Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
BEVEZETŐ
Ábrázoljuk annak a függvénynek a grafikonját, amely minden valós számhoz a négyzetét rendeli!Táblázatba foglaltuk a függvény néhány helyettesítési értékét.
Ezek alapján ábrázolhatjuk a grafikon néhány pontját.
A pontokra a másodfokú függvény képét, egy parabolát illeszthetünk.
| x | -2 | -1 | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 |
| x² | 4 | 1 | 0 | 0,25 | 1 | 2,25 | 4 |
ELMÉLET
1. A valós számok halmazán értelmezett x ↦ x² függvény grafikonja egy parabola, melynek szimmetriatengelye az y tengely.A parabolának a szimmetriatengelyen lévő pontját tengelypontnak nevezzük.
Ennek a parabolának a tengelypontja az origó.
2. Hogyan változik a függvény grafikonja, ha a valós számok halmazán az x ↦ x² helyett az x ↦ x² + 3 hozzárendelési szabályt alkalmazzuk?
Ekkor minden függvényérték 3-mal nagyobb lesz, mint az első esetben.
Grafikonon ez azt jelenti, hogy a parabolát az y tengely mentén felfelé kell tolni 3 egységgel.
`color(brown)(x ↦ x² + 3; y = x² + 3;)`
`color(blue)(x ↦ x² + 1; y = x² + 1;)`
`color(red)(x ↦ x²; y = x²;)`
`color(green)(x ↦ x² – 2; y = x² – 2)`
Ekkor nem az x = 0 helyen veszi fel a függvény a 0-t, hanem a 3-mal nagyobb számnál, az x = 3 helyen.
Grafikonon ez azt jelenti, hogy a parabolát az x tengely mentén jobbra kell tolni 3 egységgel.
`color(brown)(x ↦ (x + 2)²;)` `color(blue)(x ↦ x²; )` `color(red)(x ↦ (x – 1)²; )` `color(green)(x ↦ (x – 3)²)`
`color(brown)(y = (x + 2)²;)` `color(blue)(y = x²;)` `color(red)(y = (x – 1)²;)` `color(green)(y = (x – 3)²)`
KIDOLGOZOTT FELADAT
Ábrázold és jellemezd a következő függvény grafikonját! f : R → R,
`f(x) = (x + 2)²`
FELADAT
1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket!
a) f : R → R, f(x) = x² - 1
értékkészlet:
[ ; ∞[,
zérushelyek:
és ,
minimum:
,
minimumhely:
,
növekedési viszonyok:
✓ ✗
b) g : R → R, g(x) = (x + 1)²
értékkészlet:
[ ; ∞[,
zérushelyek:
;
minimum:
;
minimumhely:
;
növekedési viszonyok:
✓ ✗
a) f : R → R, f(x) = x² - 1
értékkészlet:
[ ; ∞[,
zérushelyek:
és ,
minimum:
,
minimumhely:
,
növekedési viszonyok:
✓ ✗
b) g : R → R, g(x) = (x + 1)²
értékkészlet:
[ ; ∞[,
zérushelyek:
;
minimum:
;
minimumhely:
;
növekedési viszonyok:
✓ ✗
2. Egy függvény grafikonját úgy kaptuk, hogy a valós számok halmazán értelmezett x ↦ x² függvény grafikonját a koordináta-rendszerben eltoltuk.
a) A kapott parabola tengelypontja a (0; 5) pont.
Add meg a függvény hozzárendelési szabályát!
f(x) = (x + )² + .
✓ ✗
b) A kapott parabola tengelypontja a (6; 0) pont.
Add meg a függvény hozzárendelési szabályát!
f(x) = (x + )² + .
✓ ✗
a) A kapott parabola tengelypontja a (0; 5) pont.
Add meg a függvény hozzárendelési szabályát!
f(x) = (x + )² + .
✓ ✗
b) A kapott parabola tengelypontja a (6; 0) pont.
Add meg a függvény hozzárendelési szabályát!
f(x) = (x + )² + .
✓ ✗
3. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket!
Figyelj az értelmezési tartományra!
a) f : [0; 4] → R, f(x) = (x - 3)²
Értelmezési tartomány: [
;
]
Értékkészlet: [ ; ]
Zérushely: 𝑥 =
Minimum: 𝑓(𝑥) =
Minimumhely: 𝑥 =
Maximum: 𝑓(𝑥) =
Maximumhely: 𝑥 =
Növekedési viszonyok, monotonitás:
[0; 3] intervallumon szigorúan monoton ,
[3; 4] intervallumon szigorúan monoton
✓ ✗
b) g: ]-1; 2] → R, f(x) = x² - 3
Értelmezési tartomány: ]
;
]
Értékkészlet: [ ; ]
Zérushely: 𝑥 = √
Minimum: 𝑔(𝑥) =
Minimumhely: 𝑥 =
Maximum: 𝑔(𝑥) =
Maximumhely: 𝑥 =
Növekedési viszonyok, monotonitás:
]-1; 0] intervallumon szigorúan monoton ,
[0; 2] intervallumon szigorúan monoton
✓ ✗
Figyelj az értelmezési tartományra!
a) f : [0; 4] → R, f(x) = (x - 3)²
Értékkészlet: [ ; ]
Zérushely: 𝑥 =
Minimum: 𝑓(𝑥) =
Minimumhely: 𝑥 =
Maximum: 𝑓(𝑥) =
Maximumhely: 𝑥 =
Növekedési viszonyok, monotonitás:
[0; 3] intervallumon szigorúan monoton ,
[3; 4] intervallumon szigorúan monoton
✓ ✗
b) g: ]-1; 2] → R, f(x) = x² - 3
Értékkészlet: [ ; ]
Zérushely: 𝑥 = √
Minimum: 𝑔(𝑥) =
Minimumhely: 𝑥 =
Maximum: 𝑔(𝑥) =
Maximumhely: 𝑥 =
Növekedési viszonyok, monotonitás:
]-1; 0] intervallumon szigorúan monoton ,
[0; 2] intervallumon szigorúan monoton
✓ ✗
4. a) Az ábra alapján töltsd ki a táblázatot a füzetedben!
