Matek 10: augusztus 2024

2024. augusztus 10., szombat

2024. augusztus 9., péntek

9 TÉMAZÁRÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_I__teljes.pdf
Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf

1. Derékszögű koordináta-rendszerben a P ponton át párhuzamost húzunk az AB egyenessel.
a) Milyen hosszú részekre vágja ez az egyenes az OB szakaszt?
b) Az egyenes metszéspontja az x tengellyel legyen Q.
Hányadrésze a PQ szakasz hossza az AB szakasz hosszának?
//a) 20/3 és 10/3 b) 2/3

2. Egy szimmetrikus trapéz rövidebbik alapja 5 cm, hosszabbik alapja 8 cm, magassága pedig 6 cm hosszú.
Egészítsd ki a trapézt háromszöggé az ábra szerint!
//a) 10 cm b) 5 cm; 10,3 cm és 10,3 cm

a) Mekkora a háromszög DC oldalhoz tartozó magassága?
b) Mekkorák a háromszög oldalai?

3. Egy kétlábú létra összecsukott állapotban 2 m hosszú.
A létra két lábát a három negyedelő pontjánál lánccal kötik össze.
Milyen hosszúak ezek a láncok, ha a létra legfelső pontja teljesen szétnyitott állapotban 180 cm-re van a talajtól?
//43,6 cm; 87,2 cm; 130,8 cm

4. Vegyél fel a füzetedben egy egyenest, és az egyik félsíkban egy háromszöget, a másik félsíkban egy O pontot!
Keress olyan O középpontú középpontos hasonlóságot, melyet elvégezve a háromszög valamelyik csúcsa az egyenesre esik!
Szerkeszd meg a háromszög képét!
(Hány megoldást találtál?)
//Három középpontos hasonlóság létezik.

5. Az ábrán a kis téglalap az ABCD téglalap képe egy E középpontú kicsinyítés során.

a) Bizonyítsd be, hogy E, F és A pontok egy egyenesbe esnek!
b) Az F és G pontok harmadoló pontjai a CD oldalnak.
Mekkora a kicsinyítés aránya?
c) Hányszorosa a CED egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magassága az AD oldalnak?
//b) 1/3 c) fele

6. Egy kikötőből két hajó indul egyszerre.
20 perc múlva 6,2 km távol vannak egymástól.
Milyen távol lesznek egymástól az indulástól számított másfél óra múlva, ha mindkét hajó állandó sebességgel, egyenes irányban halad?
Készíts ábrát!
//27,9 km

7. Az ABCD téglalap AB oldala kétszer olyan hosszú, mint a BC oldala.
Jelöljük P-vel a CD oldal C-hez közelebbi negyedelő pontját!
a) Készíts ábrát! Húzd be az ábrán a téglalap oldalait, az AC átlót és a BP szakaszt!
b) Keress két hasonló háromszög-párt!
A háromszögek hasonlóságának melyik alapesetével tudod indokolni a hasonlóságokat?
c) Mekkora a hasonló háromszögek területeinek aránya?
//b) AC és BP metszéspontja M. AMB és CMP háromszög hasonló. I. alapeset. PCB és CBA háromszög hasonló. II. alapeset.

8. Egy fa magasságát egy karó segítségével határozzuk meg.
Az ábrán AB jelzi a fa helyét, CD jelzi a karó helyét.
A karó magassága 1,5 m, a karó és a fa távolsága 4,2 m, a karó és a talajon meghatározott E pont távolsága 1,8 m.
Milyen magas a fa?
//5 m

9. Egy fa magasságát szeretnénk megmérni.
Egy függőleges karót szúrtunk a földbe, a fától néhány méterre.
A karó másik oldalán megállunk, a karótól 0,5 m-re.
Szemmagasságunk 1,6 m.
Bejelöljük a karón azt a két pontot, amely irányban a fa alját és tetejét látjuk.
Azt látjuk, hogy a bejelölt pontok a szemmagasság alatt 42 cm-re és a szemmagasság fölött 92 cm-re vannak.
a) Milyen magas a fa?
b) Milyen messze volt a karó a fától?
//a) 5,1 m b) 1,4 m

10. Egy ABCD téglalap oldalai 45 cm és 31 cm hosszúak.
A téglalap egy belső P pontját összekötjük a téglalap csúcsaival, majd a PA, PB, PC és PD szakaszoknak kijelöljük a P-hez közelebbi harmadoló pontjait.
a) Milyen síkidomot határoznak meg a harmadoló pontok?
b) Mekkora ennek a síkidomnak a területe?
//a) téglalapot b) 155 cm2

