Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
KIDOLGOZOTT FELADAT
Milyen geometriai transzformációval vihető át az f függvény
grafikonja a g, illetve a h függvény grafikonjába, ha
f(x) = |x| ,
g(x) = |x| + 2 és
h(x) = |x + 3|
(Df = Dg = = Dh = R)?
FELADAT
1. Add meg a grafikonok alapján a függvények hozzárendelési szabályát!
Mindegyik esetben add meg azokat a geometriai transzformációkat, amelyekkel az f függvény grafikonja a másik két grafikonba átvihető!
a) Df = Dg = Dh = R
//f(x) = x2 , g(x) = x2 - 4, h(x) = (x + 3)2 ; eltolás az y tengely mentén negatív irányban 4 egységgel, eltolás az x tengely mentén negatív irányban 3 egységgel
✓ ✗
b) Df = Dg = Dh = R
//f(x) = |x| , g(x) = |x - 4| , h(x) = |x| - 3; eltolás az x tengely mentén pozitív irányban 4 egységgel, eltolás az y tengely mentén negatív irányban 3 egységgel.
✓ ✗
Mindegyik esetben add meg azokat a geometriai transzformációkat, amelyekkel az f függvény grafikonja a másik két grafikonba átvihető!
//f(x) = x2 , g(x) = x2 - 4, h(x) = (x + 3)2 ; eltolás az y tengely mentén negatív irányban 4 egységgel, eltolás az x tengely mentén negatív irányban 3 egységgel
✓ ✗
//f(x) = |x| , g(x) = |x - 4| , h(x) = |x| - 3; eltolás az x tengely mentén pozitív irányban 4 egységgel, eltolás az y tengely mentén negatív irányban 3 egységgel.
✓ ✗
2. Ábrázold a következő függvények grafikonját, majd jellemezd a függvényeket a táblázat szempontjai szerint!
a) f : R → R, f(x) = (x - 5)^2
//[0; 3[, 5; 0; 5; ]-3; 5]-on szigorúan monoton csökken; [5; 3[-on szigorúan monoton nő. [-5; 3[, -5 és 5; -5; 0; ]-3; 0]-on szigorúan monoton csökken; [0; 3[-on szigorúan monoton nő.
✓ ✗
b) g: R → R, g(x) = |x | - 5
✓
✗
a) f : R → R, f(x) = (x - 5)^2
//[0; 3[, 5; 0; 5; ]-3; 5]-on szigorúan monoton csökken; [5; 3[-on szigorúan monoton nő. [-5; 3[, -5 és 5; -5; 0; ]-3; 0]-on szigorúan monoton csökken; [0; 3[-on szigorúan monoton nő.
✓ ✗
| értékkészlet | zérushely | minimum | minimumhely | növekedési viszonyok(monotonitás) | |
| f | //[0; ∞[ 5 0 5 ]-∞; 5]-on szig. mon. csökken; [5; ∞[-on szig. mon. nő | ||||
| g | //[-5; ∞[ -5 és 5 -5 0 ]-∞; 0]-on szig. mon. csökken; [0; ∞[-on szig. mon. nő |
3. Egy autó áll a házunk előtt.
Állandó gyorsulással elindul az ábra szerint jobbra.
Grafikonon ábrázoltuk, hogyan változik a háztól mért távolsága az idő függvényében.
Ábrázold grafikonon, hogyan alakul az autónak a fenyőfától mért távolsága az idő függvényében!
//Az y tengely mentén toljuk a grafikont „felfelé” 5-tel.
✓ ✗
Állandó gyorsulással elindul az ábra szerint jobbra.
Ábrázold grafikonon, hogyan alakul az autónak a fenyőfától mért távolsága az idő függvényében!
✓ ✗
4. Ábrázoltuk az f : R0+ → R, f(x) = √x függvény
grafikonját, és a függvény grafikonjának két eltolt változatát.
Add meg az így kapott g és h függvények értelmezési tartományát és hozzárendelési szabályát!
✓
✗
//g: R0+ → R, g(x) = Rx - 1;
//h: [-4; ∞[ → R, h(x) = R(x + 4).
Add meg az így kapott g és h függvények értelmezési tartományát és hozzárendelési szabályát!
//g: R0+ → R, g(x) = Rx - 1;
//h: [-4; ∞[ → R, h(x) = R(x + 4).
5. Ábrázold, majd jellemezd a következő függvényeket!
a) R0+ → R, f(x) = √x - 1,5
Értékkészlet: [−1.5; ∞[
Zérushely: 2,25
Minimum: -1,5
Minimumhely: 𝑥𝑥=0
Maximum: nincs
Növekedési viszonyok: szigorúan monoton nő.
✓ ✗
b) [-1; 4] → R, g(x) = |x - 2,5 |
Értelmezési tartomány: [-1; 4]
Értékkészlet: [0; 3,5]
Zérushely: 2,5
Minimum: 0
Minimumhely: 𝑥𝑥=2,5
Maximum: nincs
Növekedési viszonyok, monotonitás: [-1; 2,5] intervallumon szigorúan monoton csökken, [2,5; 4] intervallumon szigorúan monoton nő
✓ ✗
a) R0+ → R, f(x) = √x - 1,5
✓ ✗
b) [-1; 4] → R, g(x) = |x - 2,5 |
✓ ✗
HÁZI FELADAT
1. Legyenek f és g a valós számok halmazán értelmezett függvények.
Milyen geometriai transzformációval vihető át az f függvény grafikonja a g függvény grafikonjába, ha
a) f(x) = |x| ,
g(x) = |x| - 4;
b) f(x) = x^2 ,
g(x) = (x - 4)^2 ;
c) f(x) = x^2 - 3,
g(x) = x^2 ?
Ábrázold a megadott két-két függvényt közös koordináta-rendszerben!
Ellenőrizd függvényábrázoló szoftver, például a Graph vagy a GeoGebra program segítségével, hogy jók-e a grafikonjaid!
//a) eltolás 4 egységgel y tengely mentén negatív irányban b) eltolás 4 egységgel x tengely mentén pozitív irányban c) eltolás 3 egységgel y tengely mentén pozitív irányban
Milyen geometriai transzformációval vihető át az f függvény grafikonja a g függvény grafikonjába, ha
a) f(x) = |x| ,
g(x) = |x| - 4;
b) f(x) = x^2 ,
g(x) = (x - 4)^2 ;
c) f(x) = x^2 - 3,
g(x) = x^2 ?
Ábrázold a megadott két-két függvényt közös koordináta-rendszerben!
Ellenőrizd függvényábrázoló szoftver, például a Graph vagy a GeoGebra program segítségével, hogy jók-e a grafikonjaid!
//a) eltolás 4 egységgel y tengely mentén negatív irányban b) eltolás 4 egységgel x tengely mentén pozitív irányban c) eltolás 3 egységgel y tengely mentén pozitív irányban
2. Az y = x^2 egyenletű parabolát eltoltuk
a) az y tengellyel párhuzamosan, negatív irányban 1 egységgel;
b) az x tengellyel párhuzamosan, negatív irányban 2 egységgel;
c) az x tengellyel párhuzamosan, pozitív irányban 3 egységgel;
d) az y tengellyel párhuzamosan, pozitív irányban 4 egységgel.
Rajzold meg a transzformációk végrehajtásával keletkező parabolákat, és add meg mindegyik esetben a hozzá tartozó függvényt!
a) az y tengellyel párhuzamosan, negatív irányban 1 egységgel;
b) az x tengellyel párhuzamosan, negatív irányban 2 egységgel;
c) az x tengellyel párhuzamosan, pozitív irányban 3 egységgel;
d) az y tengellyel párhuzamosan, pozitív irányban 4 egységgel.
Rajzold meg a transzformációk végrehajtásával keletkező parabolákat, és add meg mindegyik esetben a hozzá tartozó függvényt!
3. Egyenes úton, állandó sebességgel sétál egy gyalogos.
Az első grafikonon ábrázoltuk, hogyan változik eközben a fenyőfától mért távolsága.
//a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥2−1 b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥+2)2 c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥−3)2 d) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥2+4
a) Melyik grafikon ábrázolja helyesen ugyanezen idő alatt a tölgyfától mért távolságát?
//g
b) Ábrázold grafikonon, hogyan változik eközben a gyalogosnak a kilométerkőtől mért távolsága!
c) Olvasd le a grafikonról a gyalogos sebességét!
//1𝑚/𝑠
Az első grafikonon ábrázoltuk, hogyan változik eközben a fenyőfától mért távolsága.
//a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥2−1 b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥+2)2 c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥−3)2 d) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥2+4
//g
b) Ábrázold grafikonon, hogyan változik eközben a gyalogosnak a kilométerkőtől mért távolsága!
//1𝑚/𝑠
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
