Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
FELADAT
1. Egy függvény grafikonját kétszer egymás után eltoltuk a koordináta-rendszerben.
Mely függvények grafikonját kaptuk az egyes lépések után?
A példa alapján töltsd ki a táblázat hiányzó részeit!
✓
✗
//kiindulási függvény első eltolás második eltolás 𝑥𝑥↦|𝑥𝑥| jobbra 2-vel 𝑥𝑥↦|𝑥𝑥−2| felfelé 1-gyel 𝑥𝑥↦|𝑥𝑥−2|+1 𝑥𝑥↦𝑥𝑥2 balra 3-mal 𝑥𝑥↦(𝑥𝑥+3)2 felfelé 2-vel 𝑥𝑥↦(𝑥𝑥+3)2+2 𝑥𝑥↦|𝑥𝑥| balra 1,5-del 𝑥𝑥↦|𝑥𝑥+1,5| lefelé 4-gyel 𝑥𝑥↦|𝑥𝑥+1,5|−4 𝑥𝑥↦𝑥𝑥2 jobbra 6-tal 𝑥𝑥↦(𝑥𝑥−6)2 lefelé 15-tel 𝑥𝑥↦(𝑥𝑥−6)2−15 𝑥𝑥↦2𝑥𝑥2 felfelé 11-gyel 𝑥𝑥↦2𝑥𝑥2+11 lefelé 2-vel 𝑥𝑥↦2𝑥𝑥2+9
Mely függvények grafikonját kaptuk az egyes lépések után?
A példa alapján töltsd ki a táblázat hiányzó részeit!
| kiindulási függvény | első eltolás | második eltolás | ||
| x ↦ | x | | jobbra 2-vel | x ↦ | x - 2 | | felfelé 1-gyel | x ↦ | x - 2 | + 1 |
| x ↦ x^2 | balra 3-mal | felfelé 2-vel | ||
| x ↦ | x | | x ↦ | x + 1,5 | | x ↦ | x + 1,5 | - 4 | ||
| x ↦ x^2 | x ↦ (x - 6)^2 | x ↦ (x - 6)^2 - 15 | ||
| x ↦ 2x^2 | x ↦ 2x^2 + 11 | lefelé 2-vel | ||
//kiindulási függvény első eltolás második eltolás 𝑥𝑥↦|𝑥𝑥| jobbra 2-vel 𝑥𝑥↦|𝑥𝑥−2| felfelé 1-gyel 𝑥𝑥↦|𝑥𝑥−2|+1 𝑥𝑥↦𝑥𝑥2 balra 3-mal 𝑥𝑥↦(𝑥𝑥+3)2 felfelé 2-vel 𝑥𝑥↦(𝑥𝑥+3)2+2 𝑥𝑥↦|𝑥𝑥| balra 1,5-del 𝑥𝑥↦|𝑥𝑥+1,5| lefelé 4-gyel 𝑥𝑥↦|𝑥𝑥+1,5|−4 𝑥𝑥↦𝑥𝑥2 jobbra 6-tal 𝑥𝑥↦(𝑥𝑥−6)2 lefelé 15-tel 𝑥𝑥↦(𝑥𝑥−6)2−15 𝑥𝑥↦2𝑥𝑥2 felfelé 11-gyel 𝑥𝑥↦2𝑥𝑥2+11 lefelé 2-vel 𝑥𝑥↦2𝑥𝑥2+9
2. A következő függvények esetében az értelmezési tartomány nem a valós számok halmaza, hanem egy intervallum.
Ábrázold a függvények grafikonját, majd határozd meg a függvények értékkészletét!
a) f: ]-2; 2] → R, f(x) = | x - 1 |
✓
✗
//Értékkészlet: [0; 3[
b) g: [1; 4] → R, g(x) = (x - 2)^2
✓
✗
//Értékkészlet: [0; 4]
c) h: [-1; 2] → R, h(x) = -| x | + 2
✓
✗
//Értékkészlet: [0; 2]
Ábrázold a függvények grafikonját, majd határozd meg a függvények értékkészletét!
a) f: ]-2; 2] → R, f(x) = | x - 1 |
//Értékkészlet: [0; 3[
b) g: [1; 4] → R, g(x) = (x - 2)^2
//Értékkészlet: [0; 4]
c) h: [-1; 2] → R, h(x) = -| x | + 2
//Értékkészlet: [0; 2]
3. A grafikonjuk alapján határozd meg a következő függvények hozzárendelési utasítását, és töltsd ki a táblázatot!
✓
✗
//értelmezési tartomány hozzárendelési szabály minimumhely minimum maximumhely maximum f [-3; 0] 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥+1)2−2 -1 -2 -2 2 g [-2; 2] 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=−𝑥𝑥2+2 -2 és 2 -2 0 2 h [-1; 2] ℎ(𝑥𝑥)=2|𝑥𝑥| 0 0 2 4
| értelmezési tartomány | hozzárendelési szabály | minimumhely | minimum | maximumhely | maximum | |
| f | ||||||
| g | ||||||
| h |
//értelmezési tartomány hozzárendelési szabály minimumhely minimum maximumhely maximum f [-3; 0] 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥+1)2−2 -1 -2 -2 2 g [-2; 2] 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=−𝑥𝑥2+2 -2 és 2 -2 0 2 h [-1; 2] ℎ(𝑥𝑥)=2|𝑥𝑥| 0 0 2 4
4. Állapítsd meg a valós számok halmazán értelmezett másodfokú függvények zérushelyeit és szélsőértékét!
✓
✗
//hozzárendelési szabály zérushelyek minimum vagy maximum van? szélsőértékhely szélsőérték 𝑥𝑥↦𝑥𝑥2+8𝑥𝑥 0 és -8 minimum -4 -16 𝑥𝑥↦2𝑥𝑥2−9𝑥𝑥 0 és 92 minimum 94 -10,125 𝑥𝑥↦−𝑥𝑥2+3𝑥𝑥 0 és 3 maximum 32 2,25 𝑥𝑥↦−0,02𝑥𝑥2+3𝑥𝑥 0 és 150 maximum 75 112,5
| hozzárendelési szabály | zérushelyek | minimuma vagy maximuma van? | szélsőértékhely | szélsőérték |
| x ↦ x^2 + 8x | ||||
| x ↦ 2x^2 - 9x | ||||
| x ↦ -x^2 + 3x | ||||
| x ↦ -0,02x^2 + 3x |
//hozzárendelési szabály zérushelyek minimum vagy maximum van? szélsőértékhely szélsőérték 𝑥𝑥↦𝑥𝑥2+8𝑥𝑥 0 és -8 minimum -4 -16 𝑥𝑥↦2𝑥𝑥2−9𝑥𝑥 0 és 92 minimum 94 -10,125 𝑥𝑥↦−𝑥𝑥2+3𝑥𝑥 0 és 3 maximum 32 2,25 𝑥𝑥↦−0,02𝑥𝑥2+3𝑥𝑥 0 és 150 maximum 75 112,5
5. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonját!
(értelmezési tartomány a valós számok halmaza)
a) f(x) = 2x^2 - 6x és
g(x) = 2x^2 - 6x + 2
✓
✗
b) f(x) = -x^2 + 4x és
g(x) = -x^2 + 4x - 1
✓
✗
c) f(x) = 1/2x^2 + x és
g(x) = 1/2x^2 + x - 1,5
✓
✗
(értelmezési tartomány a valós számok halmaza)
a) f(x) = 2x^2 - 6x és
g(x) = 2x^2 - 6x + 2
b) f(x) = -x^2 + 4x és
g(x) = -x^2 + 4x - 1
c) f(x) = 1/2x^2 + x és
g(x) = 1/2x^2 + x - 1,5
6. Egy 40 méter magas toronyban függőlegesen felfelé felhajítanak egy kislabdát.
A következő függvény a földet érés pillanatáig azt adja meg, hogy t másodperc múlva hány méter magasan van a labda a talajszint fölött:
h(t) = -5t2 + 10t + 40
Milyen magasan van 1 másodperc, 2 másodperc, 3 másodperc elteltével a labda?
