1. Pitagorasz-tétel feladatokban

1.Egy derékszögű háromszög befogói a és b, míg átfogója c. Számítsd ki az ismeretlen oldal hosszúságát!
a) a = 68 cm, b = 51 cm
b) a = 75 mm, b = 18 cm
c) a = 6,5 cm, c = 0,6 dm
d) a = 0,6 dm, c = 6,5 cm
2. Egy derékszögű háromszög két oldala 24 és 25 cm hosszú. Mekkora az ismeretlen oldal?
3. Határozd meg az a alapú egyenlőszárú háromszög keresett adatait, számítsd ki a háromszög kerületét és
területét!
a) a = 12 cm, b = 10 cm ma = ?
b) a = 10 cm, b = ? ma = 8 cm
c) a = ? b=13,5 cm ma = 10,8 cm
4. Egy egyenlőszárú derékszögű háromszög befogója 5 cm. Mekkora az átfogója?
5. Egy egyenlőszárú derékszögű háromszög átfogója 5 cm. Mekkora a befogója?

19. Számtani és mértani közép

ELMÉLET:
  Legyen a, b két valós szám.
    számtani közép = (a + b)/2
    mértani közép = √(a·b)
  Szabályok: 
    1. A számtani közép mindig nagyobb vagy egyenlő, mint a mértani közép.
    2. Ha a két szám egyenlő, akkor a számtani és a mértani közép egyenlő.
PÉLDA:
  a = 6, 8
  szk = (6+8)/2 = 7
  mk = √(6·8) = √(48) ≈ = 6,9
FELADATOK:
  1. Mennyivel nagyobb a számtani közép a mértaninál?
    a) a = 3, b = 27
    b) a = 12, b = 27
    c) a = 20, b = 45
    d) a = 40, b = 90
    e) a = 10, b = 15
    f) a = 20, b = 22
    g) a = 13, b = 345
    h) a = 56, b = 2010
  2. Mekkora a másik szám: b = ?
    a) szk = 23, a = 20
    b) mk = 23, a = 20
    c) szk = 50, a = 70
    d) mk = 50, a = 70

1.8. Másodfokú egyenlőtlenségek

forrás: itt

ELMÉLET:
 1. x² - 2x - 15 < 0 megoldása:
   1.1. Hagyományos grafikus megoldás:
     A. teljes négyzetté alakítás (NEHÉZKES):
       y = x² - 2x - 15 = (x -1)² -16
       

     EGYSZERŰBB:
     B. megoldóképlettel meghatározzuk a zérushelyeket:

 `x_(1,2) = (2+-sqrt(4+4*15))/2`
  `x_1=(2-8)/2=-3`
  `x_2=(2+8)/2=5`

      Megoldás:
        -3 < x < 5, vagy
        x = ]-3;5[ = nyitott intervallum(!).
        megjegyzés:
          grafikus megoldás nélkül a gyöktényezős alakból egyenlőtlenségrendszer megoldásával is meghatározható a megoldás.
  1.2. Nem hagyományos grafikus megoldás:
    Rendezzük át az egyenlőtlenséget:
      x² < - 2x + 15
      

      Kérdés: Hol halad a parabola az egyenes alatt?
  1.3. Még kevésbé hagyományos megoldás:
    Minusz 1-gyel való szorzás esetén az egyenlőtlenség iránya megfordul:
      -x² - 2x + 15 > 0
      



a) x² - 2x - 15 < 0 megoldása: -3 < x < 5.

b) x² - 2x - 15 ≥ 0 megoldása: x ≤-3,  5 ≤ x.



c) x² - 2x + 15 < 0 megoldása: nincs megoldás.

d) x² - 2x + 15 ≥ 0 megoldása: minden valós szám.



FELADATOK:
1. x² +2x -8 < 0
2. x² -2x -3 ≤ 0
3. x² -11x +28 > 0
4. x² +7x +10 ≥ 0
5. x² -5x < 0

1. x² +6x -7 < 0
2. x² -5x -24 ≤ 0
3. x² -11x +18 > 0
4. x² +10x +24 ≥ 0
5. x² +4x < 0


Hiányos másodfokú egyenlőtlenségek esetén gyakran előfordul, hogy
  -nincs megoldás
  -minden valós szám megoldás
  
TOVÁBBI FELADATOK:
1. x² -49 > 0
2. x² -100 ≤ 0
3. x² -36 ≥ 0
4. x² -400 < 0
5. x² +114 ≥ 0
6. x² +2 ≤ 0
7. x² -15 ≤ 0
8. x² -7 ≥ 0
9. x² -144 > 0
10. x² +25 < 0

1.7. Gyökös egyenletek

ELMÉLET:
  A gyökös egyenleteknél:
    - kikötéseket kell tenni:
      1. A gyök alatti mennyiség nem lehet negatív szám
      2. A gyök értéke sem lehet negatív szám
    - a megoldásokat ellenőrizni kell!
  A gyökös egyenleteknél a gyökjel négyzetreemeléssel tűntethető el.
MINTAFELADATOK:

1. `sqrt(x -1)=2`
 kikötés:
  x -1 ≥ 0
 megoldás:
`sqrt(x -1)=2` |()²
x -1 = 4 |+1
x = 5
 ellenőrzés:
`sqrt(5 -1)=2`

2. `sqrt(x -1)=sqrt(2x +3)`
kikötések:
1. x-1≥ 0
2. 2x+3 ≥ 0
megoldás:
`sqrt(x -1)=sqrt(2x +3)`|()²
x -1 = 2x +3 |-x-3
x = -4
ellenőrzés:
`sqrt(-4 -1)=sqrt(2(-4) +3)`
nem megoldás = hamis gyök

3. `sqrt(x +8)=x+2`
kikötések:
1. x+8 ≥ 0
2. x+2 ≥ 0
megoldás:
`sqrt(x +8)=x+2`
x+8 =x²+4x+4 |-x-8
x²+3x-4 =0
`x_(1,2)=(-3+-sqrt(9+4*4))/(2*1)`
`x_1=(-3+5)/2=1`
`x_2=(-3-5)/2=-4`
ellenőrzés:
`sqrt(1 +8)=1+2` az 1 jó megoldás
`sqrt(-4 +8)=-4+2` a -4 nem megoldás

FELADATOK:
1.`sqrt(x+4)=3`
2.`sqrt(x-5)=9`
3.`sqrt(2x-3)=1`
4.`sqrt(4x+11)=7`
5.`sqrt(8x-13)=8`

6.`sqrt(4x-5)=sqrt(x+1)`
7.`sqrt(5x+1)=sqrt(7x+1)`
8.`sqrt(3x-4)=sqrt(x-2)`
9.`sqrt(6x+7)=sqrt(x+2)`
10.`sqrt(13x+5)=sqrt(24x-3)`

1. `sqrt(x+6)=x`
2. `sqrt(x+2)=x-4`
3. `sqrt(3x+1)=x-1`
4. `sqrt(2x+8)=x+4`
5.`sqrt(7-3x)=1-x`
6.`sqrt(3x+4)=2x-4`
7.`sqrt(5x+4)=2x+2`
8.`sqrt(3x-5)=x-1`
9.`sqrt(5x+5)=2x-3`
10.`sqrt(x^2+2x+9)=2x+3`

1.6. Másodfokúra visszavezethető magasabb fokszámú egyenletek

    
Mintafeladatok:
    A. Ha az új ismeretlen fokszáma páros:
        x4 -5x2 +4 = 0
            Új ismeretelen: 
                x2 = y
                    x4 = y2
            y2 -5y +4 = 0
                y1,2 = (5 ±√(25 -4·1·4))/(2·1) = (5 ± 3)/2
                y1 = 4
                    x² = 4 |±√
                    	x1 = 2
                        x2 = -2
                y2 = 1
                    x² = 1 |±√
                    	x3 = 1
                        x4 = -1
                    Látható, hogy négy különböző megoldás van.
    B. Ha az új ismeretlen fokszáma páratlan:
        x6 -7x3 -8 = 0
        Új ismeretelen: 
            x3 = y
                x6 = y2 
            y2 -7y -8 = 0
                y1,2 = (7 ±√(49 +4·1·8))/(2·1) = (7 ± 9)/2
                y1 = 8
                    x³ = 4 |3√
                    	x1 = 2
                y2 = -1
                    x³ = -1 |3√
                    	x2 = -1
                    Látható, hogy két különböző megoldás van.
Megoldandó egyenletek:
    a) x4 -10x2 +9 = 0
    b) x4 +x2 -20 = 0
    c) x4 -8x2 -9 = 0
    d) x4 -20x2 -125 = 0
    e) x4 +11x2 +28 = 0
    