11. Egy tervrajzon a ház alaprajza 190 cm2 területű.
A valóságban ugyanez az alapterület 142 m2.
a) Mekkora a tervrajzon az a szoba, amely a valóságban 18 m2 alapterületű?
b) Milyen széles a valóságban az az ablak, amely a tervrajzon 1,3 cm széles?
c) Hányszoros kicsinyítése a tervrajz a valóságnak?
//a) 24 cm2 b) 1,12 m c) 86-szoros kicsinyítés

12. Egy kocka felszíne 121,5 cm2.
Egy másik kocka térfogata 216 cm3.
Mekkora a két kocka hasonlóságának aránya?
//3:4

13. Egy téglatest éleinek hossza 12 cm, 20 cm és 28 cm.
Egy, az előbbihez hasonló téglatest felszíne 142 cm2.
Mekkora annak a középpontos hasonlóságnak az aránya, mellyel az eredeti téglatest az adott felszínű téglatestbe vihető?
//4

14. Egy négyzet alapú egyenes gúla alapéle 4 cm, magassága 13 cm hosszú.
Egy az előbbihez hasonló gúla alaplapjának területe 36 cm2.
Mekkora ez utóbbi gúlának az alapéle és a magassága?
//6 cm, 19.5 cm

15. (Érettségi feladat, 2017)
Az ABC derékszögű háromszög egyik befogója 8 cm, átfogója 17 cm hosszú.
a) Számítsd ki a háromszög 17 cm-es oldalához tartozó magasságának hosszát!
b) Hány cm2 a háromszög körülírt körének területe?
A DEF háromszög hasonló az ABC háromszöghöz, és az átfogója 13,6 cm hosszú.
c) Hány százaléka a DEF háromszög területe az ABC háromszög területének?
//a) 7,06 cm b) 227 cm2 c) 64%

76 GYAKORLÁS, TUDÁSPRÓBA

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_I__teljes.pdf
Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf

TUDÁSPRÓBA I.

1. Egy szabályos hatszög oldalai 6 cm-esek.
Megrajzoltuk három átlóját.

a) Igazold, hogy a zöld és a rózsaszínű háromszög hasonló egymáshoz!

b) Mennyi a hasonlóság aránya?

c) Hasonló-e valamelyik fehér háromszög a zöldhöz?
Miért?

d) Mekkora részekre vágják egymást az átlók?

//b) 1:√3 c) nem d) harmadolják

2. Egy járókelő az utcán elhelyezett tükröző felületű térkövön látja az előtte álló közlekedési lámpa legfelső pontjának tükörképét (lásd az ábrán).
A fényvisszaverődés törvénye miatt a rajzon jelölt szögek nagysága egymással egyenlő.
Milyen magasan van a lámpa legfelső pontja a talajtól, ha az illető szemmagassága 184 cm, és ismerjük az ábrán bejelölt távolságokat?

//6,44m

3. Döntsd el az alábbi állításokról, hogy melyik igaz, melyik hamis!
a) Két derékszögű háromszög hasonló, ha megegyezik egyik hegyesszögük nagysága.

b) Két rombusz hasonló, ha az egyik oldalainak hossza kétszer akkora, mint a másik oldalainak hossza.

c) Ha egy középpontos hasonlóság aránya 0,5, akkor a kapott alakzat az eredeti alakzatnak kicsinyített mása.

d) Két húrtrapéz mindig hasonló.

e) Két egyenlő szárú háromszög hasonló, ha van egyenlő nagyságú szögük.

f) Két háromszög hasonló, ha megegyeznek két szögük nagyságában.

g) Két kör mindig hasonló egymással.

//a) igaz b) hamis c) igaz d) hamis e) hamis f) igaz g) igaz

4. Egy szabályos gúla alaplapja 12 cm-es oldalú négyzet, a gúla magassága is 12 cm.
A magasság felső harmadolópontján átmenő, az alaplappal párhuzamos síkkal két részre vágjuk a gúlát.

a) Mekkora a keletkezett kis gúla alapélének hossza?

b) Mekkora a kis gúla és a nagy gúla alapterületének aránya?

//a) 4cm b) 1:9

TUDÁSPRÓBA II.

1. Egy háromszög oldalainak hosszúsága 14 cm, 28 cm és 35 cm.
Egy hozzá hasonló másik háromszög kerülete 7,7 cm.
Mekkorák ennek az oldalai?

//1,4 cm; 2,8 cm; 3,5 cm

2. Egy háromszög egyik oldala 35 mm hosszú, a hozzá tartozó magasság is ekkora.
A háromszög másik két oldalát 7-7 egyenlő részre vágtuk, a megfelelő osztópontokat összekötöttük.

a) Keress az ábrán hasonló trapézokat!
Add meg a csúcsaikat és a hasonlóságuk arányát!

b) Mekkora a legkisebb háromszög területe?
c) Mennyi a következő ábrán a zöld és a piros trapéz területének aránya?

//a) Arányok: 1:2 (két esetben) vagy 1:3 (egy esetben) b) 12,5 mm2 c) 1:2

3. Döntsd el az alábbi állításokról, hogy melyik igaz, melyik hamis!
a) Két szabályos háromszög mindig hasonló egymáshoz.

b) Két húrtrapéz hasonló, ha megegyeznek szögeik nagyságában.

c) Ha egy középpontos hasonlóság aránya 1,5, akkor az eredeti alakzat a kapott alakzat kicsinyített mása.

d) Két paralelogramma mindig hasonló.

e) Két derékszögű háromszög mindig hasonló egymáshoz.

f) Két háromszög hasonló, ha megegyeznek két oldalhossz arányában és egy szögük nagyságában.

g) Két négyzet mindig hasonló egymáshoz.

//a) igaz b) hamis c) hamis d) hamis
e) hamis f) hamis g) igaz

4. Egy csonkagúla alapterülete 400 cm2, fedőlapjának a területe 64 cm2, magassága 21 cm.
A csonkagúlát kiegészítjük gúlává.

a) Mekkora annak a középpontos nagyításnak az arányszáma, amely a kiegészítő kis gúlát a teljes gúlába viszi át?

b) Számítsd ki a kiegészítő gúla magasságát!

//a) 2,5 b) 14cm

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /

75 ISMÉTLÉS, GYAKORLÁS

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_I__teljes.pdf
Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf

FELADAT

1. Egy fényképen egy fa 9 cm „magas”, a fa mellett álló 1,80 méter magas fi ú pedig 4 cm magasságúnak látszik.
a) Milyen magas a fa?
✓ ✗
b) Milyen magasnak látszik a fényképen a fiú mellett álló 1,6 m magas öccse?
✓ ✗
c) A fa mellett egy 4 m2 területű, téglalap alakú reklámtábla is állt, szemben a fényképezőgéppel.
Mekkora területűnek látszik a reklámtábla a fényképen?
✓ ✗
//a) 4,05 m b) 3,56 cm c) 19,8 cm2

2. Ha egy 1 cm átmérőjű acélgolyóval szemléltetnénk egy protont (a hidrogénatom magját), akkor mekkora lenne egy hidrogénatom egy méretarányos modellben?
Adatok (közelítések): a proton átmérője 10–15 m, a hidrogénatom átmérője 10–10 m.
a) Az atom átmérője hányszor akkora, mint a magátmérő?
✓ ✗
b) Mekkora lenne a modellben a hidrogénatom átmérője?
✓ ✗
//a) 100 000-szer b) 100 000 cm = 1 km

3. Az ABCD négyszög oldalait három-három egyenlő részre osztottuk, és az osztópontok közül négyet az ábrán látható módon kötöttünk össze.
Igazold, hogy az összekötő szakaszok trapézt alkotnak, és állapítsd meg a párhuzamos oldalak hosszának arányát!

4. Egy háromszög súlypontja a háromszög csúcsaitól rendre 5 cm, 5,8 cm, 6,2 cm távolságra van.
a) Mekkora a háromszög súlyvonalainak hossza?
✓ ✗
b) Mekkorák a háromszög középvonalai által meghatározott háromszög súlyvonalai?
✓ ✗
//a) 7,5 cm; 8,7 cm; 9,3 cm b) 3,75 cm; 4,35 cm, 4,65 cm

HÁZI FELADAT

1. Jelöld meg egy háromszögben a súlypont és az oldalfelező pontok közötti szakaszok felezőpontjait!
a) Igazold, hogy ez a három pont az eredeti háromszöghöz hasonló háromszöget határoz meg!
b) Írd fel a két hasonló háromszög területének arányát!
//b) 1:16

2. Egy kör alakú asztallap átmérője ugyanannyi, mint az asztal magassága. Az asztal közepe fölött, a talajtól 185 cm magasságban van egy pontszerű fényforrás.
A talajon az asztal árnyéka egy 70,5 cm sugarú kör.
a) Készíts ábrát!
b) Mekkora az asztallap sugara?

//b) 51 cm

3. Jutka az iskolai kiránduláson 1280 × 960-as felbontású képeket készített, a képeket számítógépére mentette.
Barátnője, Julcsi kérésére néhány képet el akar küldeni e-mailben.
Egy kép tárolása körülbelül 1,2 MB helyet igényel.
A tíz kiválasztott kép együttes mérete túl nagy, ezért Jutka a képeket 640 × 480-as felbontásban küldi el.
a) Hány megabájt lesz a 10 kép együttes „helyigénye”?
(Az 1280 × 960-as felbontás azt jelenti, hogy a kép 960 vízszintes sorban, soronként 1280 darab képpontból áll össze.
A számítógép minden képpont tárolásához ugyanakkora lemezterületet használ.)

b) Jutka egy 16 cm × 9 cm-es keretben szeretné elhelyezni az egyik jól sikerült képet úgy, hogy minden részlet megmaradjon.
Csak olyan képeket tud nyomtatni, amelyek oldalai nak aránya 640 : 480.
Mekkorák annak a képnek a méretei, amelyik a keretbe illik és a lehető legnagyobb?

//a) 0,3 MB b) 12 cm x 9 cm

4. Hajni a Naprendszer és a Tejútrendszer méretarányos modelljét szeretné elkészíteni.
Úgy gondolja, hogy a Napot egy kb. 7 cm átmérőjű teniszlabda szemléltethetné.
Reális-e Hajni terve?
Adatok (közelítések):
a Nap átmérője 1,4 millió km,
a Nap–Föld távolság 150 millió km,
a Föld átmérője 12 700 km,
a Naprendszer átmérője 1,1 * 10^10 km,
a Tejútrendszer átmérője 9,5 * 1017 km.
a) Mekkora lenne Hajni modelljében a kicsinyítés aránya?

b) Mekkora lenne a modellben a Föld átmérője?

c) Mekkora távolságra lenne a Föld a Naptól Hajni modelljében?

d) Mekkora lenne ebben a modellben a Naprendszer átmérője?

e) Mekkora lenne ebben a modellben a Tejútrendszer átmérője?

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /

74 GYAKORLÁS

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_I__teljes.pdf
Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf

CSOPORTMUNKA

2-3 fős csoportokba osztva dolgozzatok!
Ugyanannyi csoport foglalkozzon az I. feladatsorral, mint a II. feladatsorral.
A feladatsor megoldása után mindegyik csoport „megtanítja” a saját feladatait egy másik csoportnak, amely nem ugyanazt a feladatsort oldotta meg.

I. FELADATSOR

1. A KLMN négyszög két oldalát megfeleztük, két oldalát pedig 4-4 egyenlő részre osztottuk.
Két-két osztópontot az ábra szerint összekötöttünk.
Megrajzoltuk a KM átlót is, amely 6 cm hosszú.

a) Miért párhuzamosak az a, b, c, d szakaszok a KM átlóval?
✓ ✗
b) Számítsd ki az a, b, c, d szakaszok hosszát!
✓ ✗
c) Hány olyan trapéz rajzolható az ábrába, amelynek a két alapja az a, b, c, d szakaszok közül kerül ki?
✓ ✗
Ezek között hány paralelogramma van?
//b) 3 cm; 1,5 cm; 3 cm; 4,5 cm

2. A KMN háromszög területe 6 cm2, a KLM háromszög területe 12 cm2.
Számítsd ki a színezett sokszögek területét!
(KM = 6 cm)
✓ ✗
//0,75 cm2, 3,75 cm2, 4,5 cm2.

