Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf
NKP: 3. lecke
KIDOLGOZOTT FELADAT
Két idősebb férfi , Gyula és Miklós beszélgetnek.
– Emlékszel, Miklós, Kulcsár Győzőre?
Ő aztán tudott vívni! – mondja Gyula.
– Igen, valamikor a 70-es években az iskolatársaimmal izgatottan lestük, szerez-e olimpiai aranyérmet.
Úgy emlékszem, jól drukkoltunk.
– Én meg arra emlékszem, hogy mindkét olimpiáról hozott aranyérmet! – idézi fel a 70-es éveket Gyula.
Ki emlékszik helyesen?
– Emlékszel, Miklós, Kulcsár Győzőre?
Ő aztán tudott vívni! – mondja Gyula.
– Igen, valamikor a 70-es években az iskolatársaimmal izgatottan lestük, szerez-e olimpiai aranyérmet.
Úgy emlékszem, jól drukkoltunk.
– Én meg arra emlékszem, hogy mindkét olimpiáról hozott aranyérmet! – idézi fel a 70-es éveket Gyula.
Ki emlékszik helyesen?
2. Igaz-e a következő állítás:
– Egerszegi Krisztina 1991–1992-ben aranyérmet nyert az úszó-világbajnokságon vagy az olimpián.
Bence elhatározta, hogy utánanéz ennek a dolognak.
– Egerszegi Krisztina 1991–1992-ben aranyérmet nyert az úszó-világbajnokságon vagy az olimpián.
Bence elhatározta, hogy utánanéz ennek a dolognak.
ELMÉLET
Két-két állítást (kijelentést) meghatározott módon összekapcsolva olyan újabb állításokhoz juthatunk,
amelyek logikai értékét az eredeti állítások logikai értéke egyértelműen meghatározza.
Az ilyen összekapcsolásokat logikai műveleteknek nevezzük.
Legyen A és B egy-egy állítás (kijelentés).
A vagy B (jelekkel: A ⋁ B) azt az állítást jelenti, amely igaz, ha A és B közül legalább az egyik igaz, és hamis, ha mind A, mind B hamis.
A vagy művelet csak akkor hamis, ha mindkét állítás hamis.
Példa:
A: Hajni jelest kapott matematikából.
B: Hajni jelest kapott történelemből.
Ekkor A ⋁ B azt jelenti, hogy Hajni a matematika és a történelem tárgyak közül legalább az egyikből jelest kapott.
A VAGY művelet igazságtáblázata:
A ⋁ B igaz akkor és csak akkor legalább az egyik állítás igaz.
A és B (jelekkel: A ⋀ B) azt az állítást jelenti, amely igaz, ha A is és B is igaz, és minden más esetben hamis.
Példa:
A: Hajni jelest kapott matematikából.
B: Hajni jelest kapott történelemből.
Ekkor A ⋀ B azt jelenti, hogy Hajni jelest kapott matematikából is és történelemből is.
Az ÉS művelet igazságtáblázata:
A &xwedgr; B igaz akkor és csak akkor mindkét állítás igaz.
A magyar nyelvben általában ÉS műveletet fejez ki a „de” kötőszó is!
ÉS műveletet jelölnek még a következő szavak: továbbá, illetve, valamint, ugyanakkor.
Az ilyen összekapcsolásokat logikai műveleteknek nevezzük.
1. A VAGY művelet (latinul: diszjunkció)
Definíció:Legyen A és B egy-egy állítás (kijelentés).
A vagy B (jelekkel: A ⋁ B) azt az állítást jelenti, amely igaz, ha A és B közül legalább az egyik igaz, és hamis, ha mind A, mind B hamis.
A vagy művelet csak akkor hamis, ha mindkét állítás hamis.
Példa:
A: Hajni jelest kapott matematikából.
B: Hajni jelest kapott történelemből.
Ekkor A ⋁ B azt jelenti, hogy Hajni a matematika és a történelem tárgyak közül legalább az egyikből jelest kapott.
A VAGY művelet igazságtáblázata:
| A | B | A ⋁ B |
| igaz | igaz | igaz |
| igaz | hamis | igaz |
| hamis | igaz | igaz |
| hamis | hamis | hamis |
2. Az ÉS művelet (latinul: konjunkció)
Definíció: Legyen A és B egy-egy állítás (kijelentés).A és B (jelekkel: A ⋀ B) azt az állítást jelenti, amely igaz, ha A is és B is igaz, és minden más esetben hamis.
Példa:
A: Hajni jelest kapott matematikából.
B: Hajni jelest kapott történelemből.
Ekkor A ⋀ B azt jelenti, hogy Hajni jelest kapott matematikából is és történelemből is.
Az ÉS művelet igazságtáblázata:
| A | B | A ⋀ B |
| igaz | igaz | igaz |
| igaz | hamis | hamis |
| hamis | igaz | hamis |
| hamis | hamis | hamis |
A magyar nyelvben általában ÉS műveletet fejez ki a „de” kötőszó is!
ÉS műveletet jelölnek még a következő szavak: továbbá, illetve, valamint, ugyanakkor.
FELADAT
1. Melyik állítás igaz, melyik hamis?
a) 24 osztható 3-mal vagy 4-gyel.
✓ ✗
b) 50 osztható 5-tel és 10-zel.
✓ ✗
c) 36 osztható 6-tal és 8-cal.
✓ ✗
d) 48 osztható 12-vel vagy 15-tel.
✓ ✗
a) 24 osztható 3-mal vagy 4-gyel.
✓ ✗
b) 50 osztható 5-tel és 10-zel.
✓ ✗
c) 36 osztható 6-tal és 8-cal.
✓ ✗
d) 48 osztható 12-vel vagy 15-tel.
✓ ✗
2. Adj meg egy olyan pozitív egész számot, amely
a) osztható 18-cal vagy 36-tal;
✓ ✗
b) osztható 18-cal és 36-tal;
✓ ✗
c) osztható 18-cal és nem osztható 36-tal;
✓ ✗
d) osztható 18-cal vagy nem osztható 36-tal!
✓ ✗
a) osztható 18-cal vagy 36-tal;
✓ ✗
b) osztható 18-cal és 36-tal;
✓ ✗
c) osztható 18-cal és nem osztható 36-tal;
✓ ✗
d) osztható 18-cal vagy nem osztható 36-tal!
✓ ✗
3. Két kijelentést fogalmaztunk meg a rajzon látható KLM háromszögre vonatkozóan.
A: A KLM háromszög egyenlő szárú;
B: A KLM háromszög derékszögű.
a) Add meg A, illetve B logikai értékét (igaz vagy hamis)!
A: A KLM háromszög egyenlő szárú;
✓ ✗
B: A KLM háromszög derékszögű.
✓ ✗
b) Fogalmazd meg az A ⋁ B, illetve az A ⋀ B kijelentést!
A ⋁ B = A KLM háromszög egyenlő szárú a KLM háromszög derékszögű. ✓ ✗
A ⋀ B = A KLM háromszög egyenlő szárú a KLM háromszög derékszögű. ✓ ✗
c) Döntsd el, hogy a b)-ben megfogalmazott két kijelentésnek mi a logikai értéke!
A ⋁ B = ✓ ✗
A ⋀ B = ✓ ✗
B: A KLM háromszög derékszögű.
a) Add meg A, illetve B logikai értékét (igaz vagy hamis)!
A: A KLM háromszög egyenlő szárú;
✓ ✗
B: A KLM háromszög derékszögű.
✓ ✗
b) Fogalmazd meg az A ⋁ B, illetve az A ⋀ B kijelentést!
A ⋁ B = A KLM háromszög egyenlő szárú a KLM háromszög derékszögű. ✓ ✗
A ⋀ B = A KLM háromszög egyenlő szárú a KLM háromszög derékszögű. ✓ ✗
c) Döntsd el, hogy a b)-ben megfogalmazott két kijelentésnek mi a logikai értéke!
