Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
KIDOLGOZOTT FELADAT
1. Oldd meg az egyenletet a valós számok halmazán!
R(x + 3) + 1 = 3x
R(x + 3) + 1 = 3x
ELMÉLET
Ha két valós szám egyenlő, akkor a négyzetük is egyenlő: A = B és A2 = B2.Ezért ha egy szám megoldása az egyenletnek, akkor megoldása annak az egyenletnek is, melyet úgy kapunk, hogy az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük.
Visszafelé azonban nem teljesül ez az állítás.
Ha két szám négyzete egyenlő, akkor lehet, hogy a számok különbözők voltak: nevezetesen egymás ellentettjei.
A2 = B2 és A = B vagy A = -B.
Ezért a négyzetre emelés általában nem ekvivalens átalakítás.
A négyzetre emelés után kapott egyenletnek több megoldása lehet, mint az eredeti egyenletnek.
Kaphatunk hamis gyököt, azaz olyan értéket, amely eleme ugyan az értelmezési tartománynak, de az eredeti egyenletnek nem megoldása.
Ezért a négyzetre emelés után nagyon fontos az ellenőrzés.
Négyzetgyökös egyenletek megoldása:
1. Határozzuk meg az értelmezési tartományt!
Négyzetgyökjel alatt nem állhat negatív szám.
2. Oldjuk meg az egyenletet!
Négyzetre emelés előtt, ha lehet, rendezzük úgy, hogy a gyökös tag önmagában álljon!
3. Ellenőrizzünk!
Vigyázat! Kaphatunk hamis gyököt!
Helyettesítsünk be az eredeti egyenletbe!
FELADAT
1. Oldd meg a x + 3 + 9 = 2x egyenletet a valós számok halmazán!
a) Állapítsd meg az egyenlet értelmezési tartományát!
✓ ✗
b) Rendezd át az egyenletet úgy, hogy ha négyzetre emeled az egyenlet két oldalán álló kifejezést, akkor ne maradjon benne négyzetgyök!
✓ ✗
c) Végezd el a négyzetre emelést!
✓ ✗
d) Oldd meg a keletkező másodfokú egyenletet!
Benne vannak-e a kapott gyökök az egyenlet értelmezési tartományában?
✓ ✗
e) A másodfokú egyenlet gyökei közül melyik gyöke az eredeti egyenletnek, és melyik nem?
✓ ✗
//a) 𝑥𝑥≥−3 b) √(𝑥𝑥+3)=2𝑥𝑥−9 d) 6 és 2,75. Mindkettő benne van az értelmezési tartományban.
e) 6, a másik hamis gyök.
a) Állapítsd meg az egyenlet értelmezési tartományát!
✓ ✗
b) Rendezd át az egyenletet úgy, hogy ha négyzetre emeled az egyenlet két oldalán álló kifejezést, akkor ne maradjon benne négyzetgyök!
✓ ✗
c) Végezd el a négyzetre emelést!
✓ ✗
d) Oldd meg a keletkező másodfokú egyenletet!
Benne vannak-e a kapott gyökök az egyenlet értelmezési tartományában?
✓ ✗
e) A másodfokú egyenlet gyökei közül melyik gyöke az eredeti egyenletnek, és melyik nem?
✓ ✗
//a) 𝑥𝑥≥−3 b) √(𝑥𝑥+3)=2𝑥𝑥−9 d) 6 és 2,75. Mindkettő benne van az értelmezési tartományban.
e) 6, a másik hamis gyök.
2. Ebben a feladatban egy-egy négyzetgyökös egyenlet megoldásának részleteit láthatod.
Először állapítsd meg az egyenlet értelmezési tartományát!
Utána figyeld meg a megoldás és egyenletrendezés során felírt egyenleteket!
Döntsd el minden egyenletről, hogy ekvivalens-e a valós számok halmazán a fölötte lévő egyenlettel!
a) x +14 + x =16
x +14 =16 - x
x +14 = (16 - x)^2
x^2 - 33x + 242 = 0 ✓ ✗
b) x = 3x - 2 + 4
x - 4 = 3x - 2
(x - 4)^2 = 3x - 2
x^2 -11x +18 = 0
✓ ✗
//a) 𝑥𝑥≥−14, a második lépés nem ekvivalens
b) 𝑥𝑥≥23, a második lépés nem ekvivalens
Utána figyeld meg a megoldás és egyenletrendezés során felírt egyenleteket!
Döntsd el minden egyenletről, hogy ekvivalens-e a valós számok halmazán a fölötte lévő egyenlettel!
a) x +14 + x =16
x +14 =16 - x
x +14 = (16 - x)^2
x^2 - 33x + 242 = 0 ✓ ✗
b) x = 3x - 2 + 4
x - 4 = 3x - 2
(x - 4)^2 = 3x - 2
x^2 -11x +18 = 0
✓ ✗
//a) 𝑥𝑥≥−14, a második lépés nem ekvivalens
b) 𝑥𝑥≥23, a második lépés nem ekvivalens
3. Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán!
a) 3 - 2x - x = 6
✓ ✗
b) x + 3 + 2x = 4
✓ ✗
c) x - 2x = 4
✓ ✗
//a) -3 b) 1 c) 8
a) 3 - 2x - x = 6
✓ ✗
b) x + 3 + 2x = 4
✓ ✗
c) x - 2x = 4
✓ ✗
//a) -3 b) 1 c) 8
4. Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán!
a) x + 3 = 2x - 1
✓ ✗
b) 2x + 4 + 4 - x = 0
✓ ✗
//a) 4 b) nincs megoldás
a) x + 3 = 2x - 1
✓ ✗
b) 2x + 4 + 4 - x = 0
✓ ✗
//a) 4 b) nincs megoldás
KIDOLGOZOTT FELADAT
2. Oldd meg az egyenletet a valós számok halmazán, grafikus úton!
R(x + 3) = 3x - 1
R(x + 3) = 3x - 1
ELMÉLET
Hol rejti el a grafikon az algebrai megoldás során keletkező hamis gyököt?A négyzetre emelés után nemcsak azokat a gyököket keressük, amelyek esetén a függvényértékek egyenlők, hanem azokat is, amelyek esetén a függvényértékek egymás ellentettjei, hiszen ezek négyzete is egyenlő.
Tehát nemcsak azokat a helyeket, ahol a g függvény grafikonja metszi az f függvény grafikonját, hanem azokat a helyeket is, ahol a g függvény grafikonja metszi a –f függvény grafikonját.
Az ábrán látható, hogy ez még egy metszéspontot jelent.
Ennek a pontnak az első koordinátája felel meg az algebrai levezetésben kapható hamis gyöknek.
Lehet 0; 1 vagy 2 megoldás, és ezek között a hamis gyökök száma is lehet 0; 1 vagy 2.
A négyzetre emelés a valós számok halmazán nem ekvivalens művelet.
A nemnegatív számok halmazán azonban igen.
Ezért ha négyzetre emelés előtt ellenőrizzük, hogy milyen alaphalmaz esetén lesz nemnegatív az egyenlet mindkét oldala, és leszűkítjük erre az értelmezési tartományt, akkor nem fogunk hamis gyököt kapni.
Ezt az eljárást nevezzük értékkészletvizsgálatnak.
Például: x + 3 = 3x - 1
Az egyenlet bal oldala nemnegatív. Ezért az egyenlet jobb oldala is nemnegatív: 3x - 1 ≥ 0. Ez akkor teljesül, ha 3x ≥ 1, azaz x 3 $ 1 . Ezért szűkítsük le az értelmezési tartományt, a továbbiakban legyen x 3 $ 1 .
FELADAT
5. Oldd meg grafikus úton az egyenletet a valós számok halmazán!
a) x 2 x 2+ =- 1 + 3
✓ ✗
b) x - 1 = 2x - 8
✓ ✗
//a) 2 b) 5
a) x 2 x 2+ =- 1 + 3
✓ ✗
b) x - 1 = 2x - 8
✓ ✗
//a) 2 b) 5
6. Bhászkara hindu tudós több mint 800 évvel ezelőtt írt egy könyvet a leánya számára, Lilavati (elbűvölő) címmel, abból való ez a feladat:
Melyik az a szám, amely 3-mal szorozva, azután a szorzat háromnegyed részével növelve, 7-tel osztva, a harmadrészével csökkentve, önmagával szorozva és 52-vel csökkentve, azután belőle négyzetgyököt vonva, hozzáadva 8-at, és elosztva 10-zel, 2-t ad?
Jelöld a keresett számot egy betűvel, és írd fel, hogyan kapod ebből a 2-t!
Ezután lebontogatással (lépésről lépésre visszafelé haladva) megkaphatod azt a bizonyos számot.
Sőt két számot is: a 28-at és a (-28)-at.
Ha csak a 28-at találtad meg, akkor úgy jártál, mint annak idején maga Bhászkara.
✓ ✗
Melyik az a szám, amely 3-mal szorozva, azután a szorzat háromnegyed részével növelve, 7-tel osztva, a harmadrészével csökkentve, önmagával szorozva és 52-vel csökkentve, azután belőle négyzetgyököt vonva, hozzáadva 8-at, és elosztva 10-zel, 2-t ad?
Jelöld a keresett számot egy betűvel, és írd fel, hogyan kapod ebből a 2-t!
Ezután lebontogatással (lépésről lépésre visszafelé haladva) megkaphatod azt a bizonyos számot.
Sőt két számot is: a 28-at és a (-28)-at.
Ha csak a 28-at találtad meg, akkor úgy jártál, mint annak idején maga Bhászkara.
✓ ✗
HÁZI FELADAT
1. Vannak-e ekvivalensek az egyenletpárok között?
a) x^2 =16 és x = -4
b) x -1 = 5 és x -1 = 25
c) 3x -1 = 5 és (3x -1)^2 = 25
d) 3x 6 x
//b) esetben ekvivalensek
a) x^2 =16 és x = -4
b) x -1 = 5 és x -1 = 25
c) 3x -1 = 5 és (3x -1)^2 = 25
d) 3x 6 x
//b) esetben ekvivalensek
2. Oldd meg grafikus módszerrel és algebrai úton is a következő egyenleteket a valós számok halmazán!
a) x = x
b) x = -x
c) x = 2x - 6
d) x +1 = x -1
//a) 0 és 1 b) 0 c) 4 d) 3
a) x = x
b) x = -x
c) x = 2x - 6
d) x +1 = x -1
//a) 0 és 1 b) 0 c) 4 d) 3
3. Oldd meg az egyenleteket a valós számok halmazán!
a) 5x - 9 = 3 - x
b) 13 - 6x = 5 - 3x
c) 5x + 23 = x - 7
d) 5 x - 2 x = x +18
//a) 2 b) 23 c) 45 d) 81
a) 5x - 9 = 3 - x
b) 13 - 6x = 5 - 3x
c) 5x + 23 = x - 7
d) 5 x - 2 x = x +18
//a) 2 b) 23 c) 45 d) 81
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
