Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
KIDOLGOZOTT FELADAT
Egy szabályos ötszögnek az ábra szerint berajzoltuk két átlóját.
Igazoljuk, hogy ez a két átló egyenlő hosszú!
Igazoljuk, hogy ez a két átló egyenlő hosszú!
FELADAT
1. Mekkorák a 4. ábrán látható kis háromszögek, a kék EAJ és a rózsaszínű JCD háromszögek szögei?
Igaz-e, hogy a rózsaszínű háromszög is egyenlő szárú?
✓ ✗
//36°, 36°, 108°
Igaz-e, hogy a rózsaszínű háromszög is egyenlő szárú?
✓ ✗
//36°, 36°, 108°
2. Mekkorák a 4. ábrán a fehér négyszög szögei és oldalai, ha a szabályos ötszög oldalai 4 cm-esek?
✓ ✗
//108°, 72°, 4 cm
✓ ✗
//108°, 72°, 4 cm
3. Megrajzoltuk egy szabályos ötszög átlóit.
a) Hányféle háromszög látható az ábrán?
Mindegyikre adj egy-egy példát!
(Két háromszög egybevágó, ha egybevágósági transzformációval egymásba vihető.)
✓ ✗
3. b) Mekkorák a háromszögek szögei?
✓ ✗
//a) 5 b) . 36°, 36°, 108°, 36°, 72°, 72°
a) Hányféle háromszög látható az ábrán?
Mindegyikre adj egy-egy példát!
(Két háromszög egybevágó, ha egybevágósági transzformációval egymásba vihető.)
✓ ✗
3. b) Mekkorák a háromszögek szögei?
✓ ✗
//a) 5 b) . 36°, 36°, 108°, 36°, 72°, 72°
ELMÉLET
A 9. osztályban foglalkoztunk egybevágósági transzformációkkal és egybevágó alakzatokkal.Idézzük fel, amit akkor tanultunk!
– Két alakzatot egybevágónak mondunk, ha van olyan egybevágósági (vagyis távolságtartó) transzformáció, amely az egyiket a másikba viszi át.
– Alakzatok egybevágóságának jelölésére a , szimbólumot használjuk.
– Egybevágó sokszögek megfelelo oldalai egyenlo hosszúak, megfelelo szögei egyenlok.
– Az eltolás, a (tengelyes, pontra vonatkozó, síkra vonatkozó) tükrözés, a (pont körüli és az egyenes körüli) forgatás is egybevágósági transzformáció.
Például a kidolgozott feladatban: CDE9, ADE9, mert egy tengelyes tükrözés segítségével egymásba átvihetok.
Háromszögek egybevágóságáról bebizonyítható a következo tétel:
Tétel: háromszögek egybevágóságának alapesetei:
I. Ha két háromszögben egy-egy oldal és az ezeken fekvő két-két szög egyenlo, akkor a két háromszög egybevágó.
II. Ha két háromszögben két-két oldal és az általuk közbezárt szög egyenlo, akkor a két háromszög egybevágó.
III. Ha két háromszögben a három oldal páronként egyenlo, akkor a két háromszög egybevágó.
IV. Ha két háromszögben két-két oldal és közülük a nagyobbikkal szemben fekvo szög egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó.
I. Ha két háromszögben egy-egy oldal és az ezeken fekvő két-két szög egyenlo, akkor a két háromszög egybevágó.
II. Ha két háromszögben két-két oldal és az általuk közbezárt szög egyenlo, akkor a két háromszög egybevágó.
III. Ha két háromszögben a három oldal páronként egyenlo, akkor a két háromszög egybevágó.
IV. Ha két háromszögben két-két oldal és közülük a nagyobbikkal szemben fekvo szög egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó.
Például
– a téglalapot (a paralelogrammát) az átlója két egybevágó háromszögre bontja, mert a létrejövo háromszögek ol dalai páronként egyenlok (III. alapeset);
FELADAT
4. Egy négyszög csúcsai rendre: A, B, C és D.
Tudjuk, hogy két-két szomszédos oldaluk egyenlő, azaz AB = BC és CD = DA.
a) Készíts ábrát!
✓ ✗
b) Igazold, hogy a négyszög A-nál és C-nél lévő szöge egyenlő!
Melyik alapesettel indokolható az állítás?
✓ ✗
//III. alapeset
Tudjuk, hogy két-két szomszédos oldaluk egyenlő, azaz AB = BC és CD = DA.
a) Készíts ábrát!
✓ ✗
b) Igazold, hogy a négyszög A-nál és C-nél lévő szöge egyenlő!
Melyik alapesettel indokolható az állítás?
✓ ✗
//III. alapeset
5. Az ABC háromszög AB átfogójára és BC befogójára egy-egy négyzetet állítottunk az ábra szerint.
Mutasd meg az I–IV. alapeset valamelyi kének felhasználásával,
hogy a kék és a zöld háromszög egybevágó!
Adj meg olyan egybevágósági transzformációt, amely a kék háromszöget a zöld háromszögbe viszi át!
✓ ✗
//II. alapeset, 90°-os elforgatás
Adj meg olyan egybevágósági transzformációt, amely a kék háromszöget a zöld háromszögbe viszi át!
✓ ✗
//II. alapeset, 90°-os elforgatás
6. Melyik igaz, melyik hamis az alábbi állítások közül?
Válaszodat indokold!
a) Ha két szabályos háromszög egy-egy oldalának hossza egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó.
✓ ✗
b) Ha két derékszögű háromszög átfogójának hossza megegyezik, akkor a két háromszög egybevágó.
✓ ✗
c) Ha két szabályos háromszögnek ugyanakkora a területe, akkor a két háromszög egybevágó.
✓ ✗
d) Ha két egyenlő szárú derékszögű háromszögnek ugyanakkora az átfogója, akkor a két háromszög egybevágó.
✓ ✗
e) Ha két egyenlő szárú háromszög egy-egy oldalának hossza és két szöge egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó.
✓ ✗
//igazak: a) c) d)
Válaszodat indokold!
a) Ha két szabályos háromszög egy-egy oldalának hossza egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó.
✓ ✗
b) Ha két derékszögű háromszög átfogójának hossza megegyezik, akkor a két háromszög egybevágó.
✓ ✗
c) Ha két szabályos háromszögnek ugyanakkora a területe, akkor a két háromszög egybevágó.
✓ ✗
d) Ha két egyenlő szárú derékszögű háromszögnek ugyanakkora az átfogója, akkor a két háromszög egybevágó.
✓ ✗
e) Ha két egyenlő szárú háromszög egy-egy oldalának hossza és két szöge egyenlő, akkor a két háromszög egybevágó.
✓ ✗
//igazak: a) c) d)
HÁZI FELADAT
1. Megrajzoltuk egy paralelogramma két átlóját.
A rajzon nyolc háromszög látható, közöttük 4 olyan pár van, amelyet két-két
egybevágó háromszög alkot.
a) Add meg az egybevágó párokat a csúcspontok segítségével, és indokold is, hogy miért egybevágó a párt alkotó két háromszög!
b) Hány különböző területű háromszög van a nyolc háromszög között?
//a) ACDΔ = CABΔ; ABDΔ = CDBΔ; ABPΔ = CDPΔ; BPCΔ = DPAΔ, III. alapeset b) kettő
a) Add meg az egybevágó párokat a csúcspontok segítségével, és indokold is, hogy miért egybevágó a párt alkotó két háromszög!
b) Hány különböző területű háromszög van a nyolc háromszög között?
//a) ACDΔ = CABΔ; ABDΔ = CDBΔ; ABPΔ = CDPΔ; BPCΔ = DPAΔ, III. alapeset b) kettő
2. Összekötöttük egy háromszög oldalfelező pontjait.
Mutasd meg, hogy a három szakasz négy egybevágó háromszögre bontja az eredeti háromszöget!
Mutasd meg, hogy a három szakasz négy egybevágó háromszögre bontja az eredeti háromszöget!
3. Egy egyenlő szárú, derékszögű háromszög egyik befogójára és az átfogójára egy-egy négyzetet állítottunk az ábra szerint.
a) Igazold, hogy a kék és a zöld háromszög egybevágó!
Melyik alapesettel tudod indokolni?
b) Adj meg olyan egybevágósági transzformációt, amely a kék háromszöget a zöld háromszögbe viszi át!
//a) II. alapeset b) eltolás
Melyik alapesettel tudod indokolni?
b) Adj meg olyan egybevágósági transzformációt, amely a kék háromszöget a zöld háromszögbe viszi át!
//a) II. alapeset b) eltolás
4. Derékszögű háromszög két befogójára egy-egy négyzetet állítottunk az ábra szerint.
Igazold, hogy m = x = y!
//I. alapeset
Egy geometriai szoft verrel, például a GeoGebra programmal is ellenőrizheted az állítás helyességét.
Igazold, hogy m = x = y!
//I. alapeset
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
