A másodfokú egyenletek fajtái:
A. Hiányos másodfokú egyenletek
B. Teljes másodfokú egyenletek
C. Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek
A másodfokú egyenlet általános alakja:
a*x^2 + b*x + c = 0
Összetevők:
a*x^2 = másodfokú tag
a = a másodfokú tag együtthatója (szorzótényezője)
b*x = elsőfokú tag
b = az elsőfokú tag együtthatója
c = konstans tag
Sorrend fontos!
általános alak:
másodfokú tag + elsőfokú tag + konstans tag = 0
Fontos továbbá, hogy jobb oldalon nulla legyen!
(Ha nem nulla van, akkor nullára kell redukálni)
pl.
x^2 -3*x = 7
x^2 -3*x - 7 = 0
Mikor beszélhetünk hiányos másodfokú egyenletről?
Ha az a = 0, akkor az egyenlet elsőfokú.
Ha a b = 0, vagy a c = 0, akkor hiányos másodfokú egyenletről beszélünk.
1. eset:
Ha a b = 0, akkor a c értéke határozza meg, hogy lesz-e megoldás.
pl.
x^2 -25 = 0 esetén
x^2 = 25 |±√
x1 = -5
x2 = 5
Vagyis ha a c értéke negatív, akkor az egyenletnek két különböző valós gyöke lesz. Ezek csak előjelükben térnek el egymástól.
(Ez gyakori érettségi feladat.)
x^2 +25 = 0 esetén
x^2 = -25
Mivel bármely szám négyzete csak nemnegatív lehet, ezért itt nincs valós megoldás.
Vagyis, ha a c értéke pozitív, akkor az egyenletnek nincs valós gyöke.
2. eset:
Ha a c = 0, akkor mindig lesz két valós megoldás, ezeket szorzattá alakítással (x kiemelésével) kaphatjuk meg.
pl.
x^2 -5*x = 0
x*(x-5) = 0 (Egy szorzat értéke akkor és csakis akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla)
x1 = 0
x -5 = 0
x2 = 5
Vagyis ebben az esetben az egyik valós gyök biztosan nulla lesz.
