Forrás:
sdt
1. Hogyan értelmeztük eddig a szögfüggvényeket?
Felvettünk egy derékszögű háromszöget, elbetűztük és az oldalak arányára bevezettük asin a
cos a
tg a
ctg a jelöléseket.
2. Mi a baj ezzel a módszerrel?
Egy derékszögű háromszögben az alfa szög csak hegyesszög, azaz csak 90°-nál kisebb szög lehet.Számológéppel viszont tetszőleges nagyságú szögnek ki tudjuk számolni a szinuszát, koszinuszát, tangensét. Vagyis tapasztalatból tudjuk, hogy létezik-e a 90°-nál nagyobb szögeknek is szögfüggvénye.
3. A derékszögű háromszögnek mi az általánosítása?
A derékszögű háromszög helyett derékszögű koordináta rendszerből kell kiindulnunk.4. Hogyan tovább? Milyen egyéb alapfogalmakra lesz szükségünk?
Vegyünk fel tehát kiindulásként egy derékszögű koordináta rendszert.
Jelöljük az origót O-val.
Válasszuk az egységet jó nagynak.
Rajzoljunk egy origó középpontú egység sugarú kört (k).
Válasszunk ki egy tetszőleges pontot a k-n, jelöljük P-vel.
Kössük össze az O-t P-vel, majd lássuk el nyíllal, így kapjuk az OP vektort.
Az OP vektor egységvektor, mert a hossza egységnyi, jelöljük e-vel.
A x tengely pozitív fele egy félegyenes, amely az e vektorral egy nulla és 360° közötti szöget zár be, jelöljük ezt alfával.
Az alfát irányszögnek nevezzük, mert meghatározza az e irányát.
5. Mi történik a vektorral, ha az irányszögét növeljük?
Ha az alfát növeljük, akkor az e vektor elkezd forogni az O körül.
Ezért ezt az e vektort forgóvektornak is nevezzük.
Az e csúcspontja a forgás során kirajzolja a kört.
Ha egyszer körbeértünk, akkor a folyamat kezdődik elölről.
Ha az irányszög meghaladja a 360°-ot, akkor forgásszögről beszélünk.
Természetesen 360°-os maradékos osztás segítségével minden forgásszög megfeleltethető egy 0 és 360°közötti szögértéknek.
pl. 1000° = 2*360° + 280°
6. Mit nevezünk koordinátáknak?
Egy irányvektornak az x tengelyre eső merőleges vetületét első koordinátának (e1),
az y tengelyre eső merőleges vetületét második koordinátának (e2) nevezzük.
A vetítéshez használt segédvonalak segéd derékszögű háromszöget határoznak meg.
Ezekre a derékszögű háromszögekre vonatkozóan már hagyományosan értelmezhetünk szögfüggvényeket.
7. Mit tapasztalunk?
(Mivel hosszakról beszélünk a vektorjelölő aláhúzás elmarad)
sin a = e2/e
e = 1
sin a = e2
cos a = e1/e
e = 1
cos a = e1.
Az alfa irányszögű e egységvektor első koordinátáját koszinusz alfának,
a második koordinátáját szinusz alfának nevezzük.
8. És mi a helyzet a tangenssel kotangenssel?
Értelmezzük őket a sin a és a cos a hányadosaként:tg a = sin a/cos a
ctg a = cos a/tg a
Szemléletesen: (Vízszintes és függőleges érintő segédegyenesek segítségével)
9. Egyéb észrevételek?
A koordináta rendszert a két tengely 4 síknegyedre bontja fel.Ezeket az óra járásával ellentétesen betűzzük: I.,II.,III.,IV. síknegyed.
I-ben: cos pozitív, sin pozitív.
II-ban: cos negatív, sin pozitív.
III-ban: cos negatív, sin negatív.
IV-ben: cos pozitív, sin negatív.
Ahol az előjel megegyezik, ott a szögfüggvényértékek is megegyezhetnek.
I. és IV-ben, vagy II. és III-ban: cos lehet egyenlő
I. és II-ban, vagy III. és IV-ben: sin lehet egyenlő.
Ha az e vektor nem az I. síknegyedbe esik, akkor a segéd derékszögű háromszögekben segédszögek szerepelnek. (Ezeket vesszővel jelöljük)
II. a' = 180°-a
III. a' = 180°+a
IV. a' = 360°-a
Ezekre a segédszögekre átváltva már derékszögű háromszögekkel dolgozhatunk. Ez a módszer azonban elég macerás, ezért nemigen használjuk.
Feladatok:
17.13.06.6.
Adott az e egységvektor: e(cos750°; sin750°).
Mekkora az a legkisebb szög, amivel az i(1;0)vektort pozitív irányba elforgatva megkapjuk e vektort?
18.
08.10.11.
Jelölje X-szel a táblázatban, hogy az alábbi koordináta-párok közül melyikek adják meg a 300°-os irányszögű egységvektor koordinátáit és melyikek nem!
e(1/2;√3/2) igen nem
e(-√3/2;1/2) igen nem
e(1/2;-√3/2) igen nem
e(sin30°;-cos30°) igen nem