✓ ✗
b) Ábrázold koordináta-rendszerben a labda magasságát az idő függvényében!
Alkalmasan válaszd meg a koordináta- rendszer egységeit!
✓ ✗
c) Mikor van legmagasabban a labda?
✓ ✗
d) Mikor ér a labda a talajszintre?
✓ ✗
//a) 45; 40; 25 (m) b) 1 s múlva c) 4 s múlva
A következő függvény a földet érés pillanatáig azt adja meg, hogy t másodperc múlva hány méter magasan van a labda a talajszint fölött:
h(t) = -5t2 + 10t + 40
Milyen magasan van 1 másodperc, 2 másodperc, 3 másodperc elteltével a labda?
✓ ✗
b) Ábrázold koordináta-rendszerben a labda magasságát az idő függvényében!
Alkalmasan válaszd meg a koordináta- rendszer egységeit!
✓ ✗
c) Mikor van legmagasabban a labda?
✓ ✗
d) Mikor ér a labda a talajszintre?
✓ ✗
//a) 45; 40; 25 (m) b) 1 s múlva c) 4 s múlva
HÁZI FELADAT
1. Ábrázold a valós számok halmazán értelmezett függvények grafikonját!
a) f(x) = | x - 1,5 | + 1
b) g(x) = (x - 1)^2 - 4
c) h(x) = -x^2 + 3
a) f(x) = | x - 1,5 | + 1
b) g(x) = (x - 1)^2 - 4
c) h(x) = -x^2 + 3
2. A táblázatban szereplő függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Írd a függvényekhez a rájuk
jellemző tulajdonság betűjelét!
a: minimuma van
b: maximuma van
c: értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza
d: minimumhelye az 5
e: maximumhelye az 5
f: minimumhelye a -5
g: zérushelye az 5
//𝑥𝑥↦|𝑥𝑥−5|+1 𝑥𝑥↦(𝑥𝑥+5)2 𝑥𝑥↦−(𝑥𝑥−5)2 𝑥𝑥↦(𝑥𝑥−5)2+2 𝑥𝑥↦2𝑥𝑥2−5𝑥𝑥 a és d a, c és f b, e és g a és d a
a: minimuma van
b: maximuma van
c: értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza
d: minimumhelye az 5
e: maximumhelye az 5
f: minimumhelye a -5
g: zérushelye az 5
| x ↦ |x - 5| + 1 | x ↦ (x + 5)^2 | x ↦ -(x - 5)^2 | x ↦ (x - 5)^2+2 | x ↦ 2x^2 - 5x |
//𝑥𝑥↦|𝑥𝑥−5|+1 𝑥𝑥↦(𝑥𝑥+5)2 𝑥𝑥↦−(𝑥𝑥−5)2 𝑥𝑥↦(𝑥𝑥−5)2+2 𝑥𝑥↦2𝑥𝑥2−5𝑥𝑥 a és d a, c és f b, e és g a és d a
3. Ábrázold a valós számok halmazán értelmezett f(x) = -x^2 + 4x + 1 függvény grafikonját!
//Átalakítás: −𝑥𝑥2+4𝑥𝑥+1=−(𝑥𝑥−2)2+5
//Átalakítás: −𝑥𝑥2+4𝑥𝑥+1=−(𝑥𝑥−2)2+5
4. Ábrázold a következő függvények grafikonját, majd határozd meg a függvények értékkészletét, szélsőértékhelyeit
és szélsőértékeit!
a) f : [-3; 2] → R, f(x) = | x + 2 |
//Értékkészlet: [0; 4] Minimum: 0 Minimumhely: -2
b) g: [0; 3] → R, g(x) = (x - 2)^2 + 2
//Értékkészlet: [2; 6] Minimum: 2 Minimumhely: 2
a) f : [-3; 2] → R, f(x) = | x + 2 |
//Értékkészlet: [0; 4] Minimum: 0 Minimumhely: -2
b) g: [0; 3] → R, g(x) = (x - 2)^2 + 2
//Értékkészlet: [2; 6] Minimum: 2 Minimumhely: 2
TUDÁSPRÓBA
1. Ábrázold a következő függvény grafikonját!
x ∈ R x ↦ |x + 5| - 2
x ∈ R x ↦ |x + 5| - 2
2. A valós számok halmazán értelmezett x ↦ x^2 függvény
grafikonját told el az x tengely mentén pozitív
irányban három egységgel, majd az y tengely mentén
egy egységgel!
Melyik függvény grafikonját kaptad a két eltolás után?
Határozd meg a kapott függvény minimumhelyét és minimumát!
//𝑓𝑓: ℝ→ℝ, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥−3)2+1 minimumhely: x = 3; minimum 1.
Melyik függvény grafikonját kaptad a két eltolás után?
Határozd meg a kapott függvény minimumhelyét és minimumát!
//𝑓𝑓: ℝ→ℝ, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥−3)2+1 minimumhely: x = 3; minimum 1.
3. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonját!
Df = [-1; 3] f(x) = x^2
Dg = [-1; 3] g(x) = 1/2x^2
Határozd meg a függvények értékkészletét!
//f értékkészlete [0;9], g értékkészlete [0;4,5]
Df = [-1; 3] f(x) = x^2
Dg = [-1; 3] g(x) = 1/2x^2
Határozd meg a függvények értékkészletét!
//f értékkészlete [0;9], g értékkészlete [0;4,5]
4. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a valós számok
halmazán értelmezett függvények grafikonját!
f(x) = x^2 - 4x és
g(x) = x^2 - 4x + 3
Határozd meg a g függvény szélsőértékének helyét és szélsőértékét!
//minimumhely: x = 2, minimum -1.
f(x) = x^2 - 4x és
g(x) = x^2 - 4x + 3
Határozd meg a g függvény szélsőértékének helyét és szélsőértékét!
//minimumhely: x = 2, minimum -1.
5. Egy gép alkatrészeket gyárt.
A gyártás hasznát (forintban) a cég a következő függvénnyel számolja: óránként x db alkatrész gyártásakor (200 1 x 1 1800) a haszon f(x) = -0,01x^2 + 18x.
a) Mekkora a haszon, ha 500 terméket gyártanak?
b) Mekkora a haszon, ha 800 terméket gyártanak?
c) Mekkora a haszon, ha 1000 terméket gyártanak?
d) Ábrázoltuk az f függvény grafikonját.
Milyen x értéknél lesz a gép üzemeltetése optimális?
Mennyi az elérhető legnagyobb haszon?
//a) 6500 Ft b) 8000 Ft c) 8000 Ft d) 900; 8100 Ft
A gyártás hasznát (forintban) a cég a következő függvénnyel számolja: óránként x db alkatrész gyártásakor (200 1 x 1 1800) a haszon f(x) = -0,01x^2 + 18x.
a) Mekkora a haszon, ha 500 terméket gyártanak?
b) Mekkora a haszon, ha 800 terméket gyártanak?
c) Mekkora a haszon, ha 1000 terméket gyártanak?
d) Ábrázoltuk az f függvény grafikonját.
Milyen x értéknél lesz a gép üzemeltetése optimális?
Mennyi az elérhető legnagyobb haszon?
//a) 6500 Ft b) 8000 Ft c) 8000 Ft d) 900; 8100 Ft
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
