13. feladatsor

Számtani és mértani közép

EMLÉKEZTETŐ

számtani közép:	Az a és b nemnegatív számok számtani közepén (átlagán) az `(a+b)/2`számot értjük.
mértani közép:	Az a és b nemnegatív számok mértani közepén a `sqrt(a*b)` számot értjük.
azonos egyenlőtlenség:	Olyan egyenlőtlenség, amely a benne szereplő változók minden megengedett értékére fennáll.
számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség:	Az a és b nemnegatív számok között fennáll a `sqrt(a*b) ≤ (a+b)/2` egyenlőtlenség. Az egyenlőség pontosan akkor állhat fenn, ha

FELADATOK

13.1. Számold ki a következő a, b számok számtani és mértani közepét!

a	1	2	3	4	5	6	7	8
b	4	8	12	5	45	6	14	0,18
Sz.k.
M.k.

Max p.	Kapott p.
16 pont

---

13.2. Bizonyítsd be, hogy az alábbi kifejezésekre is igaz a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség!
Az a minden esetben pozitív (a > 0).

A kifejezések:	a) a és 100-a (0 < a < 100)	b) a és 100/a (a > 0)	c) a és 100+a (a>0)	d) 4 és a² (a>0)
Az egyenlőtlenség:	`sqrt(a(100-a))<=(a+(100-a))/2`	`sqrt(a(100)/a)<=(a+(100)/a)/2`	`sqrt(a(100+a))<=(a+(100+a))/a`	`sqrt(4a^2)<=(a^2+4)/2`
A rendezés lépései:	a(100 - a) ≤ 0 ≤ a² -100a +	≤ a+100/a 0 ≤ a² + a + 100	a(100 + a) ≤(a + )² a² + 100a ≤ a² + 100a +	a ≤ a² + 4 0 ≤ a² -4a +
A megoldás:	0 ≤ (a +)²	0 ≤ (a +)²	0 ≤	0 ≤ (a +)²

Max p.	Kapott p.
12 pont

---

13.3. Bontsuk az 50-et két részre úgy, hogy a részek szorzata a lehető legnagyobb legyen!
1. rész: x
2. rész: 50 - x
Szorzat: x(50 - x) ≤

Max p.	Kapott p.
1 pont

---

13.4.A 100 cm kerületű téglalapok közül mekkora a legnagyobb területűnek az oldala és a területe?
100 = 2(a + b)
b = - a
√(a*b) ≤ (a + b)/2 =
a*b ≤

Max p.	Kapott p.
3 pont

---

13.5. Két pozitív szám szorzata 6,25.
Mekkora a két szám, ha az összegük minimális?
1. szám: a1 = x
2. szám: a2 = 6,25/x
√(x*6,25/x) ≤ (a1 + a2)/2
≤ (a1 + a2)/2
a = a1 = a2 =

Max p.	Kapott p.
2 pont

---

13.6. A 36 cm² területű téglalapok közül melyik kerülete a legkisebb?
1. oldal: a1 = x
2. oldal: a2 = 36/x
√(x*36/x) ≤ (a1 + a2)/2
≤ (a1 + a2)/2
a = a1 = a2 = cm
K = cm²

Max p.	Kapott p.
3 pont

---

13. feladatsor

NÉV:
EREDMÉNY:

Ssz:	Max p.	Kap p.	Par.	Bemenet
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Össz