23 „SOVÁNYABB”, „KÖVÉREBB”

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_I__teljes.pdf
Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf

BEVEZETŐ

St. Louis városának (Missouri, Egyesült Államok) nevezetessége a Gateway Arch (ejtsd: gétvéj árcs), amely egy hatalmas boltív a város központjában.
Sokan úgy tartják, hogy parabolaív alakú.
Lehetséges ez?

Csupán egy fénykép áll rendelkezésünkre, és nem a tervrajz, ezért pontos válasz természetesen nem várható.
Az ív parabolára hasonlít, ezért lehet, hogy – jó közelítéssel – egy másodfokú függvény grafikonja; ezt a sejtésünket próbáljuk ellenőrizni.
Ahhoz azonban, hogy függvénygrafikonról beszéljünk, szükséges, hogy az ív egy derékszögű koordináta-rendszerben helyezkedjék el.
A koordináta-rendszert saját magunk is berajzolhatjuk, ez látható a következő ábrán.

Az építmény külső ívén kerestünk olyan pontokat, amelyek valamely függőleges rácsvonalra illeszkednek.
Néhány ilyen pont:

x -3 -2 -1 0 1 2 3
ymért -5 -1,6 -0,4 0 -0,4 -1,6 -5

Először célszerű a nagyobb értékeknél keresni az összefüggést, hiszen a kisebb értékeknél a leolvasási hibák sokkal többet számítanak.
Tekintsük például a (3; -5) pontot. Ha a függvényünk hozzárendelési szabálya x ↦-x^2 lenne, akkor a 3-hoz az y = -9 függvényérték tartozna.
A -5 ennek éppen 5/9-szerese, ami azt jelenti, hogy a függvényünk hozzárendelési szabálya csak az x ↦ -5/9x^2 lehet.
Ha erre a függvényre vonatkozóan egy újabb sorral kiegészítve újra elkészítjük a fenti táblázatot, akkor a következőt kapjuk:

x -3 -2 -1 0 1 2 3
ymért -5 -1,6 -0,4 0 -0,4 -1,6 -5
-5/9x2 -5 -2,2 -0,6 0 -0,6 -2,2 -5

A -2-höz tartozó függvényérték (-2,2) a fényképen mértnek (a -1,6-nak) több mint 130%-a, a (-1)-hez tartozó pedig kb. a 150%-a a megfelelő mért értéknek.
Láthatjuk, hogy az eltérés meglehetősen nagy.
Ekkora eltérés nem adódhat a leolvasás pontatlanságából.
Ezek szerint az x 9 x 7- 5 2 függvény grafikonja mégsem „idomul” az építmény ívéhez.
Ez pedig arra enged következtetni, hogy a Gateway Arch külső íve – bár első ránézésre annak tűnhet, és sokan valóban ezt gondolják róla – nem parabola formájú.
Hasonlóan megmutatható, hogy a belső ív sem parabolaív.

KIDOLGOZOTT FELADAT

1. Két-két függvény grafikonját ábrázoljuk közös koordináta- rendszerben!
Az értelmezési tartomány a valós számok halmaza.
a) f(x) = x és g(x) = 2x
b) f(x) = |x| és g(x) = 2|x|
c) f(x) = x^2 és g(x) = 2x^2

Megoldás

A kék grafikonból úgy kapjuk meg a pirosat, hogy minden egyes kék pont második koordinátáját kétszeresére változtatjuk, miközben az első koordináta változatlan marad.

Szemléletesen: a kék grafikonokat az x tengelyre merőleges irányban kétszeresükre „megnyújtottuk” („soványabb” grafikont kaptunk).

Megjegyzés

Ennek a geometriai transzformációnak a neve: merőleges affinitás, amelynek tengelye az x tengely.

2. Ábrázoljuk az R → R, g(x) = 0,5x^2 függvény grafikonját!

Megoldás

Az f(x) = x^2 függvény kék grafikonjából úgy kapjuk meg az g(x) = 0,5x^2 függvény piros grafikonját, hogy minden egyes kék pont második koordinátáját felére változtatjuk, miközben az első koordináta változatlan marad.
Szemléletesen: a kék grafikont az x tengelyre merőleges irányban a felére „összenyomtuk” („kövérebb” grafikont kaptunk).

Megjegyzés

Bizonyítható, hogy ha az f(x) = x^2 függvény grafikonját az x tengelyre merőlegesen „megnyújtjuk” vagy „összenyomjuk”, a kapott görbe ismét parabola lesz (a parabola definicióját lásd a Ráadás részben).
Tehát a valós számok halmazán értelmezett x ↦ cx^2 (c ≠ 0) függvény grafikonja parabola.
Ennek a parabolának ugyanaz a szimmetriatengelye és a tengelypontja, mint az eredetinek.

Ha c > 0, akkor a parabola „felfelé nyitott”,
ha c < 0, akkor pedig „lefelé nyitott”.

Megfordítva is igaz: ha egy parabola szimmetriatengelye az y tengely és tengelypontja az origó, akkor a parabola egy x ↦ cx^2 (c ≠ 0) függvény grafikonja.

Az ábrázolás megoldható függvényábrázoló szoftver, pl. a Graph vagy GeoGebra programok segítségével is.

FELADAT

1. Ábrázold a valós számok halmazán értelmezett függvények grafikonját közös koordináta-rendszerben!
f(x) = |x| és g(x) = 1/2|x|

✓ ✗

---

2. Ábrázold a következő függvények grafikonját közös koordináta-rendszerben!
Értelmezési tartomány a nemnegatív valós számok halmaza, azaz R0+.
f(x) = √x és g(x) = 2√x

✓ ✗

---

3. Ábrázold a valós számok halmazán értelmezett függvények grafikonját közös koordináta-rendszerben!
a) f(x) = |x| és g(x)= -|x|

✓ ✗
b) f(x) = x^2 és g(x)= -x^2

✓ ✗

---

4. Ábrázold a következő függvények grafikonját!
Figyelj az értelmezési tartományra!
Olvasd le a grafikonról a függvények értékkészletét!
a) f : [-1; 2] → R, f(x) = -2|x|
//[-4; 0].
✓ ✗

b) g: [-4; 4] → R, g(x) = -1/2x^2
//[-8; 0].
✓ ✗

---

5. Ábrázoltuk néhány, a valós számok halmazán értelmezett függvény grafikonját.
Add meg a függvények hozzárendelési szabályát!
Melyik függvénynek van minimuma, melyiknek van maximuma?

✓ ✗
//a) f(x) = |x| , g(x) =- 1/4|x| . f-nek minimuma, g-nek maximuma van.
//b) f(x) = x2 , g(x) =- 1/4x^2 . mindkettőnek minimuma van.

---

6. a) Melyik függvény hozzárendelési szabálya az x ↦ 3/2x^2az alábbi ábrán?

//g.
✓ ✗
b) Add meg a másik két másodfokú függvény hozzárendelési szabályát is!
//h(x) = x2 , f(x)=1/3x^2.
✓ ✗

HÁZI FELADAT

1. Ábrázold közös koordináta-rendszerben az alábbi három függvény grafikonját!
(A függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza.)
f(x) = x^2 , g(x) = x^2/3, h(x) = -x^2/4

---

2. Közös koordináta-rendszerben ábrázoltuk a valós számok halmazán értelmezett következő függvényeket:
f(x) = x^2 - 2, g(x) = (x - 2)^2 , h(x) =-2x^2 , k(x) = -1/2x^2.
Melyik hozzárendelési szabályhoz melyik grafikon tartozik?

//f: piros, g: barna, h: kék, k: zöld

---

3. Add meg a grafikonokhoz tartozó függvények hozzárendelési szabályát, és jellemezd a függvényeket!
Értelmezési tartomány a valós számok halmaza.

	hozzárendelési szabály értékkészlet zérushely szélsőértéke minimum vagy maximum? szélsőérték szélsőérték helye
f	𝑓𝑓(𝑥𝑥)=3/2|𝑥𝑥| [0; ∞[ 0 minimum 0 0
g	𝑔𝑔(𝑥𝑥)=−1/2|𝑥𝑥| ]−∞;0] 0 maximum 0 0

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /