Másodfokú egyenlőtlenségek
EMLÉKEZTETŐ
| másodfokú egyenlőtlenség grafikus megoldása: |
Az egyenlőtlenséget először az ax² + bx + c < | ≤ | > | ≥ 0 alakok egyikére hozzuk. Ezután az ax² + bx + c = 0 egyenletet megoldjuk. Feltételezve, hogy az egyenletnek x1 és x2 két különböző valós gyöke, vagy két egyenlő x1 = x2 gyöke van, az x ↦ ax² + bx + c másodfokú függvény grafikonja „a” értékétől (előjelétől) függően az ábrán látható módon helyezkedik el. Ha nincs valós megoldás, akkor az x ↦ ax² + bx + c függvény grafikonjának nincs közös pontja az x tengellyel. a > 0 esetben az x tengely felett és a < 0 esetben az x tengely alatt van. Például oldjuk meg az (x -3)² ≤ -2x + 30 egyenlőtlenséget. Az egyenlőtlenséget nullára redukáljuk: x² -4x -21 ≤ 0. Az x² -4x -21 = 0 egyenlet gyökei: a1 = -3, x2 = 7. Mivel az x² együtthatója (1) pozitív, azért az y = x² -4x -21 függvény grafikonja, az egyenletű parabola „felfelé” nyílik. A grafikonról leolvasható, ha -3 < x < 7, akkor x² -4x - 21 < 0 és x² -4x -21 = 0, ha x1 = -3, vagy x2 = 7. Az egyenlőtlenség megoldása: x ∈ [-3;7]. |
| másodfokú egyenlőtlenség megoldása tényezőkre bontással: |
Az egyenlőtlenséget nullára redukáljuk. A nem nulla kifejezést szorzattá bontjuk. A számegyenesen bejelöljük, hogy az egyes tényezők mely tartományban pozitívak és mely tartományban negatívak. Azokon a tartományokon, ahol páratlan számú negatív tényező szerepel, ott negatív a kifejezés, ahol páros számú a negatív tényezők száma, ott pozitív a kifejezés. Pl. 2(x -3)(x + 1) ≤ 0. A tényezők negatív (szaggatott) és pozitív (folyamatos) tartományainak jelölése után a páratlan számú negatív tényezővel rendelkező tartomány leolvasható. Mivel a nullával való egyenlőség nincs megengedve, így a határolók nem tartoznak a tartományhoz. A megoldás: x∈]−1;3[. |
FELADATOK
12.1. Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket!
a) x² -5x + 6 < 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
Az együtthatójának előjele:
Megoldás: < x <
b) x² + x - 6 ≥ 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
Az együtthatójának előjele:
Megoldás: x ≤ vagy ≤ x
c) x² + 2x -3 > 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
Az együtthatójának előjele:
Megoldás: x < vagy < x
d) x² + 2x + 8 ≤ 2x² - x -2
Nullára redukálás:
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
Az együtthatójának előjele:
Megoldás: x ≤ vagy ≤ x
e) -(x -1)+2 < x
Nullára redukálás:
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
Az együtthatójának előjele:
Megoldás: x ∈
f) (2x + 1)² ≥ -x.
Nullára redukálás:
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
Az együtthatójának előjele:
Megoldás: x ≤ vagy ≤ x
a) x² -5x + 6 < 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
Az együtthatójának előjele:
Megoldás: < x <
b) x² + x - 6 ≥ 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
Az együtthatójának előjele:
Megoldás: x ≤ vagy ≤ x
c) x² + 2x -3 > 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
Az együtthatójának előjele:
Megoldás: x < vagy < x
d) x² + 2x + 8 ≤ 2x² - x -2
Nullára redukálás:
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
Az együtthatójának előjele:
Megoldás: x ≤ vagy ≤ x
e) -(x -1)+2 < x
Nullára redukálás:
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
Az együtthatójának előjele:
Megoldás: x ∈
f) (2x + 1)² ≥ -x.
Nullára redukálás:
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
Az együtthatójának előjele:
Megoldás: x ≤ vagy ≤ x
| Max p. | Kapott p. |
| 32 pont |
12.2. Szorzattá alakítással oldd meg a következő egyenlőtlenségeket!
a) x² + 2x + 3 > 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
Megoldás: x =
b) x² + 4x + 4 ≤ 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
Megoldás: x =
c) -x² +6x -9 > 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
Megoldás: x =
d) 2x² -4x -10,5 ≤ 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
Megoldás: ≤ x ≤
e) -1,5x² +3,75x +9 > 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
Megoldás: < x <
f) -x² + 2,7x -0,5 < 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
Megoldás: x < vagy < x
a) x² + 2x + 3 > 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
Megoldás: x =
b) x² + 4x + 4 ≤ 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
Megoldás: x =
c) -x² +6x -9 > 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
Megoldás: x =
d) 2x² -4x -10,5 ≤ 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
Megoldás: ≤ x ≤
e) -1,5x² +3,75x +9 > 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
Megoldás: < x <
f) -x² + 2,7x -0,5 < 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
Megoldás: x < vagy < x
| Max p. | Kapott p. |
| 27 pont |
12.3. Szorzattá alakítással oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket!
a) (x − 2)(x² + 2x − 3) ≥ 0;
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
Megoldás:
≤ x ≤
vagy
≤ x
b) (x + 3)(x² -7x + 10) > 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
Megoldás:
< x <
vagy
< x
c) `(x²-1)/(x²-4)>=0`
A számlálóban lévő másodfokú polinom zérushelyei:
x1 =
x2 =
A nevezőben lévő másodfokú polinom zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
/
Megoldás:
x ≤
vagy
≤ x ≤ vagy
≤ x
d)`(x²-2x-3)/(x²+5x+6)<0`
A számlálóban lévő másodfokú polinom zérushelyei:
x1 =
x2 =
A nevezőben lévő másodfokú polinom zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
/
Megoldás:
< x <
vagy
< x <
a) (x − 2)(x² + 2x − 3) ≥ 0;
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
Megoldás:
b) (x + 3)(x² -7x + 10) > 0
A másodfokú kifejezés zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
Megoldás:
c) `(x²-1)/(x²-4)>=0`
A számlálóban lévő másodfokú polinom zérushelyei:
x1 =
x2 =
A nevezőben lévő másodfokú polinom zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
/
Megoldás:
≤ x ≤ vagy
≤ x
d)`(x²-2x-3)/(x²+5x+6)<0`
A számlálóban lévő másodfokú polinom zérushelyei:
x1 =
x2 =
A nevezőben lévő másodfokú polinom zérushelyei:
x1 =
x2 =
A bal oldali kifejezés szorzatalakja:
/
Megoldás:
< x <
| Max p. | Kapott p. |
| 32 pont |
12. feladatsor
NÉV:EREDMÉNY:
| Ssz: | Max p. | Kap p. | Par. | Bemenet |
| 1. | ||||
| 2. | ||||
| 3. | ||||
| Össz |