A ⋁ B = ✓ ✗
A ⋀ B = ✓ ✗
4. Kösd össze azokat, amelyek ugyanazt az állítást jelentik!
Az egyik mondatnak nincs párja, ezt írd fel logikai jelekkel!
A: Ez az állat gyorsan fut.
B: Ez az állat ragadozó.
C: Ez az állat védett.
P -
✓
✗
Q - ✓ ✗
R - ✓ ✗
S - ✓ ✗
T - ✓ ✗
U = ✓ ✗
(6) felírása: ✓ ✗
Az egyik mondatnak nincs párja, ezt írd fel logikai jelekkel!
A: Ez az állat gyorsan fut.
B: Ez az állat ragadozó.
C: Ez az állat védett.
| P: Ez az állat ragadozó, de nem védett. | (1) A ⋁ ¬C |
| Q: Ez az állat nem fut gyorsan, de nem is ragadozó. | (2) B ⋀ ¬C |
| R: Ez az állat gyorsan fut vagy nem védett. | (3) A ⋀ B ⋀ ¬C |
| S: Ez az állat egy védett ragadozó, amely nem fut gyorsan. | (4) ¬A ⋀ ¬B |
| T: Ez az állat ragadozó vagy védett. | (5) C ⋀ B ⋀ ¬A |
| U: Ez az állat egy gyorsan futó ragadozó, de nem védett. | (6) |
Q - ✓ ✗
R - ✓ ✗
S - ✓ ✗
T - ✓ ✗
U = ✓ ✗
(6) felírása: ✓ ✗
5. Venn-diagramon ábrázoltuk, hogy 10 gyerek közül ki szereti
a halászlét, ki szereti a spenótot, és ki szereti a vadast.
Határozd meg, hogy melyikükre teljesülnek a logikai jelekkel felírt állítások!
H: Szereti a halászlét.
S: Szereti a spenótot.
V: Szereti a vadast.
Határozd meg, hogy melyikükre teljesülnek a logikai jelekkel felírt állítások!
S: Szereti a spenótot.
V: Szereti a vadast.
| Állítás | Kikre teljesül? | ||
| A | S ⋀ ¬V |
;
;
;
;
; ; ; ; ; |
✓ ✗ |
| B | (S ⋁ H) ⋀ V |
;
;
;
;
; ; ; ; ; |
✓ ✗ |
| C | (S ⋀ V) ⋁ H |
;
;
;
;
; ; ; ; ; |
✓ ✗ |
| D | ¬(H ⋀ V) |
;
;
;
;
; ; ; ; ; |
✓ ✗ |
| E | ¬(V ⋁ S) |
;
;
;
;
; ; ; ; ; |
✓ ✗ |
| F | ¬H ⋀ ¬V |
;
;
;
;
; ; ; ; ; |
✓ ✗ |
ELMÉLET
3. Kizáró vagy
Az A és a B kijelentésből képzett „vagy A, vagy B.” kijelentésre azt mondjuk, hogy a VAGY-VAGY (kizáró vagy) logikai művelettel kapcsoltuk össze a két kijelentést.A kizáró vagy jele: A ⨁ B.
Ennek a logikai műveletnek az igazságtáblázata a következő:
| A | B | A ⨁ B |
| igaz | igaz | hamis |
| igaz | hamis | igaz |
| hamis | igaz | igaz |
| hamis | hamis | hamis |
| A | B | A ⨁ B |
| i | i | h |
| i | h | i |
| h | i | i |
| h | h | h |
Az A ⨁ B kijelentés tehát pontosan akkor igaz, ha A és B logikai értéke különböző.
Példa:
A „Vagy a cipőt veszed meg, vagy a kabátot (veszed meg).”
összetett kijelentés igaz, ha csak az egyik tárgyat vásárolod meg, hamis, ha mindkettőt vagy egyiket sem.
A hétköznapi nyelvhasználatban a „vagy” szót sokszor „kizáró vagy”-értelemben használjuk.
