7.3. Számonkérés (Szögfüggvények)

Trigonometrikus függvények

1. Elmélet

1. Alapfüggvények:

Alapfüggvény neve:	Hozzárendelési szabálya:	Képe:
szinusz függvény	y = sin x	origóból induló hullám (páratlan)
koszinusz függvény	y = cos x	1-ből induló hullám (páros)
tangens függvény	y = tg x	Meredeken emelkedő, szakadásos, ismétlődő (cunamiszerű) függvény

2. Szinuszfüggvény függvénytranszformációi:

• y = sin x = alapfüggvény ÉK = [-1;1]
• y = 2sinx = függőlegesen megnyújtott függvény
• ÉK = [-2;2]
• y = sin 2x = vízszintesen összenyomott függvény
• ÉK = [-1;1]

Szinusz függvény grafikonja:

Trigonometrikus egyenletek

A trigonometrikus egyenletek megoldásánál figyelembe kell venni:

• ha nincs megadva értelmezési tartomány, akkor végtelen sok megoldás van
• az első megoldást számológéppel számoljuk vissza (sin-1, cos-1, tan-1 segítségével)
• a második megoldás:
• sin esetén x2 = 180° - x1,
• cos esetén x2 = 360°- x1 képlettel határozzuk meg,
• tg esetén nincs külön x1 és x2
• A periódus:
• sin és cos esetén 360°,
• tg esetén 180°
• ha a szögeket át kell váltani radiánba: π = 180°

---

Feladatok

1. 2018.10.9.

Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett x ↦ 3 + sin x függvény értékkészletét!

ÉK = []

 2 pont 

2. 15.10.3.

Adja meg a valós számok halmazán értelmezett f(x) = 1 + sin x függvény értékkészletét!

ÉK = []

 2 pont 

3. 14.10.8.

Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett x↦1 + cos x függvény értékkészletét!

ÉK = []

 2 pont 

4. 12.10.9.

Adja meg az alábbi hozzárendelési szabályokkal megadott, a valós számok halmazán értelmezett függvények értékkészletét!

 f(x) = 2sin x
ÉK = []

 2 pont 

 g(x) = cos 2x
ÉK = []

 2 pont 

5. 11.05.5.

A következő két függvény mindegyikét a valós számok halmazán értelmezzük.
Adja meg mindkét függvény értékkészletét!

 f(x) = 3sin x
ÉK = []

 2 pont 

 g(x) = sin 3x .
ÉK = []

 2 pont 

6. 09.05.4.

Döntse el az alábbi két állítás mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis!

a) Az x↦sin x (x∈R) függvény periódusa 2π .
Igaz Hamis

 1 pont 

b) Az x↦sin(2x) (x∈R) függvény periódusa 2π .
Igaz Hamis

 1 pont 

7. 2019. 06.9.

Adja meg a [0; 2π] zárt intervallumon értelmezett x ↦ sin x függvény zérushelyeit!

(Adatbevitel: felsorolás szóköz nélkül, pontosvesszővel elválasztva. 3π = 3pi)
x =

 2 pont 

8. 2016.06.10.

Adja meg a valós számok halmazán értelmezett x ↦ cos x + 1 függvény zérushelyeit a [-2π;2π] intervallumban!

(Adatbevitel: felsorolás szóköz nélkül, pontosvesszővel elválasztva. 3π = 3pi)
x =

 2 pont 

9. 09.10.12.

Legyen f a valós számok halmazán értelmezett függvény, f(x) = 2sin (x – π/2) .
Mennyi az f függvény helyettesítési értéke, ha x = π/3 ?
Írja le a számolás menetét!

f(π/3) =

 2 pont 

10. 2017.10.11.

Mely x-ekhez rendel a [0; 2π] intervallumon értelmezett x ↦ cosx függvény 1/2-et?

(Adatbevitel: felsorolás szóköz nélkül, pontosvesszővel elválasztva. 3π/5 = 3pi/5)
x =

 2 pont 

11. 12.05.12.

Az alább felsorolt, a valós számok halmazán értelmezett függvényeket közös koordinátarendszerben ábrázoljuk.
A három függvény közül kettőnek a grafikonja megegyezik, a harmadik eltér tőlük.
Melyik függvény grafikonja tér el a másik két függvény grafikonjától?
 A. x ↦ ½ sin(2x)
 B. x ↦ sin x
 C. x ↦ cos (x – π/2)

A. B. C.

 2 pont 

12. 09.06.10.

Az f : R → R ; f(x) = sin x függvény grafikonját eltoltuk a derékszögű koordinátarendszerben v = (π/2; -3) vektorral.
Adja meg annak a g(x) függvénynek a hozzárendelési utasítását, amelynek a grafikonját a fenti eltolással előállítottuk!

g(x) =

 2 pont 

 

NÉV:

---

13. 2016.10.8.

Adja meg a sin x = 1/2 egyenlet π-nél kisebb, pozitív valós megoldásait!

x =

 2 pont 

14. 07.10.9.

Mely valós számokra teljesül a [0; 2π] intervallumon a sin x = 1/2 egyenlőség?

x₁ =

 2 pont 

x₂ =

 2 pont 

15. 2005.06.9.

Adja meg azoknak a 0° és 360° közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség!
 sinα = √2/2 .

x₁ = °

 2 pont 

x₂ = °

 2 pont 

16. 14.10.7.

Adja meg a következő egyenlet [0; 2π] intervallumba eső megoldásának pontos értékét!
 sin x = −1

x =

 2 pont 

17. 2010.05.9.

Oldja meg a valós számok halmazán a  sin x = 0 egyenletet, ha − 2π ≤ x ≤ 2π ?
(Adatbevitel: felsorolás szóköz nélkül, pontosvesszővel elválasztva. 3π/5 = 3pi/5)

x =

 2 pont 

18. 2016.05.11.

Oldja meg a sin x = 1 egyenletet a valós számok halmazán!

x = + k·2π (k∈Z)

 2 pont 

19. 2017.05.10.

Oldja meg az alábbi egyenletet a [0; 2π] intervallumon!
 cos x = 0,5

(Adatbevitel: felsorolás szóköz nélkül, pontosvesszővel elválasztva. 3π/5 = 3pi/5)
x =

 2 pont 

20. 13.10.3.

Oldja meg a [–π; π] zárt intervallumon a cos x = 1/2 egyenletet!

(Adatbevitel: felsorolás szóköz nélkül, pontosvesszővel elválasztva. 3π/5 = 3pi/5)
x =

 2 pont 

21. 2005.07.8.

Adja meg azoknak a 0° és 360° közötti α szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség!
 cosα = 1/2 .

x₁ = °

 2 pont 

x₂ = °

 2 pont 

22. 08.06.2.

Hány fokos az a tompaszög, amelynek a tangense –1 ?

x = °

 2 pont 

23. 07.06.7.

Melyek azok a 0° és 360° közé eső szögek, amelyeknek a tangense √3 ?

x₁ = °

 2 pont 

x₂ = °

 2 pont 

NÉV:

---

7.2. Szögfüggvények ábrázolása

Forrás:
sdt

1. Mit jelent a periodicitás?
A szinusz és a koszinusz függvény egy enyhén hullámzó függvényt határoz meg, ahol egy hullám folyamatosan a végtelenségig ismétlődik.
Egy teljes hullám hossza az ismétlődés mértéke, vagyis a periodicitás.

Mekkora ez az érték szinusz és koszinusz szögfüggvény esetén?

A szinusz és koszinusz függvény 360°-onként ismétlődik.

Mi a helyzet a tangenssel, kotangenssel?

A tangens és a kotangens függvény 180°-onként ismétlődik.

2. Milyen pontosan a szinusz és a koszinusz függvény grafikonja?
Készítsünk táblázatot 30°-os lépésközzel 0°-tól 360°-ig.

Vigyázzunk arra, hogy a szöget általában radiánban mérjük, ha szögfüggvényeket vizsgáljuk.
A nevezetes szögek átváltását segítő táblázat:
360° = 2*pi
180° = pi
90° = pi/2
60° = pi/3
45° = pi/4
30° = pi/6

A szinusz függvény grafikonja:

 (Vázlatos ábrázolásnál elég 90°-os beosztást alkalmazni.)
A szinusz függvény az y tengelyre szimmetrikus (az y = x^3-höz hasonlóan), ezért páratlan függvény.

A szinusz függvény korlátos függvény: az értékkészlete -1 és 1 közötti értékekből áll. (ÉK =[-1;1])

A koszinusz függvény grafikonja:

A koszinusz függvény az x tengelyre szimmetrikus (az y = x^2-hez hasonlóan), ezért páros függvény.
A szinusz és a koszinusz függvény alakja azonos. Egyiket a másikból 90°-os eltolással kapjuk.
Mivel a koszinusz függvény az 1-ből indul, azaz előbb veszi fel a maximumát, ezért azt mondjuk, hogy siet 90°-kot a szinuszhoz képest.

(Erre a kölcsönös viszonyra az elnevezés is utal: ko-szinusz = a szinusz társa)

3. Milyen a tangens és a kotangens függvény grafikonja?
Ha az ábrázolás előtt táblázatot szeretnénk készíteni akkor használjunk 45°-os léptéket és -360°-tól 360°-ig tartson a táblázat.

A tangens függvény ábrázolása:

Látható, hogy a tangens függvény szigorúan monoton növekvő.
A növekedés cunamiszerű.

90°-nál szakadása van.
A következő szakadási pont 180°-kal van arrébb.
Ezt így jelöljük: 90°+k*180°, k=egész.


A kotangens függvény ábrázolása:

A kotangens függvény alakja hasonlít a tangenséhez. (Ugyanaz, csak teljesen más.)
A kotangens függvény:
szigorúan monoton csökkenő.
szakadási helyei: 0°+k*180°, k=egész.

4. Milyen lesz a szinuszfüggvény grafikonja, ha transzformáljuk?
A. Fel-le tolódás:
y = sin(x) + A
pl. y = sin(x) + 1 vagy y = 1 + sin(x)

B. Jobbra-balra tolódás:
y = sin(x-B)
pl. y = cos(x - pi/3)
Vigyázat: Ellentétes logika!!!

C. Tágítás-szűkítés:
y = C*sin(x)
pl. y = 3*cos(x)

D.Összenyomás-széthúzás:
y = sin(D*x)
pl. y = sin(x/2)
Vigyázat: Ellentétes logika!!!

 

7.1. Szögfüggvények általánosítása

Forrás:
sdt

---

1. Hogyan értelmeztük eddig a szögfüggvényeket?

Felvettünk egy derékszögű háromszöget, elbetűztük és az oldalak arányára bevezettük a
sin a
cos a
tg a
ctg a jelöléseket.

---

2. Mi a baj ezzel a módszerrel?

Egy derékszögű háromszögben az alfa szög csak hegyesszög, azaz csak 90°-nál kisebb szög lehet.
Számológéppel viszont tetszőleges nagyságú szögnek ki tudjuk számolni a szinuszát, koszinuszát, tangensét. Vagyis tapasztalatból tudjuk, hogy létezik-e a 90°-nál nagyobb szögeknek is szögfüggvénye.

---

3. A derékszögű háromszögnek mi az általánosítása?

A derékszögű háromszög helyett derékszögű koordináta rendszerből kell kiindulnunk.

---

4. Hogyan tovább? Milyen egyéb alapfogalmakra lesz szükségünk?

Vegyünk fel tehát kiindulásként egy derékszögű koordináta rendszert.
Jelöljük az origót O-val.

Válasszuk az egységet jó nagynak.
Rajzoljunk egy origó középpontú egység sugarú kört (k).

Válasszunk ki egy tetszőleges pontot a k-n, jelöljük P-vel.
Kössük össze az O-t P-vel, majd lássuk el nyíllal, így kapjuk az OP vektort.
Az OP vektor egységvektor, mert a hossza egységnyi, jelöljük e-vel.

A x tengely pozitív fele egy félegyenes, amely az e vektorral egy nulla és 360° közötti szöget zár be, jelöljük ezt alfával.
Az alfát irányszögnek nevezzük, mert meghatározza az e irányát.

---

5. Mi történik a vektorral, ha az irányszögét növeljük?

Ha az alfát növeljük, akkor az e vektor elkezd forogni az O körül.
Ezért ezt az e vektort forgóvektornak is nevezzük.

Az e csúcspontja a forgás során kirajzolja a kört.
Ha egyszer körbeértünk, akkor a folyamat kezdődik elölről.
Ha az irányszög meghaladja a 360°-ot, akkor forgásszögről beszélünk.
Természetesen 360°-os maradékos osztás segítségével minden forgásszög megfeleltethető egy 0 és 360°közötti szögértéknek.
pl. 1000° = 2*360° + 280°

---

6. Mit nevezünk koordinátáknak?

Egy irányvektornak az x tengelyre eső merőleges vetületét első koordinátának (e1),
az y tengelyre eső merőleges vetületét második koordinátának (e2) nevezzük.

