A négyzetre emelés.
Ha egy gyökös kifejezés mellett más kifejezés van, akkor rendezzünk át, hogy az egyik oldalon csak gyökös kifejezés szerepeljen!
Négyzetre emelés során ne felejtsük el mindkét oldalt négyzetre emelni!
Tegyünk kikötéseket!
Ellenőrizzünk, mert a négyzetre emelés miatt hamis gyökök is felléphetnek.
1. A gyökös egyenletek fajtái:
1. Ha a bal oldalon a gyök alatt egy elsőfokú kifejezés szerepel, a jobb oldalon egy szám.
pl.
`sqrt(x+4) = 3`
K1: x+4>=0
`sqrt(x+4) = 3` |()^2 = a négyzetre emelés jelölése
x+4 =3^2 = 9 |-4
x=5
Ellenőrzés:
`sqrt(5+4) = 3` 3=3
2. Ha mindkét oldalon a gyök alatt egy elsőfokú kifejezés szerepel.
pl.
`sqrt(4*x-5)=sqrt(x+1)`
K1: 4*x-5>=0
K2:x+1>=0
`sqrt(4*x-5)=sqrt(x+1) |()^2`
4*x-5=x+1 |-x
3*x-5=1 |+5
3*x=6 |:3
x=2
Ellenőrzés:
`sqrt(4*2-5)=sqrt(3)`
`sqrt(2+1)=sqrt(3)`
3. Ha a bal oldalon a gyök alatt egy elsőfokú kifejezés szerepel, a jobb oldalon gyök nélkül egy másik elsőfokú kifejezés található.
pl.
`sqrt(x+6)=x`
K1:x+6>=0
K2:x>=0
`sqrt(x+6)=x |()^2`
x+6=x^2|-x-6
x^2-x-6=0
a=1
b=-1 -b=1 b^2=1
c=-6
`x_(1,2)= (1+-sqrt(1+4*1*6))/(2*1) = (1+-sqrt(25))/2 = (1+-5)/2`
x_1 =(1-5)/2=-4/2=-2 nem lehet
x_2=(1+5)/2=6/2=3
Ellenőrzés:
`sqrt(3+6)=3` 3=3
4. Ha a bal oldalon a gyök alatt egy másodfokú kifejezés szerepel, a jobb oldalon gyök nélkül egy elsőfokú kifejezés található.
pl.
`sqrt(x^2+2*x+9)=2*x+3`
K1: x^2+2*x+9>=0
K2: 2*x+3>=0
`sqrt(x^2+2*x+9)=2*x+3 |()^2`
x^2+2*x+9=(2*x+3)^2=(2*x+3)*(2*x+3)=4*x^2+6*x+6*x+9=4*x^2+12*x+9|-x^2
2*x+9=3*x^2+12*x+9|-2*x
9=3*x^2+10*x+9|-9
3*x^2+10*x=0
x_1=0
Ell: `sqrt(9)=3`
3*x+10=0
x_2=-10/3 nem megoldás, mert
Ell: `sqrt(100/9-20/3+9)=sqrt(100/9-60/9+81/9)=sqrt(111/9)
-20/3+3=-20/3+9/3= -11/3
5. Gyökös egyenlőtlenség:
pl.
`sqrt(3*x+1)>=2`
K1:3*x+1>=0
`sqrt(3*x+1)=2 |()^2`
3*x+1=4|-1
3*x=3|:3
x=1
x>=1, mert a gyökfüggvény szigorúan monoton nő
