Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
BEVEZETŐ
Vizsgáljuk meg a következő állítást!
P: "Ha egy szám osztható 6-tal, akkor osztható 3-mal is."
Ezt az állítást két részre bonthatjuk.
Az első része azt állítja egy számról, hogy osztható 6-tal, a második része azt állítja, hogy osztható 3-mal.
Ezeket a részeket a „ha…, akkor” kötőszavak fűzik össze: ha osztható 6-tal, akkor abból következik, hogy osztható 3-mal.
Írjuk fel P-t a részek segítségével!
A: "Egy szám osztható 6-tal."
B: "Egy szám osztható 3-mal."
P állítás azt fejezi ki, hogy amikor az első állítás igaz (vagyis a szám osztható 6-tal), akkor a második állítás is teljesül (tehát a szám osztható 3-mal): ha A, akkor B.
A 6-tal osztható számok valóban oszthatók 3-mal is, ezért a P állítás igaz.
Fordítsuk meg A és B sorrendjét!
A P állítás megfordítása: Ha B, akkor A.
Szavakkal: ha egy szám osztható 3-mal, akkor osztható 6-tal is.
Ez már nem mindig teljesül: van olyan szám, amely osztható 3-mal, de nem osztható 6-tal, például ilyen szám a 9.
Mivel tudunk mutatni egy ellenpéldát, ezért a „Ha B, akkor A.” állítás hamis.
P: "Ha egy szám osztható 6-tal, akkor osztható 3-mal is."
Ezt az állítást két részre bonthatjuk.
Az első része azt állítja egy számról, hogy osztható 6-tal, a második része azt állítja, hogy osztható 3-mal.
Ezeket a részeket a „ha…, akkor” kötőszavak fűzik össze: ha osztható 6-tal, akkor abból következik, hogy osztható 3-mal.
Írjuk fel P-t a részek segítségével!
A: "Egy szám osztható 6-tal."
B: "Egy szám osztható 3-mal."
P állítás azt fejezi ki, hogy amikor az első állítás igaz (vagyis a szám osztható 6-tal), akkor a második állítás is teljesül (tehát a szám osztható 3-mal): ha A, akkor B.
A 6-tal osztható számok valóban oszthatók 3-mal is, ezért a P állítás igaz.
Fordítsuk meg A és B sorrendjét!
A P állítás megfordítása: Ha B, akkor A.
Szavakkal: ha egy szám osztható 3-mal, akkor osztható 6-tal is.
Ez már nem mindig teljesül: van olyan szám, amely osztható 3-mal, de nem osztható 6-tal, például ilyen szám a 9.
Mivel tudunk mutatni egy ellenpéldát, ezért a „Ha B, akkor A.” állítás hamis.
FELADAT
1. Töltsd ki a táblázatot!
Határozd meg, hogy melyik állítás igaz, melyik hamis!
Ha az állítás hamis, akkor írj ellenpéldát!
a) A: Egy szám osztható 24-gyel.
B: Egy szám osztható 8-cal.
b) C: Egy négyszög trapéz.
D: Egy négyszög paralelogramma.
c) A: Egy háromszög egyenlőszárú.
B: Egy háromszög tengelyesen szimmetrikus.
Határozd meg, hogy melyik állítás igaz, melyik hamis!
Ha az állítás hamis, akkor írj ellenpéldát!
a) A: Egy szám osztható 24-gyel.
B: Egy szám osztható 8-cal.
| szavakkal | igaz vagy hamis? | |
| Ha A, akkor B. | Ha egy szám osztható 24-gyel, akkor osztható 8-cal is. | ✓ ✗ |
| Ha B, akkor A. | Ha egy szám osztható 8-cal, akkor osztható 24-gyel is. | ✓ ✗ |
D: Egy négyszög paralelogramma.
| szavakkal | igaz vagy hamis? | |
| Ha C, akkor D. | Ha egy négyszög
, akkor az a négyszög . |
✓ ✗ |
| Ha D, akkor C. |
Ha egy négyszög
, akkor az a négyszög . |
✓ ✗ |
B: Egy háromszög tengelyesen szimmetrikus.
| szavakkal | igaz vagy hamis? | |
| Ha A, akkor B. | Ha egy háromszög
, akkor az a háromszög . |
✓ ✗ |
| Ha B, akkor A. | Ha egy háromszög
, akkor az a háromszög . |
✓ ✗ |
2. Melyik sorrendben igaz a „Ha…, akkor…” következtetés?
a) A: Ez az állat rovar.
B: Ez az állat bogár.
✓ ✗
b) C: A teherautó tömege nagyobb, mint a babakocsi tömege.
D: A teherautóra nagyobb nehézségi erő hat, mint a babakocsira.
✓ ✗
c) E: Pisti szabálysértést követett el.
F: Pisti áthajtott biciklivel a piroson.
✓ ✗
a) A: Ez az állat rovar.
B: Ez az állat bogár.
✓ ✗
b) C: A teherautó tömege nagyobb, mint a babakocsi tömege.
D: A teherautóra nagyobb nehézségi erő hat, mint a babakocsira.
✓ ✗
c) E: Pisti szabálysértést követett el.
F: Pisti áthajtott biciklivel a piroson.
✓ ✗
ELMÉLET
1. „Ha…, akkor” állítás = KÖVETKEZTETÉS (latinul: implikáció)
Adott két állítás: A és B.
Ezeket összekapcsolhatjuk a „ha…, akkor…” kötőszavakkal: „ha A, akkor B”.
Így egy új állítást kapunk.
Jele: A → B.
A → B („ha A, akkor B”) állítás igaz, ha A igaz értéke esetén B is igaz.
A → B igaz akkor és csak akkor A igaz értéke esetén B is igaz
Az A → B igazsága azt jelenti, hogy A-nak következménye B, az A állításból következik a B állítás.
Azt, hogy A → B hamis, egyetlen ellenpélda bizonyítja: egy olyan példa, amikor A igaz, de B hamis.
Az A → B állítás igazságát (azaz egy következtetés helyességét) azonban sokszor nehéz bizonyítani.
Különleges, hogy az A → B állítás igaz, ha A logikai értéke hamis.
Erről majd 12. osztályban tanulunk bővebben.
KIEGÉSZÍTÉSEK:
1. A következtetés logikai művelete a részhalmazképzésnek feleltethető meg a halmazelméletben.
2. A neve = feltétel, B neve = következmény.
3. A → B egyenértékű A ⊆ B (ha egy elem benne van a szűkebb halmazban [részhalmazban], akkor abból következik, hogy a tágabb halmazban [tartalmazó halmazban] is benne kell, hogy legyen.
4. Három (igaz) eset van: 1. Ha egy elem benne van mindkét halmazban, 2. Ha csak a bővebb halmazban van benn, 3. Ha egyik halmazban sincs benn. Olyan eset nem lehetséges, amikor az elem csak a szűkebb halmazban van benn.
5. Igazságtáblázata:
2. A „ha…, akkor” állítás megfordítása
Az A → B állítás megfordítása a B → A állítás.
Van olyan eset, amikor A → B és B → A is igaz, van olyan eset, hogy csak az egyik igaz, és van olyan eset, amikor mindkettő hamis.
3. Akkor és csak akkor (latinul: ekvivalencia)
Amikor A → B és B → A is teljesül, akkor A-nak következménye B, és B-nek következménye A.
Ekkor A és B logikai értéke megegyezik: vagy mindkettő igaz, vagy mindkettő hamis.
Ezt fejezi ki az „akkor és csak akkor” kifejezés.
Jele: A ↔ B.
A ↔ B igaz akkor és csak akkor pontosan ugyanakkor igazak
KIEGÉSZÍTÉSEK:
1. A ↔ B = (A → B) ⋀ (B → A).
Vagyis ha egy következtetés és a megfordítása is igaz, akkor a két kijelentés ekvivalens.
2. A logikai ekvivalencia a halmazok egyenlőségének felel meg a halmazelméletben.
3. Két igaz eset van: Ha egy elem mindkét halmazban benne van, vagy ha mindkét halmazon kívül van.
4. Igazságtáblázata:
Ez azt jelenti, hogy egy négyszögre pontosan ugyanakkor teljesülnek a különböző meghatározások:
vagy mindegyik igaz, vagy mindegyik hamis.
A: Egy négyszög paralelogramma.
B: Egy négyszög két szemközti oldala párhuzamos és egyenlő.
C: Egy négyszög szemközti szögei egyenlők.
D: Egy négyszög szemközti oldalai párhuzamosak.
E: Egy négyszög szemközti oldalai egyenlők.
F: Egy négyszög középpontosan szimmetrikus.
G: Egy négyszög szomszédos szögei 180°-ra egészítik ki egymást.
A ↔ B, A ↔ C, B ↔ C, C ↔ D, D ↔ E, E ↔ F, F ↔ G stb.
Szavakkal például A ↔ C: Egy négyszög akkor és csak akkor paralelogramma, ha szemközti szögei egyenlők.
Adott két állítás: A és B.
Ezeket összekapcsolhatjuk a „ha…, akkor…” kötőszavakkal: „ha A, akkor B”.
Így egy új állítást kapunk.
Jele: A → B.
A → B („ha A, akkor B”) állítás igaz, ha A igaz értéke esetén B is igaz.
A → B igaz akkor és csak akkor A igaz értéke esetén B is igaz
Az A → B igazsága azt jelenti, hogy A-nak következménye B, az A állításból következik a B állítás.
Azt, hogy A → B hamis, egyetlen ellenpélda bizonyítja: egy olyan példa, amikor A igaz, de B hamis.
Az A → B állítás igazságát (azaz egy következtetés helyességét) azonban sokszor nehéz bizonyítani.
Különleges, hogy az A → B állítás igaz, ha A logikai értéke hamis.
Erről majd 12. osztályban tanulunk bővebben.
KIEGÉSZÍTÉSEK:
1. A következtetés logikai művelete a részhalmazképzésnek feleltethető meg a halmazelméletben.
2. A neve = feltétel, B neve = következmény.
3. A → B egyenértékű A ⊆ B (ha egy elem benne van a szűkebb halmazban [részhalmazban], akkor abból következik, hogy a tágabb halmazban [tartalmazó halmazban] is benne kell, hogy legyen.
4. Három (igaz) eset van: 1. Ha egy elem benne van mindkét halmazban, 2. Ha csak a bővebb halmazban van benn, 3. Ha egyik halmazban sincs benn. Olyan eset nem lehetséges, amikor az elem csak a szűkebb halmazban van benn.
5. Igazságtáblázata:
| A | B | A → B |
| i | i | i |
| i | h | h |
| h | i | i |
| h | h | i |
2. A „ha…, akkor” állítás megfordítása
Az A → B állítás megfordítása a B → A állítás.
Van olyan eset, amikor A → B és B → A is igaz, van olyan eset, hogy csak az egyik igaz, és van olyan eset, amikor mindkettő hamis.
3. Akkor és csak akkor (latinul: ekvivalencia)
Amikor A → B és B → A is teljesül, akkor A-nak következménye B, és B-nek következménye A.
Ekkor A és B logikai értéke megegyezik: vagy mindkettő igaz, vagy mindkettő hamis.
Ezt fejezi ki az „akkor és csak akkor” kifejezés.
Jele: A ↔ B.
A ↔ B igaz akkor és csak akkor pontosan ugyanakkor igazak
KIEGÉSZÍTÉSEK:
1. A ↔ B = (A → B) ⋀ (B → A).
Vagyis ha egy következtetés és a megfordítása is igaz, akkor a két kijelentés ekvivalens.
2. A logikai ekvivalencia a halmazok egyenlőségének felel meg a halmazelméletben.
3. Két igaz eset van: Ha egy elem mindkét halmazban benne van, vagy ha mindkét halmazon kívül van.
4. Igazságtáblázata:
| A | B | A → B |
| i | i | i |
| i | h | h |
| h | i | h |
| h | h | i |
Példa:
A paralelogrammára több ekvivalens meghatározás adható.Ez azt jelenti, hogy egy négyszögre pontosan ugyanakkor teljesülnek a különböző meghatározások:
vagy mindegyik igaz, vagy mindegyik hamis.
A: Egy négyszög paralelogramma.
B: Egy négyszög két szemközti oldala párhuzamos és egyenlő.
C: Egy négyszög szemközti szögei egyenlők.
D: Egy négyszög szemközti oldalai párhuzamosak.
E: Egy négyszög szemközti oldalai egyenlők.
F: Egy négyszög középpontosan szimmetrikus.
G: Egy négyszög szomszédos szögei 180°-ra egészítik ki egymást.
A ↔ B, A ↔ C, B ↔ C, C ↔ D, D ↔ E, E ↔ F, F ↔ G stb.
Szavakkal például A ↔ C: Egy négyszög akkor és csak akkor paralelogramma, ha szemközti szögei egyenlők.
FELADAT
3. Betűkkel jelöltünk négy egyenletet. (x valós szám)
A: x + 3 = 0
B: 5 – x = 0
C: (x + 3)(5 – x) = 0
D: (x + 3)² + (5 – x)² = 0
Állapítsd meg a következő állítások logikai értékét!
Ha az állítás hamis, mutass ellenpéldát!
A → C = ✓ ✗
A → D = ✓ ✗
B → C = ✓ ✗
B → D = ✓ ✗
C → A = ✓ ✗
C → D = ✓ ✗
C → B = ✓ ✗
A: x + 3 = 0
B: 5 – x = 0
C: (x + 3)(5 – x) = 0
D: (x + 3)² + (5 – x)² = 0
Állapítsd meg a következő állítások logikai értékét!
Ha az állítás hamis, mutass ellenpéldát!
A → C = ✓ ✗
A → D = ✓ ✗
B → C = ✓ ✗
B → D = ✓ ✗
C → A = ✓ ✗
C → D = ✓ ✗
C → B = ✓ ✗
4. Milyen logikai műveleti jelet kell írni a pontozott részre, hogy a kijelentés igaz legyen?
a) Az (x + 3)(5 - x) szorzat akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha x + 3 = 0 5 - x = 0. ✓ ✗
b) Az (x + 3)² + (5 - y)² összeg akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha x + 3 = 0 5 - y = 0. ✓ ✗
a) Az (x + 3)(5 - x) szorzat akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha x + 3 = 0 5 - x = 0. ✓ ✗
b) Az (x + 3)² + (5 - y)² összeg akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha x + 3 = 0 5 - y = 0. ✓ ✗
5. Milyen logikai műveleti jelet kell írni a pontozott részekre, hogy az állítás igaz legyen?
Az ab szorzat értéke akkor és csak akkor pozitív, ha (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0). ✓ ✗
Az ab szorzat értéke akkor és csak akkor pozitív, ha (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0). ✓ ✗
HÁZI FELADAT
1. Melyik sorrendben teljesül a „Ha…, akkor…” következtetés?
a) A: Ez az állat emlős.
B: Ez az állat gerinces.
A → B teljesül-e:
B → A teljesül-e:
B ↔ A teljesül-e:
b) C: Egy futó világrekordot ér el az olimpiai döntőben.
D: Egy futó megnyeri az olimpiát.
A → B teljesül-e:
B → A teljesül-e:
B ↔ A teljesül-e:
c) E: Ez az idézet Petőfi-től származik
F: Ez az idézet a János vitézből származik.
A → B teljesül-e:
B → A teljesül-e:
B ↔ A teljesül-e:
a) A: Ez az állat emlős.
B: Ez az állat gerinces.
A → B teljesül-e:
B → A teljesül-e:
B ↔ A teljesül-e:
b) C: Egy futó világrekordot ér el az olimpiai döntőben.
D: Egy futó megnyeri az olimpiát.
A → B teljesül-e:
B → A teljesül-e:
B ↔ A teljesül-e:
c) E: Ez az idézet Petőfi-től származik
F: Ez az idézet a János vitézből származik.
A → B teljesül-e:
B → A teljesül-e:
B ↔ A teljesül-e:
2. Fogalmazd meg az állítások megfordítását!
Állapítsd meg, hogy melyik állítás igaz, melyik hamis!
Ha hamis, mutass ellenpéldát!
Állapítsd meg, hogy melyik állítás igaz, melyik hamis!
Ha hamis, mutass ellenpéldát!
| Az állítás | Az állítás igaz vagy hamis? | Az állítás megfordítása szavakban | A megfordítás igaz vagy hamis? |
| Ha egy tört értéke pozitív, akkor számlálója és nevezője is pozitív. | Ha egy tört , akkor a tört . | ||
| Ha egy kétjegyű egész szám prímszám, akkor páratlan. | Ha egy kétjegyű egész szám , akkor az a kétjegyű egész szám . | ||
| Ha egy szám abszolút értéke nagyobb, mint 1, akkor a szám is nagyobb, mint 1. | Ha egy szám , akkor a szám . |
3. Egészítsd ki az állítást úgy, hogy igaz legyen!
a) Az (x - 8)(7 - 2x) szorzat akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha…
x1 = , vagy
x2 =
b) Az (x - 8)^2 + (7 - 2x)^2 összeg sohasem lesz egyenlő nullával, mert …
szám összege mindig , mint nulla.
a) Az (x - 8)(7 - 2x) szorzat akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha…
x1 = , vagy
x2 =
b) Az (x - 8)^2 + (7 - 2x)^2 összeg sohasem lesz egyenlő nullával, mert …
szám összege mindig , mint nulla.
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