A vetítéshez használt segédvonalak segéd derékszögű háromszöget határoznak meg.
Ezekre a derékszögű háromszögekre vonatkozóan már hagyományosan értelmezhetünk szögfüggvényeket.

---

7. Mit tapasztalunk?

(Mivel hosszakról beszélünk a vektorjelölő aláhúzás elmarad)
sin a = e2/e
e = 1
sin a = e2
cos a = e1/e
e = 1
cos a = e1.

Az alfa irányszögű e egységvektor első koordinátáját koszinusz alfának,
a második koordinátáját szinusz alfának nevezzük.

---

8. És mi a helyzet a tangenssel kotangenssel?

Értelmezzük őket a sin a és a cos a hányadosaként:
tg a = sin a/cos a
ctg a = cos a/tg a

Szemléletesen: (Vízszintes és függőleges érintő segédegyenesek segítségével)

---

9. Egyéb észrevételek?

 A koordináta rendszert a két tengely 4 síknegyedre bontja fel.
Ezeket az óra járásával ellentétesen betűzzük: I.,II.,III.,IV. síknegyed.

I-ben: cos pozitív, sin pozitív.
II-ban: cos negatív, sin pozitív.
III-ban: cos negatív, sin negatív.
IV-ben: cos pozitív, sin negatív.

Ahol az előjel megegyezik, ott a szögfüggvényértékek is megegyezhetnek.

I. és IV-ben, vagy II. és III-ban: cos lehet egyenlő
I. és II-ban, vagy III. és IV-ben: sin lehet egyenlő.

Ha az e vektor nem az I. síknegyedbe esik, akkor a segéd derékszögű háromszögekben segédszögek szerepelnek. (Ezeket vesszővel jelöljük)
II. a' = 180°-a
III. a' = 180°+a
IV. a' = 360°-a
Ezekre a segédszögekre átváltva már derékszögű háromszögekkel dolgozhatunk. Ez a módszer azonban elég macerás, ezért nemigen használjuk.

---

Feladatok:

17.
13.06.6.
Adott az e egységvektor: e(cos750°; sin750°).
Mekkora az a legkisebb szög, amivel az i(1;0)vektort pozitív irányba elforgatva megkapjuk e vektort?

18.
08.10.11.
Jelölje X-szel a táblázatban, hogy az alábbi koordináta-párok közül melyikek adják meg a 300°-os irányszögű egységvektor koordinátáit és melyikek nem!
e(1/2;√3/2) igen nem
e(-√3/2;1/2) igen nem
e(1/2;-√3/2) igen nem
e(sin30°;-cos30°) igen nem

6.6. Számonkérés (Trigonometria)

Elmélet (Trigonometria)

1.Szögmérési módok

A számológép háromféle módot ismer:

• DEG, D = fok
• RAD, R = radián
• GRAD, G = gradián

Győződjünk meg, hogy a számológépünk DEG, D üzemmódban van, szükség esetén ezt visszaállíthatjuk a DRG, vagy a MODE segítségével

2. Derékszögű háromszög

Jelölések:

Szögek közötti összefüggések (α és ß pótszögek):
  α + ß = 90°
Oldalak közötti összefüggések (Püthagorasz-tétel):
  a² + b² = c²
Szögek és oldalak közötti összefüggések:
szinusz α = α szöggel szemközti befogó / átfogó
  sin α = a/c
koszinusz α = α szög melletti befogó / átfogó
  cos α = b/c
tangens α = α szöggel szembeni befogó / α szög melletti befogó
  tg α = a/b
Szögfüggvényérték meghatározása:
Az új számológépeknél először a sin, cos, tan gombokat kell megnyomni, ekkor a gép kijelzi, hogy sin, cos, tan, majd a szögértéket és az egyenlőségjelet.
A régi gépeknél a sorrend fordított: először a szöget, majd a műveletet kell beírni.

Visszakeresés:
sin^-1, cos^-1, tan^-1 segítségével történik
shift, 2ndf gombokat meg kell nyomni

3.Nevezetes szögek szögfüggvényértékei:

	0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	½ = 0,5	√2/2 = 0,7071	√3/2 = 0,866	1
cos	1	√3/2 = 0,866	√2/2 = 0,7071	½ = 0,5	0
tg	1	√3/3 = 0,5774	1	√3 = 1,7321	-

4. Általános háromszög

Koszinusz-tétel:
Akkor alkalmazzuk, ha

• adott három oldal és a szögeket keressük;
• adott két oldal és a közbezárt szög és a harmadik oldalt keressük.

Három alakja van (a Püthagorasz-tétel továbbfejlesztett változata):
  a² = b² + c² – 2bc∙cosα
  b² = a² + c² – 2ac∙cosβ
  c² = a² + b² – 2ab∙cosγ
Számolásnál célszerű zárójelezni:
  a² = (b² + c²) – 2bc∙cosα
  b² = (a² + c²) – 2ac∙cosβ
  c² = (a² + b²) – 2ab∙cosγ

Szinusz-tétel:
Akkor alkalmazzuk, ha

• adott egy oldal és a rajta fekvő két szög és a másik két oldalt keressük;
• adott egy két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög és a másik szöget keressük.

Három alakja van:
  a/b = sin α/sin β
  a/c = sin α/sin γ
  b/c = sin β/sin γ

A szinusztétel alkalmazásánál hiba is történhet, ezért mindig ellenőrizzük, hogy a szögek összege 180°-e. Ha nem akkor a visszakeresésnél a szögre azt feltételeztük, hogy 90°-nál kisebb.
Ilyenkor 180°-α helyettesítés segít.

Forgásszögek szögfüggvényértékei:

Koszinusz alfa = az alfa irányszögű e egységvektor első koordinátája;
Szinusz alfa = az alfa irányszögű e egységvektor második koordinátája.
Tehát e = (cos α; sin α).
Átszámolása [0°, 360] közötti értékre: α’ = α - k∙360° k = egész szám

---

Feladatok

szögmérési módok:

1. 12.05.6.

Határozza meg a radiánban megadott α = π / 4 szög nagyságát fokban!

α = °

 2 pont 

derékszögű háromszög:
  (igaz-hamis)

2. 2010.05.10.

Döntse el az alábbi négy állításról, hogy melyik igaz, illetve hamis!

A: Van olyan derékszögű háromszög, amelyben az egyik hegyesszög szinusza 1/2.
Igaz Hamis

 1 pont 

B: Ha egy háromszög egyik hegyesszögének szinusza 1/2, akkor a háromszög derékszögű.
Igaz Hamis

 1 pont 

C: A derékszögű háromszögnek van olyan szöge, amelynek nincs tangense.
Igaz Hamis

 1 pont 

D: A derékszögű háromszögek bármelyik szögének értelmezzük a koszinuszát.
Igaz Hamis

 1 pont 

  (szögszámítás)

3. 2019.05.9.

Egy középület akadálymentesítésekor a bejárathoz egyenletesen emelkedő rámpát építenek, hogy kerekesszékkel és babakocsival is be lehessen jutni az épületbe.
A rámpa hossza 3 méter, és a járda szintjétől 60 centiméter magasra visz.
Hány fokos a rámpa emelkedési szöge?
Megoldását részletezze!

sin α =

 2 pont 

(Megoldás egy tizedes pontosságra!)
α = °

 2 pont 

4. 08.10.5.

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, az átfogója 13 cm hosszú.
Mekkorák a háromszög hegyesszögei?
(Válaszát egész fokra kerekítve adja meg!)

α = °

 2 pont 

β = °

 2 pont 

5. 2005.07.4.

Számítsa ki az α szög nagyságát az alábbi derékszögű háromszögben!

sin α =

 2 pont 

(Megoldás egy tizedes pontosságra!)
α = °

 2 pont 

6. 2010.05.6.

Egy egyenlő szárú háromszög alapja 5 cm, a szára 6 cm hosszú.
Hány fokosak a háromszög alapon fekvő szögei?
A szögek nagyságát egész fokra kerekítve adja meg! Válaszát indokolja!

cos α =

 2 pont 

(Megoldás egy tizedes pontosságra!)
α = °

 2 pont 

7. 2010.10.7.

Tekintsük azt a derékszögű háromszöget, amelyben az átfogó hossza 1, az α hegyesszög melletti befogó hossza pedig sin α.
Mekkora az α szög?
Válaszát indokolja!

tg α = sin α/cos α =

 2 pont 

α = °

 2 pont 

  (átfogó számítás)

8. 13.05.5.

A vízszintessel 6,5°-ot bezáró egyenes út végpontja 124 méterrel magasabban van, mint a kiindulópontja. Hány méter hosszú az út?
Válaszát indokolja!

(Jelöljük a keresett távolságot x-szel!)
sin 6,5° =

 2 pont 

x = m

 2 pont 

  (befogószámítás)

9. 2005.05.7.

Egy derékszögű háromszög egyik befogójának hossza 3 cm, a vele szemközti szög 18,5°.
Mekkora a másik befogó?
Készítsen vázlatot, és válaszát számítással indokolja!

(Jelöljük a keresett távolságot x-szel!)
tg 18,5° =

 2 pont 

x = cm

 2 pont 

10. 2005.10.3.

Egy derékszögű háromszög átfogója 4,7 cm hosszú, az egyik hegyesszöge 52,5°.
Hány cm hosszú a szög melletti befogó? Készítsen vázlatot az adatok feltüntetésével!
Válaszát számítással indokolja, és egy tizedes jegyre kerekítve adja meg!

(Jelöljük a keresett távolságot x-szel!)
cos 52,5° =

 2 pont 

x = cm

 2 pont 

11. 2016.06.2.

Egy derékszögű háromszög átfogója 3 cm, egyik szöge 42°.
Hány cm hosszú a 42°-os szöggel szemközti befogó?
A választ két tizedesjegyre kerekítve adja meg!

(Jelöljük a keresett távolságot x-szel!)
sin 42° =

 2 pont 

α = cm

 2 pont 

12. 09.10.5.

Egy torony árnyéka a vízszintes talajon kétszer olyan hosszú, mint a torony magassága.
Hány fokos szöget zár be ekkor a Nap sugara a vízszintes talajjal?
A keresett szöget fokban, egészre kerekítve adja meg!

tg α =

 2 pont 

α = °

 2 pont 

13. 2010.06.12.

Egy húrtrapéz (egyenlő szárú trapéz) egyik alapjának hossza 7 cm, ezen az alapon fekvő szögei 60°-osak. A trapéz szárai 4 cm-esek.
Számítsa ki a másik alap hosszát!
Számítását részletezze!

c = cm

 2 pont 

általános háromszög:
  (koszinusz-tétel)

14. 2017.05.6.

Egy háromszög 3 cm és 5 cm hosszú oldalai 60°-os szöget zárnak be egymással.
Hány centiméter hosszú a háromszög harmadik oldala?
Megoldását részletezze!

c = √ cm

 2 pont 

15. 2014.06.12.

Az ABCD rombusz egy oldala 6 cm hosszú, a BCD szög 120°.
Mekkora a rombusz AC átlója?
Válaszát indokolja!

e = cm

 2 pont 

  (szinusz-tétel)

16. 07.05.8.

Az ábrán látható háromszögben hány cm hosszú az 56°-os szöggel szemközti oldal?
(Az eredményt egy tizedes jegy pontossággal adja meg!)
Írja le a számítás menetét!

x = cm

 2 pont 

forgásszögek szögfüggvényértékei:

17. 13.06.6.

Adott az e egységvektor: e(cos750°; sin750°).
Mekkora az a legkisebb szög, amivel az i(1;0)vektort pozitív irányba elforgatva megkapjuk e vektort?

α = °

 2 pont 

18. 08.10.11.

Jelölje X-szel a táblázatban, hogy az alábbi koordináta-párok közül melyikek adják meg a 300°-os irányszögű egységvektor koordinátáit és melyikek nem!

A: e (1/2 ; √3/2)
Igen Nem

 1 pont 

B: e (-√3/2 ; 1/2)
Igen Nem

 1 pont 

C: e (1/2 ; -√3/2)
Igen Nem

 1 pont 

D: e (sin 30° ; - cos 30°)
Igen Nem

 1 pont 

NÉV:

---

6.5. Alkalmazások

6.4. Háromszögek adatainak meghatározása

6.3. Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között

6.2. Derékszögû háromszögek adatainak meghatározása

6.1. Hegyesszögek szögfüggvényei

5.7. Számonkérés (Vektorok)

5.6. Vektor elforgatása 90°-kal

5.5. A háromszög súlypontjába mutató vektor

5.4. Felezõpont, osztópont

5.3. Vektorok a koordinátasíkon, helyvektorok

5.2. Egyértelmû vektorfelbontási tétel

5.1. Vektor szorzása számmal

4.8. Számonkérés (hasonlóság)

4.7. Párhuzamos szelõk tétele

Tétel: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok aránya egyenlő a másik száron keletkező megfelelő szakaszok arányával.

Minden esetben igaz-e a tétel megfordítása?

A párhuzamos szelők tételének megfordítása:
Tétel: Ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat vág le, amelyeknek aránya mindkét száron egyenlő, akkor a két egyenes párhuzamos.

Látható, hogy ez a tétel nem mindig igaz, vagyis a csúcstól való távolságot figyelembe kell venni ahhoz, hogy igaz legyen.

Az így átfogalmazott tétel a párhuzamos szelőszakaszok tétele:
Egy szög szárait metsző párhuzamosokból a szárak által kimetszett szakaszok aránya megegyezik a párhuzamosak által az egyik szárból kimetszett szakaszok arányával.

Vagyis, ha egy szöget egyenesekkel metszünk és a szögszárak által kimetszet szakaszok aránya megegyezik a szögszárakon a szög csúcsától a metszéspontokig tartó szakaszok arányával, akkor a metsző egyenesek párhuzamosak egymással.

Alkalmazása:
1. Trapéz kiegészítő háromszöge:
Oldalhosszaival adott egy ABCD trapéz.
Számítsuk ki a DCE háromszög, az úgynevezett kiegészítő háromszög oldalhosszúságait!
2. Szakasz adott arányú osztópontja:

4.6. Terület, térfogat aránya

1. Hasonló síkidomok területek aránya:
A. Hasonló háromszögek esetén:
Az új háromszög területét úgy kapjuk meg, hogy az eredeti háromszög területét szorozzuk a hasonlóság arányának a négyzetével.

B. Hasonló sokszögek esetén:
Hasonló sokszögek területének aránya a hasonlóság arányának a négyzete.
(Mivel a sokszögeket egy csúcsból induló átlók segítségével háromszögekre lehet bontani.)

C. Körök esetén:
Hasonló körök területének aránya a hasonlóság arányának a négyzete.

Általánosságban megállapítható:
Hasonló síkidomok területének aránya egyenlő a hasonlóság arányának a négyzetével.


2. Hasonló testek térfogaténak aránya:
A. Kocka esetén: Ha minden élhosszat λ-szorosára növelünk, akkor a térfogat a λ³-szörösére változik.
B. Téglatest esetén: Ugyanez érvényes.

Általánosságban elmondható:
Hasonló testek térfogatának aránya egyenlő a hasonlóság arányának a köbével.


3. A konvex sokszögek átlóiról és szögeiről

Az n oldalú konvex sokszögekről bizonyítottuk, hogy
a) bármely csúcsukból n-3 átlót húzhatunk, és azok n-2 darab háromszögre bontják a sokszöget;
b) összesen n*(n-3)/2 átlójuk van;
c) belső szögeik összege (n - 2)*180°

4. Szabályos sokszögek:

Szabályos sokszögek szimmetriatengelyei:
1.

2.

Szabályos sokszöghöz kapcsolódó körök
1. Köré írható kör:

2. Bele írható kör:

4.5. Szögfelezõ-tétel

Forrás:
sdt

Szögfelezőtétel:
Bármely háromszögben egy belső szög szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja két részre.
A tétel bizonyításához használható ábrák:
1.

2. (területekkel való operálás)

Feladat:
Oldalaival adott az ABC háromszög,a=5cm ,b=9cm ,c=10cm hosszúságú. A szögfelező milyen hosszúságú részekre vágja szét az a oldalt?

4.4. Derékszögû háromszögre vonatkozó tételek

 Ábra:

Magasságtétel
Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe az átfogó két szeletének.
m^2 =x*y

Befogótétel(ek)
Derékszögű háromszögben az egyik befogó mértani közepe az átfogón lévő merőleges vetületének és az átfogónak.
x^2 =a*c
y^2 = b*c

Feladat: mértani közép szerkesztése
1.

2.

Számtani és mértani közép közötti kapcsolat: