A másodfokú egyenlet azért klassz dolog, mert van egy képletünk, amibe csak be kell helyettesítenünk. (Ezt én favágásnak hívom)
Ha a másodfokú egyenlet
a*x^2 + b*x + c = 0 alakú,
akkor az egyenlet megoldásait (gyökeit) a következő képlet (megoldóképlet) szolgáltatja:
`x_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)`
Versszerűen:
iksz-egy-kettő egyenlő mínusz-bé plusz-mínusz gyök-alatt bé-négyzet mínusz-négy-á-cé per két-á
(Gyakori használat miatt alaposan megtanulandó)
Magyarázat:
A képlet mind a két megoldást tartalmazza összevont alakban, tehát ez a képlet valójában két képlet:
`x_1=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)`
`x_2=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)`
`x_1,2` tehát azt jelenti, hogy első és második megoldás.
±= szétágaztatás esetén lesz egy pluszos ág és egy mínuszos ág.
Kiegészítés:
Esztétikailag fontos, hogy a felírást a törtvonallal kezdjük, hogy az középre kerüljön, továbbá
a gyökvonal hossza megfelelő legyen, valamint
hagyjunk ki helyet a gyökjel fölött a segédszámolásnak.
Nevezetes mennyiség:
A gyök alatti számot diszkriminánsnak nevezzük és D-vel jelöljük.
A D értéke határozza meg a megoldások számát.
Ha D > 0 (pozitív), akkor két valós gyök van.
Ha D = 0, akkor a két valós gyök egybeesik, vagyis valójában csak egy valós gyök van.
Ha D < 0, akkor nincs valós gyök.
Teljes másodfokú egyenlet megoldásának lépései.
1. Az általános alak kialakítása.
2. A paraméterek meghatározása (Mi az a? Mi a b? Mi a c?)
Ha a, vagy b paraméter hiányzik, akkor az értéke 1.
Célszerű kiszámolni a -b és a b^2 értékét, hogy meggyorsítsuk a képletbe való behelyettesítést.
A paraméterek kigyűjtését és a mellékszámításokat nem kötelező leírni.
3. Képlet felírása
4. Behelyettesítés a képletbe
5. A D értékének meghatározása
6. Elágaztatás
Célszerű a mínuszost x_1-nek a pluszost x_2nek választani, hogy a nagyság szerinti sorrend stimmeljen.
7. Az x_1 és az x_2 értékének meghatározása
pl.
x^2 + 6 = 5*x |-5*x (nullára redukálás)
x^2 - 5*x + 6 = 0 | tagok sorrendje fontos!
1*x^2 -5*x +6 = 0
a = 1
b = -5 -b = -(-5) = 5 b^2 = (-5)*(-5) = 25
c = 6
`x_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)`
`x_(1,2)=(5+-sqrt(25-4*1*6))/(2*1)=(5+-sqrt(25-24))/2 =(5+-sqrt(1))/2 =(5+-1)/2 =`
`x_1 = (5-1)/2 = 4/2 = 2`
`x_1 = (5+1)/2 = 6/2 = 3`
Hogyan tudtuk volna megsejteni a gyököket? Illetve, hogyan tudjuk ellenőrizni a gyököket?
Viete (Viét) francia matematikus volt az, aki felfedezte a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket.
Ezeket a képleteket Viete-formuláknak nevezzük:
1. x_1*x_2 = c/a
A két gyök szorzata egyenlő a cének és az ának a hányadosával.
Esetünkben:
x_1*x2=2*3=6
c/a = 6/1 = 6
2. x_1 + x_2 = -b/a
A két gyök összege egyenlő a minusz bének és az ának a hányadosával.
Esetünkben:
x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5
-b/a = -(-5)/1 = 5
Gyakori, hogy megsejtjük, hogy a megoldandó másodfokú egyenletnek a megoldására azt várjuk, hogy egész megoldásai lesznek.
Ilyenkor az első dolog, hogy ellenőrizzük a c/a értékét: 6/1 = 6.
A Viete-formulák szerint ez egy szorzat, ami lehet 1 és 6, vagy 2 és 3.
Adjuk össze a tippünket és ez -b/a-val kell megegyezzen: 1+6 =7 ≠ 5. 2+3 =5 5=5, tehát a két gyök a 2 és a 3.
Hogyan lehetne a másodfokú egyenletet felírni szorzat alakban?
Ezt a képletet gyöktényezős alaknak nevezik:
Ha a másodfokú egyenlet gyökei: x1, x2,
akkor a másodfokú egyenlet felírható a*(x-x_1)*(x-x_2)=0 alakban is.
Ellenőrizzük konkrét esetben:
Az x^2 -5*x + 6 = 0 egyenlet gyökei:
x_1 = 2,
x_2 = 3.
Behelyettesítve a képletbe:
1*(x-2)*(x-3) = 0
Mivel egy szorzat értéke akkor és csakis akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, ezért
vagy x-2 = 0, vagyis x_1 = 2,
vagy x-3 = 0, vagyis x_2 = 3.
A szorzat alak tehát azért jó dolog, mert a gyököket láthatóvá teszi. Az általános alakban a paraméterek rejtett módon a Viete-formuláknak megfelelően tartalmazzák a gyököket.
