nincs gyöke a valós számok körében.
– Ha b2 - 4ac = 0, akkor az egyenletnek 1 valós gyöke van, a 2a c- b m szám. Ezt az egyenlet kétszeres gyökének is nevezik.
– Ha b2 - 4ac 2 0, akkor az egyenletnek 2 különböző valós gyöke van, a a b b ac 2 - + 2 - 4 és a a b b ac 2 - - 2 - 4 szám.
Ezt a két gyököt együtt így szoktuk felírni: x a b b ac 2 4 1,2 ! 2 =- - .
Ez a másodfokú egyenlet megoldóképlete.
Látható, hogy a gyökök száma attól függ, hogy a (b2 - 4ac) szám negatív, 0 vagy pozitív.
A (b2 - 4ac) számot a másodfokú egyenlet diszkriminánsának nevezzük és D-vel jelöljük.
(A diszkrimináns latin eredetű szó, eredeti jelentése: megkülönböztető, osztályozó.)
Például
– a 3x² + 7x + 5 = 0 egyenlet esetében a = 3, b = 7 és c = 5, a diszkrimináns D = 72 - 4 3 5 = 49 - 60 = -11 1 0, ezért ennek az egyenletnek nincs valós gyöke;– az x² + 8x + 16 = 0 egyenlet esetében a = 1, b = 8 és c = 16, a diszkrimináns D = 82 - 4 1 16 = 64 - 64 = 0, ezért ennek az egyenletnek egy (kétszeres) valós gyöke van, mégpedig x a b 2 2 = - = - 8 = -4; (ezt egyszerűbben is megkaphatjuk, mert x² + 8x + 16 = (x + 4)2);
– a 2x² + 15x - 3 = 0 egyenlet esetében:
a = 2, b = 15 és c = -3,
a diszkrimináns D = 152 - 4 2 (-3) = 225 + 24 = 249 > 0,
ezért ennek az egyenletnek két különböző valós gyöke van: x 2 2 15 249 4 15 249 1,2 $ = - ! = - ! .
x , 0,195 4 15 249 4 15 15 78 1 = - + . - + = ; x , 7,695 4 15 249 4 15 15 78 2 = - - . - - = - .
A másodfokú egyenlet megoldóképlete: `x_(1,2)=(-b+-sqrt(b²-4*a*c))/(2*a)`
FELADAT
1. Számold ki a diszkriminánst!
Ha a diszkrimináns pozitív, oldd meg a megoldóképlet segítségével az egyenleteket!
a) 4x² + 12x - 27 = 0;
✓ ✗
b) 5x² + 4x - 9 = 0.
✓ ✗
//a) 1,5 és -4,5 b) 1 és -1,8
Ha a diszkrimináns pozitív, oldd meg a megoldóképlet segítségével az egyenleteket!
a) 4x² + 12x - 27 = 0;
✓ ✗
b) 5x² + 4x - 9 = 0.
✓ ✗
//a) 1,5 és -4,5 b) 1 és -1,8
2. Egy másodfokú egyenlet megoldása során behelyettesítettünk a megoldóképletbe.
Az egyenlet ax² + bx + c = 0 alakú.
Add meg azt az egyenletet, amelyet megoldottunk!
`x_(1,2)=(-7+-sqrt(7^2-4*(-3)*5))/(2*(-3))`
✓ ✗
//−3𝑥𝑥2+7𝑥𝑥+5=0
Az egyenlet ax² + bx + c = 0 alakú.
Add meg azt az egyenletet, amelyet megoldottunk!
`x_(1,2)=(-7+-sqrt(7^2-4*(-3)*5))/(2*(-3))`
✓ ✗
//−3𝑥𝑥2+7𝑥𝑥+5=0
3. Azonosítsd be, hogy melyik számok felelnek meg a megoldóképletben szereplő a, b és c betűknek, majd oldd meg a megoldóképlet segítségével az egyenleteket!
a) -2x² - 3x + 44 = 0
✓ ✗
b) 6 - 5x + x² = 0
✓ ✗
c) 5x² +11x = 8
✓ ✗
//a) 4 és -5,5 //b) 2 és 3 //c) (−11±√281)/10
a) -2x² - 3x + 44 = 0
✓ ✗
b) 6 - 5x + x² = 0
✓ ✗
c) 5x² +11x = 8
✓ ✗
//a) 4 és -5,5 //b) 2 és 3 //c) (−11±√281)/10
4. Vizsgáld az f : R → R, f(x) =-0,12x² + 80x -10 000 másodfokú függvényt!
a) Határozd meg a függvény zérushelyeit a meg oldó képlet segítségével!
✓ ✗
b) Vázold a függvény grafikonját!
✓ ✗
c) Állapítsd meg, hol van szélsőértéke a függvénynek, és mennyi annak az értéke!
✓ ✗
//a) 166,7 és 500 c) ≈333,3-nál, értéke ≈3333
a) Határozd meg a függvény zérushelyeit a meg oldó képlet segítségével!
✓ ✗
b) Vázold a függvény grafikonját!
✓ ✗
c) Állapítsd meg, hol van szélsőértéke a függvénynek, és mennyi annak az értéke!
✓ ✗
//a) 166,7 és 500 c) ≈333,3-nál, értéke ≈3333
5. Egészítsd ki a 3x² + 6x + … = 0 egyenletet úgy, hogy az R alaphalmazon
a) 2;
✓ ✗
b) 1;
✓ ✗
c) 0
✓ ✗
darab valós gyöke legyen!
////a) 3-nál kisebb szám b) 3 c) 3-nál nagyobb szám
a) 2;
✓ ✗
b) 1;
✓ ✗
c) 0
✓ ✗
darab valós gyöke legyen!
////a) 3-nál kisebb szám b) 3 c) 3-nál nagyobb szám
HÁZI FELADAT
1. Oldd meg a megoldóképlet segítségével az egyenleteket!
a) x² + 2,5x - 6 = 0
b) 12x² - 8x - 15 = 0.
//a) 1,5 és -4 b) 1,5 és -5/6
a) x² + 2,5x - 6 = 0
b) 12x² - 8x - 15 = 0.
//a) 1,5 és -4 b) 1,5 és -5/6
2. Oldd meg a megoldóképlet segítségével az egyenleteket!
Ha szükséges, rendezd megfelelő alakba őket!
a) 6x² - 40 = x
b) 35 - 36x = -9x²
//a) -2,5 és 8/3 b) 7/3 és 5/3
Ha szükséges, rendezd megfelelő alakba őket!
a) 6x² - 40 = x
b) 35 - 36x = -9x²
//a) -2,5 és 8/3 b) 7/3 és 5/3
3. Vázold a zérushelyek és a tengelypont segítségével
az f : R → R, f(x) =-2x² + 4x +10,5 függvény
grafikonját!
//Zérushelyek: -1,5 és 3,5. Tengelypont: (1; 12,5)
//Zérushelyek: -1,5 és 3,5. Tengelypont: (1; 12,5)
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