Figyelj arra, hogy a matematikai állításokban:
vagy - vagy = kizáró vagy vagy az egyik, vagy a másik állítás teljesül
vagy = megengedő vagy = teljesülhet egyszerre a két állítás
Példa:
„Ön dönt: iszik vagy vezet.”
Ez a mondat matematikai értelemben megengedi az ittas vezetést.
A mondat valódi jelentését ez a matematikai állítás írja le helyesen:
„Ön dönt: vagy iszik, vagy vezet.”
HÁZI FELADAT
1. Rajzolj olyan ábrát, amelyre igaz az alábbi állítás!
a) Az ABC háromszög egyenlő szárú és derékszögű.
A háromszög oldalainak hossza:
a =
b =
c =
b) Az ABCD négyszög rombusz és téglalap.
Ez a négyszög egy: .
c) Az ABCD négyszög deltoid vagy paralelogramma.
Ez a négyszög nem: négyszög.
d) A megrajzolt sokszög konvex, vagy belső szögeinek összege 540°.
A sokszög oldalainak száma lehet: .
a) Az ABC háromszög egyenlő szárú és derékszögű.
A háromszög oldalainak hossza:
a =
b =
c =
b) Az ABCD négyszög rombusz és téglalap.
Ez a négyszög egy: .
c) Az ABCD négyszög deltoid vagy paralelogramma.
Ez a négyszög nem: négyszög.
d) A megrajzolt sokszög konvex, vagy belső szögeinek összege 540°.
A sokszög oldalainak száma lehet: .
2. Rajzolj olyan ábrát, amelyre nem igaz (hamis) az alábbi állítás!
a) Az ABC háromszög egyenlő szárú és derékszögű.
A háromszög oldalainak hossza:
a =
b =
c =
b) Az ABCD négyszög rombusz és téglalap.
Ez a négyszög nem lehet egy: .
c) Az ABCD négyszög deltoid vagy paralelogramma.
Ennek a négyszögnek az oldalhosszai mind: .
d) A megrajzolt sokszög konvex, vagy belső szögeinek összege 540°.
A sokszög oldalainak száma nem lehet: .
a) Az ABC háromszög egyenlő szárú és derékszögű.
A háromszög oldalainak hossza:
a =
b =
c =
b) Az ABCD négyszög rombusz és téglalap.
Ez a négyszög nem lehet egy: .
c) Az ABCD négyszög deltoid vagy paralelogramma.
Ennek a négyszögnek az oldalhosszai mind: .
d) A megrajzolt sokszög konvex, vagy belső szögeinek összege 540°.
A sokszög oldalainak száma nem lehet: .
3. Helyezd el a Venn-diagramban a megadott számokat!
Töltsd ki a táblázatot!
A: Ez a szám osztható 2-vel.
B: Ez a szám osztható 3-mal.
C: Ez a szám osztható 5-tel.
Műveleti jelek:
Nem (¬) = NEM
És (⋀) = ÉS
Vagy (⋁) = VAGY
Töltsd ki a táblázatot!
| Ez a szám osztható 2-vel. | Ez a szám osztható 3-mal. | Ez a szám osztható 5-tel. | |
| 6 | |||
| 9 | |||
| 10 | |||
| 12 | |||
| 15 | |||
| 21 | |||
| 32 | |||
| 35 | |||
| 36 |
A: Ez a szám osztható 2-vel.
B: Ez a szám osztható 3-mal.
C: Ez a szám osztható 5-tel.
Műveleti jelek:
Nem (¬) = NEM
És (⋀) = ÉS
Vagy (⋁) = VAGY
| Az állítás szavakkal megfogalmazva | Az állítás logikai jelekkel felírva | Hány számra teljesül? |
| Ez a szám osztható 3-mal vagy 5-tel. | B VAGY C | |
| Ez a szám osztható 2-vel, de nem osztható 3-mal. | ||
| Ez a szám osztható 2-vel és 3-mal, de nem osztható 5-tel. | ||
| Ez a szám osztható 2-vel vagy nem osztható 5-tel. |
NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /
