Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
BEVEZETŐ
A napóra egy érdekes geometriai hozzárendelésen alapuló időmérő eszköz.Az eszköz használatakor a Nap mozgását és az ez által létrehozott különböző állású, pillanatnyi árnyék képét figyelik meg, és annak segítségével határozzák meg a helyi időt.
A Nap mérete és a Földtől való távolsága miatt a Napból a Földre érkező sugarakat tekinthetjük egymással párhuzamosnak.
Ha egy térbeli alakzatot egy rögzített képsíkra egy adott iránnyal párhuzamos fénysugarakkal vetítünk, akkor párhuzamos vetítést hozunk létre.
Ez a leképezés a napóra működési elvének alapja.
Az alábbi rajzok a napóra sematikus képét mutatják.
Az árnyék képzéséhez szükséges ABC háromszöget úgy helyezik el, hogy a háromszög egyik oldala illeszkedjen az S síkra.
A kialakuló árnyékháromszög BC oldala egybeesik az eredeti háromszög BC oldalával, ezért hosszuk egyenlő.
Az árnyékháromszög többi oldalának hossza és szögeinek nagysága a Nap állásától függően változik.
Az eredeti ABC háromszög képe az adott pillanatban kialakult AlBC háromszög, ezért ez felfogható egy térbeli geometriai leképezésnek.
Ez a hozzárendelés azonban nem rendelkezik sem távolságtartó, sem szögtartó tulajdonsággal, és nem érvényes rá a megfelelő szakaszok arányának állandósága sem.
Az i. e. 5. századtól egészen a középkorig a napórák adtak lehetőséget a helyi idő legpontosabb meghatározására nappal, derült időben.
A napóra nem csak az időmérő eszköz, hanem művészeti alkotás, építészeti és műszaki alkotás szerepét is betöltötte az évszázadok során.
ELMÉLET
1. A geometriai hozzárendelések (más szóval: geometriai leképezések) olyan függvények, amelyek értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz.Ezek közül különösen fontosak azok a hozzárendelések, amelyek kölcsönösen egyértelműek, valamint az értelmezési tartomány és az értékkészlet ugyanaz a ponthalmaz.
Ezeket geometriai transzformációknak nevezzük.
Ezek közé tartoznak a tanult egybevágósági transzformációk és a hasonlóság is.
Az egybevágósági transzformációk (tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli elforgatás, párhuzamos eltolás) és a középpontos hasonlóság esetén érvényes, hogy egyenes képe egyenes, szakasz képe szakasz, háromszög képe háromszög, kör képe kör.
Az előbbi tulajdonságok mellett az említett transzformációk mindegyikében speciálisabb tulajdonságokat is megfogalmaztunk az eredeti és a képként kapott alakzatokra vonatkozóan.
Az egybevágósági transzformációk esetén például érvényben van a szakasztartó, távolságtartó, szögtartó tulajdonság, míg a középpontos hasonlóság esetén a távolságtartás helyett az aránytartás teljesül.
2. Vannak másféle geometriai hozzárendelések is.
A műszaki gyakorlatban például a testek ábrázolására a vetületi ábrázolást használják.
Ilyenkor egy térbeli test pontjainak képe egy síkbeli alakzat, vagyis az értelmezési tartomány és az értékkészlet dimenziója nem azonos, a dimenzió csökken: a teret egy síkra képezzük le.
Ezek a vetületi ábrázolások legtöbbször sem a távolságot, sem az arányt nem őrzik meg.
A tárgyról merőleges vetítéssel kialakított, síkban fekvő geometriai alakzatokat vetületnek, ezt a vetítési módot merőleges vetítésnek nevezzük.
A sík elhelyezkedésétől függően beszélhetünk elölnézeti, felülnézeti vagy oldalnézeti képről.
A síkbeli merőleges vetítés során a sík pontjait a sík egy egyenesére vetítjük.
Ezt szemlélteti az ábra.
3. Kéz árnyéka kéz?
Dinoszaurusz alakú árnyképe csak dinoszaurusznak lehet?
Ezt a csalóka illúziót használják ki az árnyjátékot professzionálisan megjelenítő művészek, akik valójában a tér pontjait a tér egy síkjára vetítik le előre elkészített koreográfia alapján.
FELADAT
1. Az alábbi ábrákon egy-egy példát látunk a sík egyenesre történő merőleges vetítésére.
Gondoljuk végig az ábrák alapján, hogy miért igazak a következő állítások!
a) Pont képe pont.
✓ ✗
b) Szakasz képe lehet pont.
✓ ✗
c) Van olyan szakasztól különböző alakzat, amelynek képe szakasz.
✓ ✗
d) Egy szakasz merőleges vetülete legfeljebb olyan hosszú, mint az eredeti szakasz.
✓ ✗
e) Körvonal képe szakasz.
✓ ✗
//a) minden ábrán az A, B, C pontokra b) a 4. ábra: AB szakasz képe c) a 3. ábra: AB ív képe A’B’ szakasz d) a 2. ábra: A’B’BA derékszögű trapézban AB szár hossza legalább akkora, mint A’B’ szár e) 3. ábra: AB ív képe A’B’ szakasz
Gondoljuk végig az ábrák alapján, hogy miért igazak a következő állítások!
a) Pont képe pont.
✓ ✗
b) Szakasz képe lehet pont.
✓ ✗
c) Van olyan szakasztól különböző alakzat, amelynek képe szakasz.
✓ ✗
d) Egy szakasz merőleges vetülete legfeljebb olyan hosszú, mint az eredeti szakasz.
✓ ✗
e) Körvonal képe szakasz.
✓ ✗
//a) minden ábrán az A, B, C pontokra b) a 4. ábra: AB szakasz képe c) a 3. ábra: AB ív képe A’B’ szakasz d) a 2. ábra: A’B’BA derékszögű trapézban AB szár hossza legalább akkora, mint A’B’ szár e) 3. ábra: AB ív képe A’B’ szakasz
2. (Kompetenciamérés, 2009)
A következő ábrán egy épület felülnézeti képe látható.
C
Melyik ábra mutathatja az épület oldalnézeti képét?
✓
✗
A következő ábrán egy épület felülnézeti képe látható.
C
3. (Kompetenciamérés, 2013)
Tomi különböző testeket világított meg, és megfigyelte a falon kirajzolódó árnyékukat.
Melyik test NEM adhat árnyékként téglalapot?
Válaszd ki a megfelelő ábra betűjelét!
✓ ✗
//D
Tomi különböző testeket világított meg, és megfigyelte a falon kirajzolódó árnyékukat.
Melyik test NEM adhat árnyékként téglalapot?
Válaszd ki a megfelelő ábra betűjelét!
✓ ✗
//D
4. A fizikában akkor beszélünk munkavégzésről, ha erő hatására a test elmozdul.
Az állandó erő által végzett munka nagyságát úgy számíthatjuk ki, hogy a test elmozdulásának és az erő elmozdulás irányába eső összetevőjének nagyságát megszorozzuk egymással.
Az erő elmozdulás irányú összetevője az erő merőleges vetülete az elmozdulás irányára.
Az alábbi ábrákon pirossal rajzoltuk a test elmozdulásának egyenesét.
Másold le az ábrákat a füzetedbe, és szerkeszd meg az egyes esetekben a feketével rajzolt Fv erővektor merőleges vetületét az elmozdulás egyenesére!
✓ ✗
Az állandó erő által végzett munka nagyságát úgy számíthatjuk ki, hogy a test elmozdulásának és az erő elmozdulás irányába eső összetevőjének nagyságát megszorozzuk egymással.
Az erő elmozdulás irányú összetevője az erő merőleges vetülete az elmozdulás irányára.
Az alábbi ábrákon pirossal rajzoltuk a test elmozdulásának egyenesét.
Másold le az ábrákat a füzetedbe, és szerkeszd meg az egyes esetekben a feketével rajzolt Fv erővektor merőleges vetületét az elmozdulás egyenesére!
✓ ✗
HÁZI FELADAT
1. Szerkessz egy derékszögű háromszöget, melynek befogói 4 cm és 5 cm hosszúak!
a) Szerkeszd meg a két befogó merőleges vetületét az átfogó egyenesére!
Mekkora e két vetület hosszának összege?
b) Szerkeszd meg az átfogó merőleges vetületét az egyik, majd a másik befogó egyenesére!
Mekkora a merőleges vetületek hossza?
//a) az átfogó hossza b) megegyezik a befogók hosszával
a) Szerkeszd meg a két befogó merőleges vetületét az átfogó egyenesére!
Mekkora e két vetület hosszának összege?
b) Szerkeszd meg az átfogó merőleges vetületét az egyik, majd a másik befogó egyenesére!
Mekkora a merőleges vetületek hossza?
//a) az átfogó hossza b) megegyezik a befogók hosszával
2. (Kompetenciamérés, 2017)
A zedországi 1500 méteres síkfutást négy kameraállásból rögzíti a televízió.
A következő ábra az 1, 2, 3, 4 számokkal jelölt négy futó pozícióját, valamint az A, B, C és D jelű kamerák elhelyezkedését mutatja.
futás iránya
a) Melyik kamera felvétele alapján készült a következő ábra a futók pozíciójáról?
b) Állapítsd meg a felső ábra alapján, melyik versenyzőtársát látja a 3-as számmal jelölt futó, ha balra hátrafelé pillant!
//a) D b) 2
A zedországi 1500 méteres síkfutást négy kameraállásból rögzíti a televízió.
A következő ábra az 1, 2, 3, 4 számokkal jelölt négy futó pozícióját, valamint az A, B, C és D jelű kamerák elhelyezkedését mutatja.
futás iránya
b) Állapítsd meg a felső ábra alapján, melyik versenyzőtársát látja a 3-as számmal jelölt futó, ha balra hátrafelé pillant!
//a) D b) 2
3. (Kompetenciamérés, 2008)
Az alábbi rajz felülnézetből ábrázol egy tömör, azonos méretű kockákból álló testet.
Az is leolvasható a rajzról, hogy a felülnézetben látható oszlopok hány kockát tartalmaznak.
Ezt az oszlopok tetején lévő szám jelzi.
Melyik alábbi test szerkezetét adja meg a speciális felülnézeti ábra?
//b)
Az alábbi rajz felülnézetből ábrázol egy tömör, azonos méretű kockákból álló testet.
Az is leolvasható a rajzról, hogy a felülnézetben látható oszlopok hány kockát tartalmaznak.
Ezt az oszlopok tetején lévő szám jelzi.
//b)
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
