Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
CSOPORTMUNKA
Dolgozzatok párokban!
1. a) Dobjatok egyszerre két, egy fekete és egy fehér dobókockával, majd jegyezzétek fel a két kockán dobott pontok összegét!
Minden pár végezzen el 50 kísérletet!
✓ ✗
b) Számítsátok ki minden lehetséges kimenetel relatív gyakoriságát is!
✓
✗
c) Készítsetek relatív gyakorisági diagramot a táblázat eredményei alapján!
✓ ✗
d) Egy tanulócsoportban 8 pár összesen 400 kísérletet végzett el.
Összesített táblázatuk és relatív gyakorisági diagramjuk a következőképpen alakult:
Hasonlítsátok össze a táblázatot és a diagramot a saját kísérletetekkel!
✓
✗
2. Zsombor szerint két dobókockával dobva ugyanolyan valószínűséggel dobhatunk 7-et, mint 8-at.
Kijelentését a következőképpen indokolja:
7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 és
8 = 2 + 6 = 3 + 5 = 4 + 4.
Mivel mindkét szám háromféleképpen bontható fel, ezért egyforma a 7 és a 8 pontösszeg dobásának esélye.
a) Alátámasztják-e az előző kísérlet eredményei Zsombor okoskodását?
✓ ✗
b) Szerinted körülbelül mekkora a valószínűsége a 7, illetve a 8 pontösszeg dobásának?
✓ ✗
c) Mi okozhatja az eltérést?
✓ ✗
1. a) Dobjatok egyszerre két, egy fekete és egy fehér dobókockával, majd jegyezzétek fel a két kockán dobott pontok összegét!
Minden pár végezzen el 50 kísérletet!
✓ ✗
b) Számítsátok ki minden lehetséges kimenetel relatív gyakoriságát is!
| Pontösszeg 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Összesen | ||||||||||||||
| Vonások | ||||||||||||||
| Gyakoriság | 50 | |||||||||||||
| Relatív gyakoriság | 1 |
c) Készítsetek relatív gyakorisági diagramot a táblázat eredményei alapján!
✓ ✗
d) Egy tanulócsoportban 8 pár összesen 400 kísérletet végzett el.
Összesített táblázatuk és relatív gyakorisági diagramjuk a következőképpen alakult:
| Pontösszeg 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Összesen | |||||||||||||
| Gyakoriság 10 21 30 52 63 66 48 41 32 24 13 400 | |||||||||||||
| Relatív gyakoriság 0,025 0,0525 0,075 0,13 0,1575 0,165 0,12 0,1025 0,08 0,06 0,0325 1 |
2. Zsombor szerint két dobókockával dobva ugyanolyan valószínűséggel dobhatunk 7-et, mint 8-at.
Kijelentését a következőképpen indokolja:
7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 és
8 = 2 + 6 = 3 + 5 = 4 + 4.
Mivel mindkét szám háromféleképpen bontható fel, ezért egyforma a 7 és a 8 pontösszeg dobásának esélye.
a) Alátámasztják-e az előző kísérlet eredményei Zsombor okoskodását?
✓ ✗
b) Szerinted körülbelül mekkora a valószínűsége a 7, illetve a 8 pontösszeg dobásának?
✓ ✗
c) Mi okozhatja az eltérést?
✓ ✗
ELMÉLET
Véletlen jelenség, véletlen kísérlet
A valószínűségszámítás véletlen jelenségekkel, helyzetekkel foglalkozik.Amikor egy ilyen véletlen jelenséget megfigyelünk (és feljegyezzük annak kimenetelét), akkor véletlen kísérletet végzünk.
Például:
Két dobókocka feldobása egy véletlen jelenség.Véletlen kísérletet végzek, amikor konkrétan feldobok egy fehér és egy fekete dobókockát, és megfigyelem a dobás eredményét.
A kísérlet kimenetele, hogy mennyit dobtam a fehér, és mennyit dobtam a fekete kockával.
Elemi események
Egy véletlen kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük.Például:
Egy fehér és egy fekete dobókockával dobva egy elemi esemény, ha a fehér kockával 3-ast, a fekete kockával 4-est dobunk.Ebben a véletlen kísérletben 36 különböző elemi esemény következhet be.
Véletlen kísérletek és relatív gyakoriság
Azt tapasztaljuk, hogy ha a véletlen kísérletet nagyon sokszor, azonos körülmények között végezzük el, akkor egy konkrét kimenetel relatív gyakorisága egy jól meghatározott érték közelében ingadozik.Például:
Ha egy pénzérmét nagyon sokszor feldobunk, akkor annak a relatív gyakorisága, hogy a dobás eredménye fej, várhatóan 0,5 közelében lesz.Valószínűség
Ha egy véletlen esemény során az elemi események egyformán valószínűek (és a lehetséges elemi események száma véges), akkor az esemény valószínűségét úgy számolhatjuk, hogy a kedvező elemi események számát elosztjuk az összes elemi esemény számával.A valószínűség jele P (a latin probabilitas szó kezdőbetűje, ami valószínűséget jelent).
Például:
– Két pénzérmét feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét érmén fej látható? Azt gondolhatnánk, hogy 3 kimenetel van: mindkét érmén fej, mindkét érmén írás, illetve egyiken fej és másikon írás, így a valószínűség 1/3 .De ezek nem egyformán valószínű elemi események!
Az „egyik fej, másik írás” kimenetel kétféle módon valósulhat meg:
lehet az első fej és a második írás, és lehet fordítva, az első írás és a második fej.
Akkor írunk fel egyenlően valószínű elemi eseményeket, ha ezeket megkülönböztetjük.
Egyenlően valószínű elemi események tehát: FF, FI, IF II, ez összesen 4 lehetőség. Ebből 1 a kedvező, ezért a valószínűség 1/4 .
Ha a kísérletet nagyon sokszor elvégezzük, akkor azt tapasztaljuk, hogy a relatív gyakoriság is 0,25 közelében lesz.
Az előző két modell között az a különbség, hogy az egyikben a két pénzérmét egyformának gondoljuk, a másikban megkülönböztethetőnek.
A kísérleti tapasztalatok azt mutatják, hogy megkülönböztethetők.
Így a valóságot a második modell írja le.
– Két dobókockával dobva 3 olyan elemi esemény van, amikor a dobott számok összege 10 (fehér hatos és fekete négyes, fehér ötös és fekete ötös, fehér négyes és fekete hatos).
Ezért annak a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 10, úgy számolható, hogy a kedvező elemi események számát (3) osztjuk az összes elemi esemény számával (36).
A valószínűség:3/36 = 1/12.
Ha az elemi események egyformán valószínuek, akkor
egy esemény valószínusége = kedvezo elemi események száma/ összes elemi esemény száma
FELADAT
1. Az alábbi táblázat azt tartalmazza, hogy két dobókockával dobva mennyi a két dobás összege.
Az első sor mutatja a fekete dobókockával dobott számot, az első oszlop pedig a fehér dobókockával dobott számot.
Írd be az üres mezőkbe a két dobás összegét!
Néhány mezőt már kitöltöttünk.
b) Hány lehetséges kimenetele van a kísérletnek?
✓ ✗
c) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a fekete kockán 4, a fehér kockán pedig 1 pont lesz egy dobás után?
✓ ✗
d) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy dobásnál a dobott pontok összege 12 lesz?
✓ ✗
e) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobott pontok összege 7?
Alátámasztja-e ezt a pármunkában végzett kísérlet eredménye?
✓ ✗
f) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobott pontok összege 8?
Alátámasztja-e ezt a kísérlet eredménye?
✓ ✗
g) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobott pontok összege kisebb 5-nél?
Alátámasztja-e ezt a kísérlet eredménye?
✓ ✗
//b) 36 c) 1/36 d) 1/36 e) 6/36 f) 5/36 g) 6/36
Az első sor mutatja a fekete dobókockával dobott számot, az első oszlop pedig a fehér dobókockával dobott számot.
Írd be az üres mezőkbe a két dobás összegét!
Néhány mezőt már kitöltöttünk.
| 1 2 3 4 5 6 | ||||||
| 1 | 4 | |||||
| 2 | 4 | |||||
| 3 | 7 | |||||
| 4 | 10 | |||||
| 5 | 6 | |||||
| 6 | 11 |
✓ ✗
c) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a fekete kockán 4, a fehér kockán pedig 1 pont lesz egy dobás után?
✓ ✗
d) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy dobásnál a dobott pontok összege 12 lesz?
✓ ✗
e) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobott pontok összege 7?
Alátámasztja-e ezt a pármunkában végzett kísérlet eredménye?
✓ ✗
f) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobott pontok összege 8?
Alátámasztja-e ezt a kísérlet eredménye?
✓ ✗
g) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobott pontok összege kisebb 5-nél?
Alátámasztja-e ezt a kísérlet eredménye?
✓ ✗
//b) 36 c) 1/36 d) 1/36 e) 6/36 f) 5/36 g) 6/36
2. Mekkora annak a valószínűsége, hogy két (színre és méretre is) egyforma szabályos dobókockával dobva a dobott pontok összege
a) 7;
✓ ✗
b) 11;
✓ ✗
c) 6 lesz?
✓ ✗
//a) 6/36 b) 2/36 c) 5/36
a) 7;
✓ ✗
b) 11;
✓ ✗
c) 6 lesz?
✓ ✗
//a) 6/36 b) 2/36 c) 5/36
ELMÉLET
Két dobókocka
Egy fekete és egy fehér dobókockával dobva az elemi események száma 36, ami egy 6 × 6-os táblázatban ábrázolható.Meglepő módon azonban két fekete dobókockával dobva az elemi események száma ugyanúgy 36.
Akkor kapunk egyenlően valószínű elemi eseményeket, ha a két „ugyanolyan” dobókockát is megkülönböztetjük, például az egyiket gondolatban megjelöljük.
(Fizikai valójában a két dobókocka sohasem teljesen ugyanolyan, mindig megkülönböztethető.)
Például:
Két kockával dobva a dobások összege 2, 3, 4, …, 11 vagy 12 lehet, azaz 11-féle.Azt gondolhatnánk ez alapján, hogy 11 1 annak a valószínűsége, hogy a dobások összege 7.
A dobások összege azonban sokféle módon lehet 7. (1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2, 6 + 1).
Míg például a dobások összege csak egyféle módon lehet 2 (1 + 1).
Ezek tehát nem azonos valószínűségű elemi események.
Akkor kapunk a valószínűségre helyes, azaz a tapasztalat által alátámasztható eredményt, ha a két fekete dobókockát megkülönböztetjük, és 6 × 6-os táblázatban ábrázoljuk az elemi eseményeket.
FELADAT
3. (Kompetenciamérés, 2010)
Máté egy korongot sárga, zöld, kék és piros színű körcikkekre osztott.
A korong közepére forgó mutatót szerelt.
Ha a mutatót jó erősen megpördíti, akkor az néhányszor körbefordul, majd lelassul és megáll az egyik körcikknél.
Máté a mutatót 100-szor megpördítette, és minden forgás után feljegyezte, hogy milyen színű körcikknél állt meg.
Az eredményeket egy táblázatban összesítette.
a) Legnagyobb valószínűséggel melyik lehet Máté korongja a táblázat adatai alapján?
✓
✗
b) Számold ki, hogy Máté 100 kísérlete esetében mennyi az egyes színek relatív gyakorisága!
Határozd meg a hozzá tartozó korongon az egyes színek valószínűségét!
Mennyi az egyes színek esetében a valószínűség és a relatív gyakoriság különbsége?
✓
✗
//a) C b) szín relatív gyakoriság valószínűség eltérés Piros 0,32 1/3 0,0133 Kék 0,16 2/3 0,0067 Zöld 0,34 2/3 0,0067 Sárga 0,18 1/3 0,0133
Máté egy korongot sárga, zöld, kék és piros színű körcikkekre osztott.
A korong közepére forgó mutatót szerelt.
Ha a mutatót jó erősen megpördíti, akkor az néhányszor körbefordul, majd lelassul és megáll az egyik körcikknél.
Máté a mutatót 100-szor megpördítette, és minden forgás után feljegyezte, hogy milyen színű körcikknél állt meg.
Az eredményeket egy táblázatban összesítette.
| Szín Találat | |
| Piros 32 | |
| Kék 16 | |
| Zöld 34 | |
| Sárga 18 |
b) Számold ki, hogy Máté 100 kísérlete esetében mennyi az egyes színek relatív gyakorisága!
Határozd meg a hozzá tartozó korongon az egyes színek valószínűségét!
Mennyi az egyes színek esetében a valószínűség és a relatív gyakoriság különbsége?
| Szín Relatív gyakoriság Valószínűség Eltérés | |||
| Piros | |||
| Kék | |||
| Zöld | |||
| Sárga |
//a) C b) szín relatív gyakoriság valószínűség eltérés Piros 0,32 1/3 0,0133 Kék 0,16 2/3 0,0067 Zöld 0,34 2/3 0,0067 Sárga 0,18 1/3 0,0133
4. Egy társasjátékban Zsófinak is, Tamásnak is két bábuja van még a pályán.
A soron következő játékos mindig két kockával dob, majd kiválasztja egyik bábuját, és azzal lelépi a dobott számok összegét.
Ha lépése végén olyan mezőre érkezik, ahol az ellenfél bábuja áll, akkor kiüti azt a bábut. Zsófikövetkezik.
Mennyi a valószínűsége, hogy a következő lépésben Zsófikiütheti Tamás valamelyik bábuját?
✓
✗
//8/36 (Kiüti, ha az összeg 3 vagy 5 vagy 11)
A soron következő játékos mindig két kockával dob, majd kiválasztja egyik bábuját, és azzal lelépi a dobott számok összegét.
Ha lépése végén olyan mezőre érkezik, ahol az ellenfél bábuja áll, akkor kiüti azt a bábut. Zsófikövetkezik.
Mennyi a valószínűsége, hogy a következő lépésben Zsófikiütheti Tamás valamelyik bábuját?
//8/36 (Kiüti, ha az összeg 3 vagy 5 vagy 11)
5. Egy társasjáték szerencsekártyáján a következő szöveg olvasható:
„Dobj mindkét kockával! Ha a dobások értéke megegyezik, akkor lépj annyit, mint a két szám szorzata.
Ha a két dobás különbözik, akkor a nagyobb számot lépd le.”
a) Töltsd ki a táblázatot úgy, hogy azt mutassa, melyik esetben mennyit kell lépni!
✓ ✗
b) A bábunk előtt 4 mezővel áll az ellenfél egyik bábuja.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan 4 mezőt lépünk előre, és így ki tudjuk ütni?
✓ ✗
c) A bábunk 5 mezőre van a céltól.
A beérkezéshez elég áthaladni a célvonalon, nem kell pontosan a célmezőre érkezni.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy a következő lépésben legalább 5 mezőt tudunk előre haladni?
✓
✗
//1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 3 4 5 6 3 3 3 9 4 5 6 4 4 4 4 16 5 6 5 5 5 5 5 25 6 6 6 6 6 6 6 36 b) 7/36 c) 22/36
„Dobj mindkét kockával! Ha a dobások értéke megegyezik, akkor lépj annyit, mint a két szám szorzata.
Ha a két dobás különbözik, akkor a nagyobb számot lépd le.”
a) Töltsd ki a táblázatot úgy, hogy azt mutassa, melyik esetben mennyit kell lépni!
✓ ✗
b) A bábunk előtt 4 mezővel áll az ellenfél egyik bábuja.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan 4 mezőt lépünk előre, és így ki tudjuk ütni?
✓ ✗
c) A bábunk 5 mezőre van a céltól.
A beérkezéshez elég áthaladni a célvonalon, nem kell pontosan a célmezőre érkezni.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy a következő lépésben legalább 5 mezőt tudunk előre haladni?
//1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 3 4 5 6 3 3 3 9 4 5 6 4 4 4 4 16 5 6 5 5 5 5 5 25 6 6 6 6 6 6 6 36 b) 7/36 c) 22/36
HÁZI FELADAT
1. Két különböző dobókockával dobunk.
Használd az órai feladat táblázatát!
a) Mennyi a valószínűsége, hogy mindkét kocka azonos számot fog mutatni?
b) Mennyi a valószínűsége, hogy a számok összege nagyobb lesz, mint 9?
c) Minek van nagyobb valószínűsége: annak, hogy az összeg nagyobb, mint 9, vagy annak, hogy kisebb, mint 4?
//a) 6/36 b) 6/36 c) nagyobb, mint 9.
Használd az órai feladat táblázatát!
a) Mennyi a valószínűsége, hogy mindkét kocka azonos számot fog mutatni?
b) Mennyi a valószínűsége, hogy a számok összege nagyobb lesz, mint 9?
c) Minek van nagyobb valószínűsége: annak, hogy az összeg nagyobb, mint 9, vagy annak, hogy kisebb, mint 4?
//a) 6/36 b) 6/36 c) nagyobb, mint 9.
2. Feldobtunk két különböző színű kockát, a dobott pontok szorzatát pedig táblázatba foglaltuk.
a) Készítsd el a 6 × 6-os táblázatot, amely megadja, hogy melyik elemi esemény esetén mennyi a dobott számok szorzata!
b) Hány elemi esemény esetén lesz a dobott pontok szorzata 6, és melyek ezek az elemi események?
Mekkora „a dobott pontok szorzata 6” esemény valószínűsége?
c) Mekkora a valószínűsége annak, hogy a dobott pontok szorzata négyzetszám (1, 4, 9, …) lesz?
d) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobott pontok szorzata nagyobb lesz 10-nél?
//b) 4. A következők: (1; 6); (2; 3); (3; 2); (6; 1). c) 8/36 d) 17/36
a) Készítsd el a 6 × 6-os táblázatot, amely megadja, hogy melyik elemi esemény esetén mennyi a dobott számok szorzata!
b) Hány elemi esemény esetén lesz a dobott pontok szorzata 6, és melyek ezek az elemi események?
Mekkora „a dobott pontok szorzata 6” esemény valószínűsége?
c) Mekkora a valószínűsége annak, hogy a dobott pontok szorzata négyzetszám (1, 4, 9, …) lesz?
d) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a dobott pontok szorzata nagyobb lesz 10-nél?
//b) 4. A következők: (1; 6); (2; 3); (3; 2); (6; 1). c) 8/36 d) 17/36
3. Egyszerre dobunk fel egy 5, egy 10 és egy 20 Ft-ost.
a) Hányféle kimenete lehet ennek a véletlen kísérletnek?
b) Mennyi a valószínűsége, hogy mindhárom pénzérme „írást” fog mutatni?
c) Mennyi a valószínűsége, hogy mindhárom érme ugyanazt fogja mutatni?
d) Mennyi a valószínűsége, hogy csak egy érme mutat „írást”, a másik kettő „fejet”?
a) 8 b) 1/8 c) 2/8 d) 3/8
a) Hányféle kimenete lehet ennek a véletlen kísérletnek?
b) Mennyi a valószínűsége, hogy mindhárom pénzérme „írást” fog mutatni?
c) Mennyi a valószínűsége, hogy mindhárom érme ugyanazt fogja mutatni?
d) Mennyi a valószínűsége, hogy csak egy érme mutat „írást”, a másik kettő „fejet”?
a) 8 b) 1/8 c) 2/8 d) 3/8
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