II. FELADATSOR

1. Az ABCD trapéz alapjainak hossza 24 mm és 96 mm, BC szárának hossza 156 mm, magassága pedig 144 mm hosszú.
Az EF szakasz párhuzamos a trapéz alapjaival, és az átlók K metszéspontja a szakaszon van.

a) A hasonlóság melyik alapesetével igazolhatjuk, hogy ABKi + CDKi?
✓ ✗
b) Melyek az egymásnak megfelelő oldalak az ABK és a CDK háromszögekben?
✓ ✗
c) Mennyi a hasonlóság aránya az ABK és a CDK háromszögek között?
✓ ✗
d) Hányszor akkora az AK szakasz, mint a KC szakasz?
✓ ✗
e) A hasonlóság melyik alapesetével igazolhatjuk, hogy AKEi + ACDi?
✓ ✗
f) Mennyi a hasonlóság aránya az AEK és az ACD háromszögek között?
✓ ✗
g) Hány mm-es az EK szakasz?
✓ ✗
//a) Két szög egyenlő b) AB és CD; AK és CK; BK és DK c) ¼ d) négyszer e) Két szög egyenlő f) 5/4 g) 19,2 mm

2. Igazold, hogy az előbbi feladathoz tartozó ábrán szakasz ugyanakkora, mint az EK szakasz!
✓ ✗

HÁZI FELADAT

1. Az ábrán a négyszög két-két szomszédos oldalának (az A csúcstól távolabbi, a C csúcshoz közelebbi) harmadolópontjait kötöttük össze.

a) Hányszor akkora a BD átló hossza, mint a piros szakasz hossza?

b) Hányszor akkora a BD átló hossza, mint a zöld szakasz hossza?

c) Mennyi a piros és a zöld szakasz hosszúságának az aránya?

//a) 3-szor b) 3/2 – szer c) 2:1

2. Az ABCD trapéz kiegészítő háromszöge a DCP háromszög.

a) Mekkora x és y?

b) Hányadrésze a kiegészítő háromszög területe az ABP háromszög területének, illetve a trapéz területének?

c) Milyen arányban osztják egymást a trapéz átlói?

//a) x=1,8 és y=1,4 b) A háromszög területének 4/25-része, a trapéz területének 4/21-része

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /

73 HÁROMSZÖG KÖZÉPVONALAI ÉS SÚLYVONALAI

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_I__teljes.pdf
Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf

FELADAT

1. A háromszögek hasonlóságának egyik alapesete megmutatja, hogy ABC△ ~ EDC△.

a) Melyik ez az alapeset?
✓ ✗
b) Melyek itt az egymásnak megfelelő csúcsok?
✓ ✗
c) Mennyi a hasonlóság aránya?
✓ ✗
d) Mi következik ebből az AB és a DE szakasz állására és hosszúságára vonatkozóan?
✓ ✗
e) A DE szakasz az ABC△ két oldalának a felezőpontját köti össze.
Mi a neve az ilyen tulajdonságú szakasznak?
✓ ✗
//a) két-két oldala aránya, és az általuk közbezárt szög egyenlő. b) B és D; A és E; C és C c) ½ d) Párhuzamosak, és DE feleakkora mint AB e) középvonal.

ELMÉLET

Ha összekötjük egy háromszög két oldalának a felezőpontját, akkor a háromszög egyik középvonalát kapjuk meg.
Bizonyítható, hogy ez a középvonal párhuzamos a háromszög harmadik oldalával, és feleolyan hosszú, mint ez az oldal.
Minden háromszögnek három középvonala van.

FELADAT

2. a) Egy háromszög három oldalhosszának aránya 2 : 8 : 9, legrövidebb középvonalának hossza 17 mm.
Határozd meg a háromszög oldalainak hosszát!
✓ ✗
b) Az ABC háromszög középvonalai olyan háromszöget alkotnak, melynek kerülete 255 dm, és oldalainak aránya 5 : 12 : 13.
Határozd meg az ABC háromszög oldalainak hosszát!
Szögei szerint milyen az ABC háromszög?
✓ ✗
//a) 34 mm; 136 mm; 153 mm b) 204 dm; 85 dm; 221 dm; derékszögű háromszög

3. A mellékelt ábrán AB || DE.

A háromszögek hasonlóságának egyik alapesete megmutatja, hogy ABSi + DESi.
a) Melyik ez az alapeset?
✓ ✗
b) Melyek itt az egymásnak megfelelő csúcsok?
✓ ✗
c) Mennyi a hasonlóság aránya?
✓ ✗
d) Mennyi az AS és a DS szakasz hosszúságának az aránya?
✓ ✗
e) Mennyi a BS és az ES szakasz hosszúságának az aránya?
✓ ✗
f) Az AD szakasz is és a BE szakasz is az ABC△ egyik csúcsát és a vele szemközti oldal felezőpontját köti össze.
Mi a neve az ilyen tulajdonságú szakasznak?
✓ ✗
//a) I. alapeset b) B és E; D és A; S és S c) 2 illetve ½ d) 2 : 1 e) 2 : 1 f) súlyvonal.

ELMÉLET

Ha összekötjük egy háromszög egyik csúcsát a vele szemközti oldal felezőpontjával, akkor a háromszög egyik súlyvonalát kapjuk meg (az ábrán az A csúcshoz tartozó súlyvonalat rajzoltuk meg).

Minden háromszögnek három súlyvonala van.
Igaz a következő két állítás:
– Két súlyvonal 2 : 1 arányban osztja egymást, a hosszabbik rész csatlakozik a csúcshoz.
– Egy háromszög három súlyvonala egy pontban metszi egymást. Ezt a közös pontot a háromszög súlypontjának nevezzük.
A súlyvonal a háromszöget két egyenlő területű részre osztja.

FELADAT

4. Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza 14 cm és 33,6 cm.
a) Mekkorák a háromszög középvonalai?
✓ ✗
b) Mekkora az átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza?
✓ ✗
c) Mekkora a befogókhoz tartozó súlyvonalak hossza?
✓ ✗
d) Mekkora távolságra van a háromszög súlypontja a háromszög csúcsaitól?
✓ ✗

//a) 7 cm; 16,8 cm; 18,2 cm b) 18,2 cm c) 21,9 cm és 34,3 cm d) 12,1 cm; 14,6 cm; 22,9 cm

HÁZI FELADAT

1. a) Mekkora távolságra van a 3,8 cm oldalú szabályos háromszög súlypontja a háromszög csúcsaitól?

b) Mekkora távolságra van a 4,5 cm befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög súlypontja a háromszög oldalaitól?

//a) 2,19 cm b) 1,06 cm; 1,5 cm; 1,5 cm

2. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 42 mm, szára 29 mm hosszú.
a) Milyen hosszúak a háromszög középvonalai?

b) Mekkora távolságra van a háromszög súlypontja az alaptól?

c) A súlypontot összekötjük a háromszög csúcsaival.
Mekkora területű háromszögekre bontottuk fel az eredeti háromszöget?

d) Megrajzoljuk a háromszög három középvonalát.
Mekkora a középvonalak által meghatározott háromszög területe?

//a) 21 mm; 14,5 mm b) 6,67 mm c) Mindhárom rész területe 140 mm2. d) Mind a négy rész területe 105 mm2.

3. Rajzold meg egy háromszögnek
a) az egyik súlyvonalát;

b) két súlyvonalát!
Mennyi az egyes részek területének az aránya?

//a) t1 : t2 = 1 : 1 b) t1 : t2 : t3 : t4 = 2 : 1 : 2 : 1

4. Egy háromszög egyik súlyvonala 6 cm, egy másik 4,5 cm hosszú.
Ez a két súlyvonal merőleges egymásra.
a) Mekkorák ennek a háromszögnek az oldalai?

b) Mekkorák ennek a háromszögnek a középvonalai?

//a) 5 cm; 8,54 cm; 7,21 cm b) 2,5 cm; 4,27 cm; 3,61 cm

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /

72 HÁROMSZÖGEK HASONLÓSÁGA

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_I__teljes.pdf
Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf

KIDOLGOZOTT FELADAT

Egy háromszög két oldala: a = 3,4 cm, b = 5,2 cm, az általuk közbezárt szög: c = 68,4°.
Ezt a háromszöget középpontosan nagyítjuk a 2,5-szeresére, majd a nagyított képet tükrözzük egy egyenesre.
Hasonlítsuk össze a tükrözés után kapott háromszöget az eredetivel!

ELMÉLET

Sok feladat megoldását elősegíti a következő négy szükséges és elégséges feltétel, amelyeket a háromszögek hasonlósági alapeseteinek nevezünk.
(Az ábra azt mutatja meg, hogy a középső háromszög oldalai, illetve szögei milyen kapcsolatban vannak a körülötte álló háromszögek egyes alkotórészeivel.)

Ha két háromszögben
– két-két szög egyenlő nagyságú, akkor ez a két háromszög hasonló (I. eset);
– két-két oldal hosszának aránya és az általuk közbezárt szög nagysága egyenlő, akkor ez a két háromszög hasonló (II. eset);
– a három oldal hosszának aránya páronként egyenlő, akkor ez a két háromszög hasonló (III. eset);
– két-két oldal hosszának aránya és a nagyobbikkal szemben fekvő szög nagysága egyenlő, akkor ez a két háromszög hasonló (IV. eset).

