1.6. Számonkérés (kombinatorika)

Kombinatorika:

Elmélet:

A kombinatorika n db különböző elemmmel végzett lehetséges művelet számosságának meghatározásaát jelenti:

1. Permutáció:
A. Ismétlés nélküli permutáció (ismétlés keverés):
Pl. 5 db különböző elem összes lehetséges sorrendjének a száma:
P_n = 5! (öt faktoriális)
P₅ = 1*2* ... *4*5 = 120 (első 5 pozitív egész szám szozata)

B. Ismétléses permutáció (ismetlődő elemek keverése):
Pl. 1,1,2,2,2 elemek összes lehetséges sorrendjének a száma:
`P_(2,3)^5 = (5!)/(2!*3!) = 10`

C. Ciklikus permutáció (kerek asztalos keverés):
Pl. 4 ember elhelyezése egy kerek asztal mellett:
P_4,c = (4 - 1)! = 3! = 1*2*3 = 6

2. Kombináció:
Pl. 5 különböző elemből kiválasztunk 2-t úgy, hogy a sorrend nem számít.
(és minden elemet csak egyszer választhatunk ki.)
`C_2^5 = ([5],[2]) = (5!)/(2!*(5-2)!) = (5*4)/(2*1) = 10`
`([5],[2]) =` öt alatt a kettő.

3. Variáció:
Pl. 5 különböző elemből kiválasztunk 2-t úgy, hogy a sorrend számít.
A. Ismétlés nélküli eset:
`V_2^5 = (5!)/((5-3)!) = 5*4 = 20`
B. Ismétléses eset:
`V_(2,i)^5 = 5^2 = 25`

Teszt 1.

számos:
(háromjegyű)
1. (07.10.8.)

Hány olyan háromjegyű szám képezhető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből, amelyikben csupa különböző számjegyek szerepelnek?

 2 pont 

2. (2006.02.4.)

Hány különböző háromjegyű pozitív szám képezhető a 0, 6, 7 számjegyek felhasználásával?

 2 pont 

3. (2006.10.6.)

Háromjegyű számokat írtunk fel a 0; 5 és 7 számjegyekkel.
Írja fel ezek közül azokat, amelyek öttel oszthatók, és különböző számjegyekből állnak!
(Felírás növekvő sorrendben történjen, szóköz nélkül, pontosvesszővel elválasztva!)

 2 pont 

4. (2016.05.4.)

Hány olyan háromjegyű pozitív egész szám van, amelynek minden számjegye különböző?

 2 pont 

5. (11.05.2.)

A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű számot.
Ezek közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet.
Mennyi annak a valószínűsége, hogy az így kiválasztott szám páratlan?
Válaszát indokolja!

k =

 1 pont 

n =

 1 pont 

p = %

 1 pont 

(négyjegyű)
6. (2016.06.4.)

Hány olyan 3-mal osztható négyjegyű szám van, amely 5-re végződik és a számjegyei között a 3; 4; 6 számjegyek mindegyike előfordul?
Válaszát indokolja!

 2 pont 

7. (2016.10.4.)

Hány olyan négyjegyű pozitív egész szám van a tízes számrendszerben, amelynek négy különböző páratlan számjegye van?

 2 pont 

8. (09.06.6.)

Kata kódja az iskolai számítógépteremben egy négyjegyű szám.
Elfelejtette a kódot, de arra biztosan emlékszik, hogy a kódja a 2; 2; 4; 4 számjegyekből áll.
Mely számokkal próbálkozzon, hogy biztosan beléphessen a hálózatba?

 2 pont 

(ötjegyű)
9. (13.06.8.)

Hány ötjegyű pozitív szám van a kettes számrendszerben?

 2 pont 

betűs, emberes:
10. (09.05.5.)

A 9.B osztály létszáma 32 fő.
Közülük először egy osztálytitkárt, majd egy titkárhelyettest választanak.
Hányféleképpen alakulhat a választás kimenetele?

 2 pont 

11. (04.2.)

Anna, Bori és Cili moziba mennek. Hányféle sorrendben ülhetnek le egymás mellé?
Írja le a megoldás menetét!

 2 pont 

12. (2014.06.4.)

Egy dolgozatra a tanulók a nevük helyett az A, B és C betűkből alkotott hárombetűs kódokat írták fel AAA-tól CCC-ig.
Minden lehetséges kódot kiosztottak és nem volt két azonos kódú tanuló.
Hány tanuló írta meg a dolgozatot?

 2 pont 

NÉV:

---

Teszt 2.

13. (2005.10.11.)

Egy iskolának mind az öt érettségiző osztálya 1-1 táncot mutat be a szalagavató bálon.
Az A osztály palotást táncol, ezzel indul a műsor.
A többi tánc sorrendjét sorsolással döntik el.
Hányféle sorrend alakulhat ki?
Válaszát indokolja!

 2 pont 

14. (2005.05.11.)

A szóbeli érettségi vizsgán az osztály 22 tanulója közül az első csoportba öten kerülnek.
a) Hányféleképpen lehet a 22 tanulóból véletlenszerűen kiválasztani az első csoportba tartozókat?
Először mindenki történelemből felel.

 2 pont 

b) Hányféle sorrendben felelhet történelemből az 5 kiválasztott diák?

 2 pont 

15. (13.05.10.)

Egy futóverseny döntőjébe hat versenyző jutott, jelöljük őket A, B, C, D, E és F betűvel.
A cél előtt pár méterrel már látható, hogy C biztosan utolsó lesz, továbbá az is biztos, hogy B és D osztozik majd az első két helyen.
Hányféleképpen alakulhat a hat versenyző sorrendje a célban, ha nincs holtverseny?
Válaszát indokolja!

 2 pont 

nem számos, nem betűs:
16. (2006.10.12.)

A piacon az egyik zöldségespultnál hétféle gyümölcs kapható.
Kati ezekből háromfélét vesz, mindegyikből 1-1 kilót.
Hányféle összeállításban választhat Kati?
(A választ egyetlen számmal adja meg!)

 2 pont 

17. (2016.06.10.)

Négy különböző gyümölcsfából egyet-egyet ültetek sorban egymás mellé: almát, körtét, barackot és szilvát.
Tudom, hogy barackfa nem kerülhet a sor szélére.
Hányféleképpen helyezhetem el a fákat?

 2 pont 

18. (2019.05.6.)

Négy gombóc fagylaltot vásárolunk tölcsérbe: egy csokoládét, egy vaníliát, egy puncsot és egy eperízűt.
Hányféle olyan sorrendje lehetséges ennek a négy gombócnak, amelynél nem a csokoládé a legalsó?

 2 pont 

19. (12.05.4.)

Döntse el, melyik állítás igaz, melyik hamis!
A) Hét tanulóból négyet ugyanannyiféleképpen lehet kiválasztani, mint hármat, ha a kiválasztás sorrendjétől mindkét esetben eltekintünk.

Igaz Hamis

 1 pont 

20. (12.06.5.)

Hat ajánlott olvasmányból hányféleképpen lehet pontosan négyet kiválasztani?

 2 pont 

21. (2010.05.5.)

Annának kedden 5 órája van, mégpedig matematika (M), német (N), testnevelés (T), angol (A) és biológia (B).
Tudjuk, hogy a matematikaórát testnevelés követi, és az utolsó óra német.
Írja le Anna keddi órarendjének összes lehetőségét!
(abc szerinti növekvő sorrendben, szóközök nélkül, pontosvesszővel elválasztva)

 3 pont 

NÉV: