Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
KIDOLGOZOTT FELADAT
Írjunk fel olyan másodfokú egyenletet, melynek gyökei 2 és 5.
FELADAT
1. Írj fel olyan másodfokú egyenletet, melynek valós gyökei a következő számok:
a) 1 és 3
✓ ✗
b) 2 és -4
✓ ✗
c) 7 és 8
✓ ✗
d) -6 és -5
✓ ✗
//a) 𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+3 =0 b) 𝑥𝑥2+2𝑥𝑥−8 =0
c) 𝑥𝑥2−15𝑥𝑥+56 =0 d) 𝑥𝑥2+11𝑥𝑥+30 =0
a) 1 és 3
✓ ✗
b) 2 és -4
✓ ✗
c) 7 és 8
✓ ✗
d) -6 és -5
✓ ✗
//a) 𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+3 =0 b) 𝑥𝑥2+2𝑥𝑥−8 =0
c) 𝑥𝑥2−15𝑥𝑥+56 =0 d) 𝑥𝑥2+11𝑥𝑥+30 =0
ELMÉLET
1. Összetartozó fogalmak (a, b, c valós számok, a ! 0)f : R " R, f(x) = ax^2 + bx + c másodfokú függvény zérushely
ax^2 + bx + c = 0 másodfokú egyenlet megoldás vagy gyök
ax^2 + bx + c másodfokú polinom vagy másodfokú kifejezés gyök
2. Polinom gyöktényezős alakja
Ha egy másodfokú polinomnak van valós gyöke, akkor szorzattá alakítható.
A szorzattá alakítás módja:
1. Meghatározzuk a polinom gyökeit a megoldóképlet segítségével.
2. Ha egyetlen valós gyöke van (x1) , akkor ax^2 + bx + c = a(x - x1)2.
3. Ha két valós gyöke van (x1 és x^2), akkor ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x^2).
Ezt az alakot a polinom gyöktényezős alakjának nevezzük.
A gyöktényezős alakban szereplő x1 és x^2 konkrét számok, amelyek a megoldóképlet segítségével kiszámolhatók.
Ha a másodfokú egyenletnek egyetlen valós gyöke van, akkor azt kétszeres gyöknek nevezzük.
(Ezt az esetet úgy is meg lehet fogalmazni, hogy a két gyök egybeesik, azaz x1 = x^2.)
Egy másodfokú polinomot egyértelműen meghatározza a főegyütthatója és két gyöke.
Az ax^2 + bx + c és az a(x - x1)(x - x^2) kifejezések értéke ugyanakkor lesz nulla, azaz az x = x1 és az x = x^2 esetekben.
A főegyüttható és a gyökök egyenlőségéből következik, hogy a helyettesítési értékük bármely x esetén egyenlő.
Például
– A 3x^2 - x - 2 = 0 egyenlet gyökei 1 és 3
- 2 j, ezért a 3x^2 - x - 2 polinom gyöktényezős alakja 3 x 1 x 3
^ - h + 2 j.
– A 3x^2 - x + 2 = 0 egyenletnek a valós számok halmazában nincs gyöke, ezért a 3x^2 - x + 2 polinomnak nincs gyöktényezős alakja.
– A 4x^2 - 12x + 9 polinomnak egy gyöke van, az 1,5; a polinom gyöktényezős alakja 4^x - 1,5h^x - 1,5h.