FELADAT

1. Három matróz egy vízben rekedt, zátonyra futott hajó parttól való távolságát szeretné meghatározni.
A cél érdekében mindhárman megmérik az ábrán jelzett a és b szög nagyságát, majd a kapott értékek átlagát figyelembe véve végeznek számításokat.

	1. matróz 2. matróz 3. matróz
a 72° 73° 77°
b 53° 51° 52°

a) Mekkora szögekkel számolnak?
✓ ✗
b) Elkészítik a valóságos helyzethez hasonló háromszöget úgy, hogy a valóságban 100 m hosszú szakaszt 10 cm hosszúságúnak tekintik.
Készítsd el te is a rajzot!
c) Mekkora a kicsinyítésben a hajó és a part távolsága?
Mérd meg!
✓ ✗
d) Mekkora lehet a hajó és a part távolsága a valóságban?
✓ ✗
e) Rajzold meg a kicsinyített háromszöget külön-külön a három matróz adataival!
Milyen eltérés van a d) kérdésre adott válaszban?
✓ ✗

//a) 74° és 52° c) ≈9−9,5 cm d) ≈90−95 m e) Eltérés: 9,1 m

2. Keress az ábrán hasonló háromszögeket!
Indokold, hogy miért hasonlók!

✓ ✗

3. Az ABCD téglalapban a P pont a CD oldal C-hez közelebbi ne gye de lőpontja.
Az AB oldal hossza 8 cm, a BC oldal hossza 10 cm.
a) Keress az ábrán hasonló háromszögeket!
Indokold, miért hasonlók, a hasonlóság melyik alapesete teljesül?
✓ ✗
b) Mekkora a CP és mekkora a PD távolság?
✓ ✗
c) Mekkora a QC távolság?
✓ ✗

////b) 2 cm; 6 cm c) 3,33 cm

HÁZI FELADAT

1. Keress hasonló háromszögeket az ábrán!
Indokold, hogy miért hasonlók, és állapítsd meg a hasonlóságuk arányát is!

//1:3

2. (Érettségi feladat nyomán)
Két derékszögű háromszöget egy-egy oldalukkal egymáshoz illesztettünk az ábrának megfelelően.

Így az ABCD derékszögű trapézt kaptuk.
a) Igazold, hogy az ABC és a CAD háromszög hasonló!

Legyen AB = 9 cm, AC = 15 cm.
b) Számítsd ki a trapéz kerületét!

c) Számítsd ki a trapéz területét!

//b) 66 cm c) 204 𝑐m2

3. (Kompetenciamérés, 2003)
Egy építész egy 280 méter magas épület 1,4 méteres modelljét tesztelte különböző szélerősségek mellett.
Arra lett figyelmes, hogy a modell teteje valamelyest rezeg.
A modell tengelye a csúcsánál 1 cm-t lengett ki a függőleges irányhoz képest.
Ezek alapján mennyi lenne a tesztnek megfelelő időjárási körülmények mellett a valódi épület kilengése?

//2 m

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /

71 ALKALMAZZUK A HASONLÓSÁGOT!

Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_I__teljes.pdf
Forrás: https://www.tankonyvkatalogus.hu/storage/pdf/OH-MAT10TA_II__teljes.pdf

KIDOLGOZOTT FELADAT

1. a) Az 1 : 3000 méretarányú térképen egy téglalap alakú telek oldalainak hossza 3,2 cm és 3,8 cm.
Mekkora a telek területe?
b) Az 1 : 3 000 000 méretarányú térképen mekkora Magyarország területe?

FELADAT

1. Milyen magas a Gyöngyszálló, ha 8 méter távolságból és 1,6 méter szemmagasságból 70°-os emelkedési szögben láthatjuk a vízszinteshez képest a szálloda tetejét?

a) Szögmérő segítségével készítsd el az ábra kicsinyített képét, a 8 méter helyett vegyél 4 cm-t!
✓ ✗
b) Hány cm-es a rajzodon a szálloda magassága?
✓ ✗
c) Milyen magas lehet a Gyöngyszálló?
✓ ✗
//b) a méretarányos rajzról kell leolvasni. ≈ 11,8 cm c) ≈ 23,6 m

2. (Érettségi feladat nyomán)
Egy A4-es papírlap méretei: 21 cm × 29,7 cm.
A szövegszerkesztő programok általában 2,5 cmes margóval dolgoznak, vagyis a papírlap minden oldalától számítva egy-egy 2,5 cm-es sáv üresen marad (lásd az ábrát).
A lap közepén a szövegnek fennmaradó rész szintén téglalap alakú.
Zsófi szerint az ABCD és az EFGH téglalapok hasonlók.

a) Igaza van-e Zsófinak?
Válaszod indokold!
✓ ✗
b) Tekintsük a következő állítást:
„Ha két négyszög hasonló, akkor megfelelő szögeik páronként egyenlők.”
Add meg az állítás logikai értékét (igaz vagy hamis)!
Írd fel az állítás megfordítását, és add meg a megfordítás logikai értékét is!
Ez utóbbi válaszod indokold!
✓ ✗

//a) nincs igaza. b) Igaz. Az állítás megfordítása: ha két négyszög megfelelő szögei páronként egyenlők, akkor a két négyszög hasonló. Ez hamis.

3. A közúti közlekedésben a veszélyt jelző táblák (és az „Elsőbbségadás kötelező” tábla) alakja „lekerekített” szabályos háromszög.
Tekintsünk most egy ilyen táblát – lekerekítéstől mentesen – egy olyan ABC szabályos háromszögnek, amely oldalának hossza 60 cm, és a festés során kialakított piros szegély szélessége 5 cm.
A festés során fehéren maradt rész az A'B'C' szabályos háromszög.
a) Készítsd el a közlekedési tábla 1:10 méretarányú rajzát!
✓ ✗
b) Igazold, hogy az ABC és A'B'C' háromszögek egymáshoz hasonlóak!
✓ ✗
c) Szerkeszd meg a hasonlósági középpontot, melyre ABC háromszögnek A'B'C' háromszög a képe!
✓ ✗
d) Határozd meg az ABC és A'B'C' háromszögek közötti hasonlóság arányát!
✓ ✗

//a) a rajzon AB = 6 cm; a szegély 0,5 cm b) AB││A’B’ és BC││B’C’ és AC││A’C’ c) felezőmerőleges egyenesek metszéspontja d) 𝐴’𝐵’/𝐴B =0,7

HÁZI FELADAT

1. A 160 cm magas Péter egy fa árnyékának vonalában úgy áll meg a fától 4,5 méterre, hogy az árnyéka még éppen befér a fa árnyékába.
(Ha egy kicsit is előrelépne, akkor árnyéka már kilógna a fa árnyékából.)
Milyen magas a fa, ha tudjuk, hogy az árnyékának vége éppen 1,2 méterre van Pétertől?

//6,65 m

2. a) Milyen méretarányú az a térkép, mely a valóságbeli 4,5 km hosszúságú utat 225 mm hoszszúságú szakasszal jelzi?

b) Mekkora a 900 m2-es telek területe az 1 : 300 méretarányú tervrajzon?

//a) 1:20 000 b) 0,01 m2

3. Biztonsági okokból egy folyó mélységét jelző táblákat helyeznek ki a folyóparttól különböző távolságokban.
A parttól távolodva egy 180 cm mélységet mutató, majd 6 méterrel bentebb egy 720 cm mélységet mutató jelzőtáblát helyeznek el.
A parttól mérve milyen távolságokban helyezték el a táblákat, ha tudjuk, hogy a meder lejtése az adott távolságokon belül nem változik?

//2 m

NÉV:
Azonosító:
Eredmény: /

2024. augusztus 10., szombat

I. Logika

II. Egyenletrendszerek

III. Hatványozás és négyzetgyök

IV. Függvénytranszformációk

V. Másodfokú egyenletek

VI. Egybevágóság, kör

VII. Statisztika és valószínűségszámítás

VIII. Egyenletek és egyenlőtlenségek

IX. Hasonlóság

2024. augusztus 9., péntek

TUDÁSPRÓBA I.

TUDÁSPRÓBA II.

FELADAT

HÁZI FELADAT

CSOPORTMUNKA

I. FELADATSOR

II. FELADATSOR

HÁZI FELADAT

FELADAT

ELMÉLET

FELADAT

ELMÉLET

FELADAT

HÁZI FELADAT

KIDOLGOZOTT FELADAT

Megoldás

ELMÉLET

FELADAT

HÁZI FELADAT

KIDOLGOZOTT FELADAT

Megoldás

FELADAT

HÁZI FELADAT