✓
✗
b) Határozd meg a függvények minimumát és minimumhelyét!
f függvény
minimummának helye: x =
minimumának értéke: y =
g függvény
minimumának helye: x =
minimumának értéke: y =
✓ ✗
| Függvény neve | f | g |
| Hozzárendelési szabálya | x ↦ (x + )² + | x ↦ (x + )² + |
b) Határozd meg a függvények minimumát és minimumhelyét!
f függvény
minimummának helye: x =
minimumának értéke: y =
g függvény
minimumának helye: x =
minimumának értéke: y =
✓ ✗
5. a) Az ábra alapján töltsd ki a táblázatot a füzetedben!
✓
✗
b) Határozd meg a függvények értékkészletét!
h függvény:
ÉK = [; [
k függvény:
ÉK = [; ]
m függvény:
ÉK = [; [
✓ ✗
| Függvény neve | h | k | m |
| Hozzárendelési szabálya | x ↦ (x + ) ² + , | x ↦ (x + )² + | x ↦ (x + )² + |
b) Határozd meg a függvények értékkészletét!
h függvény:
ÉK = [; [
k függvény:
ÉK = [; ]
m függvény:
ÉK = [; [
✓ ✗
6. Melyik hozzárendelési szabály melyik grafikonhoz tartozik?
Néhány hozzárendelési szabályhoz nem tartozik grafikon, azokat készítsd el a füzetedbe!
f: R → R, f(x) = |x² + 1 |;
grafikonja:
g: R → R, g(x) = |x² - 1 |;
grafikonja:
h: R → R, h(x) = |x² + 4 |;
grafikonja:
k: R → R, k(x) = |x² - 4 |;
grafikonja:
m: R → R, m(x) = |x² + 3 |;
grafikonja:
n: R → R, n(x) = |x² | + 3
grafikonja:
✓ ✗
Néhány hozzárendelési szabályhoz nem tartozik grafikon, azokat készítsd el a füzetedbe!
 |
 |
|
 |
 |
 |
grafikonja:
g: R → R, g(x) = |x² - 1 |;
grafikonja:
h: R → R, h(x) = |x² + 4 |;
grafikonja:
k: R → R, k(x) = |x² - 4 |;
grafikonja:
m: R → R, m(x) = |x² + 3 |;
grafikonja:
n: R → R, n(x) = |x² | + 3
grafikonja:
✓ ✗
HÁZI FELADAT
1. Az ábra alapján töltsd ki a táblázatot a füzetedben!
| Függvény neve | Hozzárendelési szabálya |
| f | x ↦ (x +)² + |
| g | x ↦ (x +)² + |
| h | x ↦ (x +)² + |
| k | x ↦ (x +)² + |
| m | x ↦ (x +)² + |
2. Melyik függvényre teljesül a felsorolt függvénytulajdonság?
(Az értelmezési tartomány mindig a valós számok halmaza.)
f(x) = x² + 1;
g(x) = (x - 5)²;
h(x) = x² - 4
a) nincs zérushelye
; ;
b) zérushelyei: -2 és 2
; ;
c) egyetlen zérushelye van
; ;
d) minimuma 0
; ;
e) minimumhelye a 0
; ;
f) értékkészlete [-4; ∞[
; ;
g) értékkészlete [0; ∞[
; ;
h) értékkészlete [1; ∞[
; ;
(Az értelmezési tartomány mindig a valós számok halmaza.)
f(x) = x² + 1;
g(x) = (x - 5)²;
h(x) = x² - 4
a) nincs zérushelye
; ;
b) zérushelyei: -2 és 2
; ;
c) egyetlen zérushelye van
; ;
d) minimuma 0
; ;
e) minimumhelye a 0
; ;
f) értékkészlete [-4; ∞[
; ;
g) értékkészlete [0; ∞[
; ;
h) értékkészlete [1; ∞[
; ;
3. Ábrázold és jellemezd a következő függvényt!
f : [-2; 2] → R, f(x) = x² - 1
Értelmezési tartomány: [
);
)]
Értékkészlet: [ ; ]
Zérushely: és
Minimum érték: 𝑓(𝑥) =
Minimumhely: 𝑥 =
Maximum érték: 𝑓(𝑥) =
Maximumhely: és
Növekedési viszonyok, monotonitás:
[-2; 0] intervallumon szigorúan monoton ,
[0; 2] intervallumon szigorúan monoton
f : [-2; 2] → R, f(x) = x² - 1
Értékkészlet: [ ; ]
Zérushely: és
Minimum érték: 𝑓(𝑥) =
Minimumhely: 𝑥 =
Maximum érték: 𝑓(𝑥) =
Maximumhely: és
Növekedési viszonyok, monotonitás:
[-2; 0] intervallumon szigorúan monoton ,
[0; 2] intervallumon szigorúan monoton
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