Az 1,5-et a 4x^2 - 12x + 9 = 0 egyenlet kétszeres gyökének nevezzük.
a(x - x1)(x - x^2)
FELADAT
2. Alakítsd szorzattá a gyöktényezős alak segítségével a másodfokú polinomokat!
a) x^2 + 12x + 27
✓ ✗
b) x^2 + 3x - 1,75
✓ ✗
c) 2x^2 - 9x - 5
✓ ✗
d) 5x^2 +13x + 8
✓ ✗
//a) (𝑥𝑥+3)(𝑥𝑥+9) b) (𝑥𝑥+3,5)(𝑥𝑥−0,5)
c) 2(𝑥𝑥+0,5)(𝑥𝑥−5) d) 5(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+1,6)
a) x^2 + 12x + 27
✓ ✗
b) x^2 + 3x - 1,75
✓ ✗
c) 2x^2 - 9x - 5
✓ ✗
d) 5x^2 +13x + 8
✓ ✗
//a) (𝑥𝑥+3)(𝑥𝑥+9) b) (𝑥𝑥+3,5)(𝑥𝑥−0,5)
c) 2(𝑥𝑥+0,5)(𝑥𝑥−5) d) 5(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥+1,6)
3. A valós számok halmazán értelmezett f másodfokú függvénynek két zérushelye van: -1 és 5.
Főegyütthatója
a) Írd fel a függvény hozzárendelési szabályát!
✓ ✗
b) Határozd meg a függvény szélsőértékhelyét és szélsőértékét!
✓ ✗
c) Ábrázold a függvény grafikonját!
✓ ✗
//a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥−5)=𝑥𝑥2−4𝑥𝑥−5=(𝑥𝑥−2)2−9 b) Minimumhelye: 2 Minimum: -9 c)
Főegyütthatója
a) Írd fel a függvény hozzárendelési szabályát!
✓ ✗
b) Határozd meg a függvény szélsőértékhelyét és szélsőértékét!
✓ ✗
c) Ábrázold a függvény grafikonját!
✓ ✗
//a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥+1)(𝑥𝑥−5)=𝑥𝑥2−4𝑥𝑥−5=(𝑥𝑥−2)2−9 b) Minimumhelye: 2 Minimum: -9 c)
4. Egy építészmérnök számítógépes ábrát készít egy homlokzat díszítéséről.
A homlokzatot egy parabolaív alakú résszel szeretné érdekesebbé tenni.
A tervrajzon a parabolaív két legalsó pontja a koordináta-rendszer x tengelyén helyezkedik el, az egyik az (1; 0), a másik az (5; 0) pontban.
Írj fel olyan másodfokú függvényt a valós számok halmazán,
a) melynek zérushelyei 1 és 5;
✓ ✗
b) melynek zérushelyei 1 és 5, és grafikonja lefelé nyílik;
✓ ✗
c) melynek zérushelyei 1 és 5, továbbá a 3 helyen a helyettesítési értéke 2.
✓ ✗
//a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥−5)=𝑥𝑥2−6𝑥𝑥+5 b) 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=−𝑥𝑥2+6𝑥𝑥−5 c) ℎ(𝑥𝑥)=−1/2𝑥𝑥2+3𝑥𝑥−5/2
A homlokzatot egy parabolaív alakú résszel szeretné érdekesebbé tenni.
A tervrajzon a parabolaív két legalsó pontja a koordináta-rendszer x tengelyén helyezkedik el, az egyik az (1; 0), a másik az (5; 0) pontban.
a) melynek zérushelyei 1 és 5;
✓ ✗
b) melynek zérushelyei 1 és 5, és grafikonja lefelé nyílik;
✓ ✗
c) melynek zérushelyei 1 és 5, továbbá a 3 helyen a helyettesítési értéke 2.
✓ ✗
//a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥−5)=𝑥𝑥2−6𝑥𝑥+5 b) 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=−𝑥𝑥2+6𝑥𝑥−5 c) ℎ(𝑥𝑥)=−1/2𝑥𝑥2+3𝑥𝑥−5/2
5. Egy egyenlet gyökei a valós számok halmazán 1/2 és 3/5.
a) Írj fel egy ilyen egyenletet!
✓ ✗
b) Az egyenlet gyökei nem változnak meg, ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk egy 0-tól különböző valós számmal.
Ennek segítségével írj fel olyan egyenletet, melynek gyökei 1/2 és 3/5 , együtthatói pedig egész számok!
✓ ✗
//a) Pl. 𝑥𝑥2−1,1𝑥𝑥+0,3 =0 b) Pl. 10𝑥𝑥2−11𝑥𝑥+3 =0
a) Írj fel egy ilyen egyenletet!
✓ ✗
b) Az egyenlet gyökei nem változnak meg, ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk egy 0-tól különböző valós számmal.
Ennek segítségével írj fel olyan egyenletet, melynek gyökei 1/2 és 3/5 , együtthatói pedig egész számok!
✓ ✗
//a) Pl. 𝑥𝑥2−1,1𝑥𝑥+0,3 =0 b) Pl. 10𝑥𝑥2−11𝑥𝑥+3 =0
6. Adj meg olyan egész együtthatós, másodfokú egyenletet, melynek gyökei
a) 1/3 és -1/4;
✓ ✗
b) 2/7 és -4/9.
✓ ✗
//a) 12𝑥𝑥2−𝑥𝑥−1 =0 b) 63𝑥𝑥2+10𝑥𝑥−8 =0
a) 1/3 és -1/4;
✓ ✗
b) 2/7 és -4/9.
✓ ✗
//a) 12𝑥𝑥2−𝑥𝑥−1 =0 b) 63𝑥𝑥2+10𝑥𝑥−8 =0
HÁZI FELADAT
1. Alakítsd szorzattá a gyöktényezős alak segítségével a másodfokú polinomokat!
a) x^2 - 26x +120
b) x^2 - 7x -18
c) 10x^2 + x - 21
d) -5x^2 +17x -14
//a) (𝑥𝑥−20)(𝑥𝑥−6) b) (𝑥𝑥−9)(𝑥𝑥+2) c) 10(𝑥𝑥−14)(𝑥𝑥+1,5) d) −5(𝑥𝑥−1,4)(𝑥𝑥−2)
a) x^2 - 26x +120
b) x^2 - 7x -18
c) 10x^2 + x - 21
d) -5x^2 +17x -14
//a) (𝑥𝑥−20)(𝑥𝑥−6) b) (𝑥𝑥−9)(𝑥𝑥+2) c) 10(𝑥𝑥−14)(𝑥𝑥+1,5) d) −5(𝑥𝑥−1,4)(𝑥𝑥−2)
2. Egy másodfokú függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza, és két zérushelye van: -1,5 és 2,5.
Főegyütthatója 2.
a) Írd fel a függvény hozzárendelési szabályát!
b) Határozd meg a függvény szélsőértékhelyét és szélsőértékét!
c) Ábrázold a függvény grafi konját!
//a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=2(𝑥𝑥+1,5)(𝑥𝑥−2,5)=2𝑥𝑥2−2𝑥𝑥−7,5=2(𝑥𝑥−0,5)2−8 b) Minimumhelye: 0,5 Minimuma: -8
c)
Főegyütthatója 2.
a) Írd fel a függvény hozzárendelési szabályát!
b) Határozd meg a függvény szélsőértékhelyét és szélsőértékét!
c) Ábrázold a függvény grafi konját!
//a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=2(𝑥𝑥+1,5)(𝑥𝑥−2,5)=2𝑥𝑥2−2𝑥𝑥−7,5=2(𝑥𝑥−0,5)2−8 b) Minimumhelye: 0,5 Minimuma: -8
c)
3. Adj meg olyan egész együtthatós polinomot, melynek zérushelyei:
a) 2/5 és 7/11 ;
b) -6/7 és 9/2.
//Például: a) 55𝑥𝑥2−57𝑥𝑥+14 b) 14𝑥𝑥2−51𝑥𝑥−54
a) 2/5 és 7/11 ;
b) -6/7 és 9/2.
//Például: a) 55𝑥𝑥2−57𝑥𝑥+14 b) 14𝑥𝑥2−51𝑥𝑥−54
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
