2020. augusztus 3., hétfő

7.3. Számonkérés (Szögfüggvények)

Trigonometrikus függvények

1. Elmélet

1. Alapfüggvények:
Alapfüggvény neve: Hozzárendelési szabálya: Képe:
szinusz függvény y = sin x origóból induló hullám (páratlan)
koszinusz függvény y = cos x 1-ből induló hullám (páros)
tangens függvény y = tg x Meredeken emelkedő, szakadásos, ismétlődő (cunamiszerű) függvény
2. Szinuszfüggvény függvénytranszformációi:
  • y = sin x = alapfüggvény ÉK = [-1;1]
  • y = 2sinx = függőlegesen megnyújtott függvény
    • ÉK = [-2;2]
  • y = sin 2x = vízszintesen összenyomott függvény
    • ÉK = [-1;1]
Szinusz függvény grafikonja:

Trigonometrikus egyenletek

A trigonometrikus egyenletek megoldásánál figyelembe kell venni:
  • ha nincs megadva értelmezési tartomány, akkor végtelen sok megoldás van
  • az első megoldást számológéppel számoljuk vissza (sin-1, cos-1, tan-1 segítségével)
  • a második megoldás:
    • sin esetén x2 = 180° - x1,
    • cos esetén x2 = 360°- x1 képlettel határozzuk meg,
    • tg esetén nincs külön x1 és x2
  • A periódus:
    • sin és cos esetén 360°,
    • tg esetén 180°
  • ha a szögeket át kell váltani radiánba: π = 180°

Feladatok

1. 2018.10.9.
Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett x ↦ 3 + sin x függvény értékkészletét!
ÉK = []
 2 pont 

2. 15.10.3.
Adja meg a valós számok halmazán értelmezett f(x) = 1 + sin x függvény értékkészletét!
ÉK = []
 2 pont 

3. 14.10.8.
Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett x↦1 + cos x függvény értékkészletét!
ÉK = []
 2 pont 

4. 12.10.9.
Adja meg az alábbi hozzárendelési szabályokkal megadott, a valós számok halmazán értelmezett függvények értékkészletét!
 f(x) = 2sin x
ÉK = []
 2 pont 
 g(x) = cos 2x
ÉK = []
 2 pont 

5. 11.05.5.
A következő két függvény mindegyikét a valós számok halmazán értelmezzük.
Adja meg mindkét függvény értékkészletét!
 f(x) = 3sin x
ÉK = []
 2 pont 
 g(x) = sin 3x .
ÉK = []
 2 pont 

6. 09.05.4.
Döntse el az alábbi két állítás mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis!
a) Az x↦sin x (x∈R) függvény periódusa 2π .

 1 pont 
b) Az x↦sin(2x) (x∈R) függvény periódusa 2π .

 1 pont 

7. 2019. 06.9.
Adja meg a [0; 2π] zárt intervallumon értelmezett x ↦ sin x függvény zérushelyeit!
(Adatbevitel: felsorolás szóköz nélkül, pontosvesszővel elválasztva. 3π = 3pi)
x =
 2 pont 

8. 2016.06.10.
Adja meg a valós számok halmazán értelmezett x ↦ cos x + 1 függvény zérushelyeit a [-2π;2π] intervallumban!
(Adatbevitel: felsorolás szóköz nélkül, pontosvesszővel elválasztva. 3π = 3pi)
x =
 2 pont 

9. 09.10.12.
Legyen f a valós számok halmazán értelmezett függvény, f(x) = 2sin (x – π/2) .
Mennyi az f függvény helyettesítési értéke, ha x = π/3 ?
Írja le a számolás menetét!
f(π/3) =
 2 pont 

10. 2017.10.11.
Mely x-ekhez rendel a [0; 2π] intervallumon értelmezett x ↦ cosx függvény 1/2-et?
(Adatbevitel: felsorolás szóköz nélkül, pontosvesszővel elválasztva. 3π/5 = 3pi/5)
x =
 2 pont 

11. 12.05.12.
Az alább felsorolt, a valós számok halmazán értelmezett függvényeket közös koordinátarendszerben ábrázoljuk.
A három függvény közül kettőnek a grafikonja megegyezik, a harmadik eltér tőlük.
Melyik függvény grafikonja tér el a másik két függvény grafikonjától?
 A. x ↦ ½ sin(2x)
 B. x ↦ sin x
 C. x ↦ cos (x – π/2)

 2 pont 

12. 09.06.10.
Az f : R → R ; f(x) = sin x függvény grafikonját eltoltuk a derékszögű koordinátarendszerben v = (π/2; -3) vektorral.
Adja meg annak a g(x) függvénynek a hozzárendelési utasítását, amelynek a grafikonját a fenti eltolással előállítottuk!
g(x) =
 2 pont 
 

NÉV:



13. 2016.10.8.
Adja meg a sin x = 1/2 egyenlet π-nél kisebb, pozitív valós megoldásait!
x =
 2 pont 

14. 07.10.9.
Mely valós számokra teljesül a [0; 2π] intervallumon a sin x = 1/2 egyenlőség?
x1 =
 2 pont 
x2 =
 2 pont 

15. 2005.06.9.
Adja meg azoknak a 0° és 360° közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség!
 sinα = √2/2 .
x1 = °
 2 pont 
x2 = °
 2 pont 

16. 14.10.7.
Adja meg a következő egyenlet [0; 2π] intervallumba eső megoldásának pontos értékét!
 sin x = −1
x =
 2 pont 

17. 2010.05.9.
Oldja meg a valós számok halmazán a  sin x = 0 egyenletet, ha − 2π ≤ x ≤ 2π ?
(Adatbevitel: felsorolás szóköz nélkül, pontosvesszővel elválasztva. 3π/5 = 3pi/5)
x =
 2 pont 

18. 2016.05.11.
Oldja meg a sin x = 1 egyenletet a valós számok halmazán!
x = + k·2π (k∈Z)
 2 pont 

19. 2017.05.10.
Oldja meg az alábbi egyenletet a [0; 2π] intervallumon!
 cos x = 0,5
(Adatbevitel: felsorolás szóköz nélkül, pontosvesszővel elválasztva. 3π/5 = 3pi/5)
x =
 2 pont 

20. 13.10.3.
Oldja meg a [–π; π] zárt intervallumon a cos x = 1/2 egyenletet!
(Adatbevitel: felsorolás szóköz nélkül, pontosvesszővel elválasztva. 3π/5 = 3pi/5)
x =
 2 pont 

21. 2005.07.8.
Adja meg azoknak a 0° és 360° közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség!
 cosα = 1/2 .
x1 = °
 2 pont 
x2 = °
 2 pont 

22. 08.06.2.
Hány fokos az a tompaszög, amelynek a tangense –1 ?
x = °
 2 pont 

23. 07.06.7.
Melyek azok a 0° és 360° közé eső szögek, amelyeknek a tangense √3 ?
x1 = °
 2 pont 
x2 = °
 2 pont 


NÉV:



dátum: