2020. augusztus 3., hétfő

6.6. Számonkérés (Trigonometria)

Elmélet (Trigonometria)

1.Szögmérési módok

A számológép háromféle módot ismer:
  • DEG, D = fok
  • RAD, R = radián
  • GRAD, G = gradián
Győződjünk meg, hogy a számológépünk DEG, D üzemmódban van, szükség esetén ezt visszaállíthatjuk a DRG, vagy a MODE segítségével

2. Derékszögű háromszög

Jelölések:

Szögek közötti összefüggések (α és ß pótszögek):
  α + ß = 90°
Oldalak közötti összefüggések (Püthagorasz-tétel):
  a² + b² = c²
Szögek és oldalak közötti összefüggések:
szinusz α = α szöggel szemközti befogó / átfogó
  sin α = a/c
koszinusz α = α szög melletti befogó / átfogó
  cos α = b/c
tangens α = α szöggel szembeni befogó / α szög melletti befogó
  tg α = a/b
Szögfüggvényérték meghatározása:
Az új számológépeknél először a sin, cos, tan gombokat kell megnyomni, ekkor a gép kijelzi, hogy sin, cos, tan, majd a szögértéket és az egyenlőségjelet.
A régi gépeknél a sorrend fordított: először a szöget, majd a műveletet kell beírni.

Visszakeresés:
sin-1, cos-1, tan-1 segítségével történik
shift, 2ndf gombokat meg kell nyomni

3.Nevezetes szögek szögfüggvényértékei:

0° 30° 45° 60° 90°
sin 0 ½ = 0,5 √2/2 = 0,7071 √3/2 = 0,866 1
cos 1 √3/2 = 0,866 √2/2 = 0,7071 ½ = 0,5 0
tg 1 √3/3 = 0,5774 1 √3 = 1,7321 -

4. Általános háromszög

Koszinusz-tétel:
Akkor alkalmazzuk, ha
  • adott három oldal és a szögeket keressük;
  • adott két oldal és a közbezárt szög és a harmadik oldalt keressük.
Három alakja van (a Püthagorasz-tétel továbbfejlesztett változata):
  a² = b² + c² – 2bc∙cosα
  b² = a² + c² – 2ac∙cosβ
  c² = a² + b² – 2ab∙cosγ
Számolásnál célszerű zárójelezni:
  a² = (b² + c²) – 2bc∙cosα
  b² = (a² + c²) – 2ac∙cosβ
  c² = (a² + b²) – 2ab∙cosγ

Szinusz-tétel:
Akkor alkalmazzuk, ha
  • adott egy oldal és a rajta fekvő két szög és a másik két oldalt keressük;
  • adott egy két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög és a másik szöget keressük.
Három alakja van:
  a/b = sin α/sin β
  a/c = sin α/sin γ
  b/c = sin β/sin γ

A szinusztétel alkalmazásánál hiba is történhet, ezért mindig ellenőrizzük, hogy a szögek összege 180°-e. Ha nem akkor a visszakeresésnél a szögre azt feltételeztük, hogy 90°-nál kisebb.
Ilyenkor 180°-α helyettesítés segít.

Forgásszögek szögfüggvényértékei:

Koszinusz alfa = az alfa irányszögű e egységvektor első koordinátája;
Szinusz alfa = az alfa irányszögű e egységvektor második koordinátája.
Tehát e = (cos α; sin α).
Átszámolása [0°, 360] közötti értékre: α’ = α - k∙360° k = egész szám

Feladatok


szögmérési módok:
1. 12.05.6.
Határozza meg a radiánban megadott α = π / 4 szög nagyságát fokban!
α = °
 2 pont 


derékszögű háromszög:
  (igaz-hamis)
2. 2010.05.10.
Döntse el az alábbi négy állításról, hogy melyik igaz, illetve hamis!
A: Van olyan derékszögű háromszög, amelyben az egyik hegyesszög szinusza 1/2.
 1 pont 
B: Ha egy háromszög egyik hegyesszögének szinusza 1/2, akkor a háromszög derékszögű.
 1 pont 
C: A derékszögű háromszögnek van olyan szöge, amelynek nincs tangense.
 1 pont 
D: A derékszögű háromszögek bármelyik szögének értelmezzük a koszinuszát.
 1 pont 


  (szögszámítás)
3. 2019.05.9.
Egy középület akadálymentesítésekor a bejárathoz egyenletesen emelkedő rámpát építenek, hogy kerekesszékkel és babakocsival is be lehessen jutni az épületbe.
A rámpa hossza 3 méter, és a járda szintjétől 60 centiméter magasra visz.
Hány fokos a rámpa emelkedési szöge?
Megoldását részletezze!
sin α =
 2 pont 
(Megoldás egy tizedes pontosságra!)
α = °
 2 pont 

4. 08.10.5.
Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, az átfogója 13 cm hosszú.
Mekkorák a háromszög hegyesszögei?
(Válaszát egész fokra kerekítve adja meg!)
α = °
 2 pont 
β = °
 2 pont 

5. 2005.07.4.
Számítsa ki az α szög nagyságát az alábbi derékszögű háromszögben!

sin α =
 2 pont 
(Megoldás egy tizedes pontosságra!)
α = °
 2 pont 

6. 2010.05.6.
Egy egyenlő szárú háromszög alapja 5 cm, a szára 6 cm hosszú.
Hány fokosak a háromszög alapon fekvő szögei?
A szögek nagyságát egész fokra kerekítve adja meg! Válaszát indokolja!
cos α =
 2 pont 
(Megoldás egy tizedes pontosságra!)
α = °
 2 pont 

7. 2010.10.7.
Tekintsük azt a derékszögű háromszöget, amelyben az átfogó hossza 1, az α hegyesszög melletti befogó hossza pedig sin α.
Mekkora az α szög?
Válaszát indokolja!
tg α = sin α/cos α =
 2 pont 
α = °
 2 pont 


  (átfogó számítás)
8. 13.05.5.
A vízszintessel 6,5°-ot bezáró egyenes út végpontja 124 méterrel magasabban van, mint a kiindulópontja. Hány méter hosszú az út?
Válaszát indokolja!
(Jelöljük a keresett távolságot x-szel!)
sin 6,5° =
 2 pont 
x = m
 2 pont 


  (befogószámítás)
9. 2005.05.7.
Egy derékszögű háromszög egyik befogójának hossza 3 cm, a vele szemközti szög 18,5°.
Mekkora a másik befogó?
Készítsen vázlatot, és válaszát számítással indokolja!
(Jelöljük a keresett távolságot x-szel!)
tg 18,5° =
 2 pont 
x = cm
 2 pont 

10. 2005.10.3.
Egy derékszögű háromszög átfogója 4,7 cm hosszú, az egyik hegyesszöge 52,5°.
Hány cm hosszú a szög melletti befogó? Készítsen vázlatot az adatok feltüntetésével!
Válaszát számítással indokolja, és egy tizedes jegyre kerekítve adja meg!
(Jelöljük a keresett távolságot x-szel!)
cos 52,5° =
 2 pont 
x = cm
 2 pont 

11. 2016.06.2.
Egy derékszögű háromszög átfogója 3 cm, egyik szöge 42°.
Hány cm hosszú a 42°-os szöggel szemközti befogó?
A választ két tizedesjegyre kerekítve adja meg!
(Jelöljük a keresett távolságot x-szel!)
sin 42° =
 2 pont 
α = cm
 2 pont 

12. 09.10.5.
Egy torony árnyéka a vízszintes talajon kétszer olyan hosszú, mint a torony magassága.
Hány fokos szöget zár be ekkor a Nap sugara a vízszintes talajjal?
A keresett szöget fokban, egészre kerekítve adja meg!
tg α =
 2 pont 
α = °
 2 pont 

13. 2010.06.12.
Egy húrtrapéz (egyenlő szárú trapéz) egyik alapjának hossza 7 cm, ezen az alapon fekvő szögei 60°-osak. A trapéz szárai 4 cm-esek.
Számítsa ki a másik alap hosszát!
Számítását részletezze!
c = cm
 2 pont 


általános háromszög:
  (koszinusz-tétel)
14. 2017.05.6.
Egy háromszög 3 cm és 5 cm hosszú oldalai 60°-os szöget zárnak be egymással.
Hány centiméter hosszú a háromszög harmadik oldala?
Megoldását részletezze!
c = √ cm
 2 pont 

15. 2014.06.12.
Az ABCD rombusz egy oldala 6 cm hosszú, a BCD szög 120°.
Mekkora a rombusz AC átlója?
Válaszát indokolja!
e = cm
 2 pont 


  (szinusz-tétel)
16. 07.05.8.
Az ábrán látható háromszögben hány cm hosszú az 56°-os szöggel szemközti oldal?
(Az eredményt egy tizedes jegy pontossággal adja meg!)
Írja le a számítás menetét!

x = cm
 2 pont 


forgásszögek szögfüggvényértékei:
17. 13.06.6.
Adott az e egységvektor: e(cos750°; sin750°).
Mekkora az a legkisebb szög, amivel az i(1;0)vektort pozitív irányba elforgatva megkapjuk e vektort?
α = °
 2 pont 

18. 08.10.11.
Jelölje X-szel a táblázatban, hogy az alábbi koordináta-párok közül melyikek adják meg a 300°-os irányszögű egységvektor koordinátáit és melyikek nem!
A: e (1/2 ; √3/2)
 1 pont 
B: e (-√3/2 ; 1/2)
 1 pont 
C: e (1/2 ; -√3/2)
 1 pont 
D: e (sin 30° ; - cos 30°)
 1 pont 



NÉV:



dátum: