Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
KIDOLGOZOTT FELADAT
Ábrázoljuk az f : R → R, f(x) = 3x^2 - 6x + 5 függvény grafikonját!
ELMÉLET
A valós számok halmazán értelmezett f(x) = ax^2 + bx + c; (a ≠ 0) másodfokú függvény ábrázolásának egyik útja:1. Első lépésként az f helyett a konstans tag (c) elhagyásával kapott g függvény grafikonját ábrázoljuk 3 pontjával.
A g(x) = ax^2 + bx függvény képe egy parabola.
– Zérushelyeit megkaphatjuk az ax^2 + bx = 0 egyenletből.
A kifejezést alakítsuk szorzattá!
(Az egyik zérushely a 0.)
– A szimmetriatengely az x tengelyre merőleges, és a két zérushely között „középen” (számtani közepénél) metszi a tengelyt.
– A parabola tengelypontjának első koordinátáját a szimmetriatengely jelöli ki. A másik koordinátát megkapjuk, ha behelyettesítünk g-be.
(Ellenőrizhetjük, hogy a parabola felfelé nyitott, ha a > 0; illetve lefelé nyitott, ha a < 0.)
2. Az f függvény grafikonját megkapjuk, ha a g grafikonját (3 pontja segítségével) az y tengely mentén c-vel eltoljuk.
f(x) = ax^2 + bx + c
↓
g(x) = ax^2 + bx
↓
g zérushelyei
g szélsoértéke
↓
eltolás c-vel
– minimuma van, ha a > 0
– maximuma van, ha a < 0
FELADAT
1. Szorzattá alakítással oldd meg az egyenleteket!
a) x^2 - 8x = 0
✓ ✗
b) x^2 + 3,2x = 0
✓ ✗
c) 2x^2 - 8x = 0
✓ ✗
d) 1/2x^2 + 3x = 0
✓ ✗
//a) x1 = 0 és x2 = 8 b) x1 = 0 és x2 = -3,2 c) x1 = 0 és x2 = 4 d) x1 = 0 és x2 = -6
a) x^2 - 8x = 0
✓ ✗
b) x^2 + 3,2x = 0
✓ ✗
c) 2x^2 - 8x = 0
✓ ✗
d) 1/2x^2 + 3x = 0
✓ ✗
//a) x1 = 0 és x2 = 8 b) x1 = 0 és x2 = -3,2 c) x1 = 0 és x2 = 4 d) x1 = 0 és x2 = -6
2. Ábrázold a zérushelyek és a szélsőérték segítségével az f : R → R, f(x) = x^2 + 5x másodfokú függvény grafikonját, majd ennek segítségével ugyanabban a koordináta-rendszerben a g: R → R, g(x) = x^2 + 5x + 3 másodfokú függvény grafikonját is!
Add meg a g függvény szélsőértékének helyét és értékét!
✓ ✗
//f zérushelyei: x1 = -5 és x2 = 0, tengelypontja T(-2,5; -6,25) g minimum helye x =-2,5, minimum értéke g(x)= -3,25
Add meg a g függvény szélsőértékének helyét és értékét!
✓ ✗
//f zérushelyei: x1 = -5 és x2 = 0, tengelypontja T(-2,5; -6,25) g minimum helye x =-2,5, minimum értéke g(x)= -3,25
3. Ábrázold a zérushelyek és a szélsőérték segítségével az f x 2 x x ] g =- 1 2 + 2 másodfokú függvény grafikonját a valós számok halmazán, majd ennek segítségével ugyanabban a koordináta-rendszerben a f(x) = -1/2x^2 +2x másodfokú függvény
grafikonját a valós számok halmazán, majd ennek segítségével ugyanabban a koordináta-rendszerben a g(x) = -1/2x^2 + 2x -4 másodfokú függvény grafikonját is!
Add meg a g függvény szélsőértékének helyét és értékét!
✓ ✗
//f zérushelyei: x1 = 0 és x2 = 4, tengelypontja T(2; 2) g maximum helye x = 2, maximum értéke g(x)= -2
Add meg a g függvény szélsőértékének helyét és értékét!
✓ ✗
//f zérushelyei: x1 = 0 és x2 = 4, tengelypontja T(2; 2) g maximum helye x = 2, maximum értéke g(x)= -2
4. Határozd meg a függvények ábrázolása nélkül a valós számok halmazán értelmezett
f(x) = 0,1x^2 - 2,2x és g(x) = 0,1x^2 - 2,2x + 5,8 másodfokú függvények minimumhelyét és a minimum értékét!
✓ ✗
//( az f zérushelyei x1 = 0 és x2 = 22 ) f minimum helye x = 11, minimum értéke f(x) = -12,1 g minimum helye x = 11, minimum értéke g(x) = -6,3
✓ ✗
//( az f zérushelyei x1 = 0 és x2 = 22 ) f minimum helye x = 11, minimum értéke f(x) = -12,1 g minimum helye x = 11, minimum értéke g(x) = -6,3
HÁZI FELADAT
1. Ábrázold az f : R → R, f(x) = 2x^2 -10x + 8 másodfokú függvény grafikonját!
Első lépésként ábrázold a g: R → R, g(x) = 2x^2 - 10x függvény grafikonját a zérushelyei és a szélsőértéke segítségével!
//g zérushelyei x1 = 0 és x2 = 5, tengelypontja T(2,5; -12,5) f minimumhelye x = 2,5, tengelypontja (2,5; -4,5)
Első lépésként ábrázold a g: R → R, g(x) = 2x^2 - 10x függvény grafikonját a zérushelyei és a szélsőértéke segítségével!
//g zérushelyei x1 = 0 és x2 = 5, tengelypontja T(2,5; -12,5) f minimumhelye x = 2,5, tengelypontja (2,5; -4,5)
2. Ábrázold a h: R → R, h(x) = 12x - 3x^2 + 7 függvény grafikonját úgy, hogy először a k: R → R, k(x) = 12x - 3x^2 függvény grafikonját rajzolod meg
a k zérushelyei és szélsőértéke segítségével!
Add meg a h függvény maximumát és maximumhelyét!
// k függvény zérushelyei x1 = 0 és x2 = 4, tengelypontja T(2;12) h függvény maximumhelye x= 2; maximum értéke h(2)=19
Add meg a h függvény maximumát és maximumhelyét!
// k függvény zérushelyei x1 = 0 és x2 = 4, tengelypontja T(2;12) h függvény maximumhelye x= 2; maximum értéke h(2)=19
3. Határozd meg a következő másodfokú függvények zérushelyeit!
Minimuma vagy maximuma van a függvényeknek?
A függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza.
a) f(x) = 0,2x^2 - 5x
b) g(x) =-0,2x^2 - 0,8x
c) h(x) = 7x - 5x^2
d) k(x) = 0,4x^2 -1,6x +1,6
//a) x1 = 0 és x2 = 25 b) x1 = 0 és x2 = - 4 c) x1 = 0 és x2 = 1,4 d) x = 2
Függvényábrázoló programmal ellenőrizheted a megoldásaid helyességét.
Minimuma vagy maximuma van a függvényeknek?
A függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza.
a) f(x) = 0,2x^2 - 5x
b) g(x) =-0,2x^2 - 0,8x
c) h(x) = 7x - 5x^2
d) k(x) = 0,4x^2 -1,6x +1,6
//a) x1 = 0 és x2 = 25 b) x1 = 0 és x2 = - 4 c) x1 = 0 és x2 = 1,4 d) x = 2
Függvényábrázoló programmal ellenőrizheted a megoldásaid helyességét.
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