    f) x6 -28x3 +27 = 0
    g) x6 +9x3 +8 = 0
    h) x6 -4x3 -5 = 0

1.5. Másodfokú egyenlet együtthatói és gyökei

ELMÉLET:
1. Elnevezések:
    Együtthatók = szorzótényezők:
	a = négyzetes tagé
        b = elsőfokú tagé
        c = konstans tagé
    Gyökök = megoldások:
    	x1 = az első megoldás
        x2 = a második megoldás
2. Összefüggések:
    Gyökök és együtthatók közötti összefüggések (Viete-formulák):
    	x1 + x2 = -b/a
        x1·x2 = c/a
        	Főként ellenőrzésre, valamint megoldások megsejtésére szolgál.
            Azt, hogy van-e valós megoldás nem vizsgáljuk!
    Gyöktényezős alak:
    	ax² +bx + c = a(x -x1)(x -x2) 
        	Adott megoldású másodfokú egyenletek létrehozására szolgál.
MINTAFELADATOK:
1. Határozzuk meg az x1+x2 és az x1·x2 értékét!
    x² +2x -3 = 0
    	a = 1
        b = 2
        c = -3
        	x1 + x2 = -2/1 = -2
            	x1·x2 = -3/1 = -3
     3x² -5x +2 = 0
     	a = 3
        b = -5
        c = 2
        	x1 + x2 = 5/3
            	x1·x2 = 2/3
2. Hozzon létre olyan másodfokú egyenletet,
    amelynek a gyökei 1 és -2 és a másodfokú tag együtthatója 1!
    	x1 = 1
        x2 = -2
        a = 1
        	1(x -1)(x +2) = x² +2x -x -2 = x² +x -2 = 0
     amelynek a gyökei -2 és -5 és a = 2!
     	x1 = -2
        x2 = -5
        a = 2
        	2(x +2)(x +5) = 2(x² +5x +2x +10) = 2x² +14x +20 = 0
FELADATOK:
    1. x² -5x +7 = 0 			esetén x1 +x2 = ?, x1·x2 = ?
    2. 2x² +x -3 = 0 			esetén x1 +x2 = ?, x1·x2 = ?
    3. -3x² +10x -35 = 0 		esetén x1 +x2 = ?, x1·x2 = ?
    4. 0.5x² +2.5x -4.5 = 0        	esetén x1 +x2 = ?, x1·x2 = ?
    5. 4x² -9x = 0                 	esetén x1 +x2 = ?, x1·x2 = ?
    6. a = 1, x1 = 2, x2 = 8 		esetén mi a másodfokú egyenlet?
    7. a = 2, x1 = -3, x2 = 7 		esetén mi a másodfokú egyenlet?
    8. a = 1, x1 = 0, x2 = 5 		esetén mi a másodfokú egyenlet?
    9. a = 1, x1 = -1/3, x2 = 5/3 	esetén mi a másodfokú egyenlet?
    10.a = 2, x1 = -3/2, x2 = -1/2 	esetén mi a másodfokú egyenlet?

1.4. Megoldóképlet használata

ELMÉLET:
 Ha az egyenlet `a*x^2+b*x+c=0` alakú,
  akkor a másodfokú egyenlet megoldásait a megoldóképlet segítségével kapjuk meg.
 `x_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)`
  Az első mágoldást a mínuszjel alkalmazásával kapjuk.
  A második mágoldást a plusszjel alkalmazásával kapjuk.

 A gyök alatti mennyiséget diszriminánsnak nevezzük, jele: D.
  A diszkrimináns határozza meg, hogy az egyenletnek hány megoldása van.
  HA D > 0, AKKOR az egyenletnek 2 valós megoldása van.
  HA D = 0, AKKOR az egyenletnek 1 valós megoldása van.
  HA D < 0, AKKOR az egyenletnek nincs valós megoldása.

 A. eset:
 `x^2-5x+6=0` megoldása:
  a = 1
  b = -5
  c = 6
 `x_(1,2)=(5+-sqrt((-5)^2-4*1*6))/(2*1)`
 `x_(1,2)=(5+-sqrt(25-24))/2`
 `x_(1,2)=(5+-1)/2`
  `x_1=(5-1)/2=2`
  `x_1=(5+1)/2=3`

 B. eset:
 `x^2+6x+9=0` megoldása:
  a = 1
  b = 6
  c = 9
 `x_(1,2)=(-6+-sqrt(6^2-4*1*9))/(2*1)`
 `x_(1,2)=(-6+-sqrt(36-36))/2`
 `x_(1,2)=(-6+-0)/2`
  `x_1=x_2=(-6)/2=-3`

 C. eset:
 `x^2-3x+4=0` megoldása:
  a = 1
  b = -3
  c = 4
 `x_(1,2)=(3+-sqrt((-3)^2-4*1*4))/(2*1)`
 `x_(1,2)=(-6+-sqrt(9-16))/2`
 `x_(1,2)=ni ncs megoldás`

FELADATOK:
1. Ha a = 1:
 1.  `x^2+4x+3=0`
 2.  `x^2+7x+10=0`
 3.  `x^2+4x+5=0`
 4.  `x^2+2x-8=0`
 5.  `x^2-6x-7=0`
 6.  `x^2-5x+7=0`
 7.  `x^2-4x+4=0`
 8.  `x^2+10x+25=0`
 9.  `x^2-10x+21=0`
 10.  `x^2-10x+16=0`

Ha a ≠ 1:
 1.`2x^2-6x-20=0`
 2.`3x^2-21x+36=0`
 3.`-2x^2+4x+6=0`
 4.`4x^2+8x+3=0`
 5.`-3x^2+4x+4=0`
 6.`6x^2-23x+20=0`
 7. `3x^2 +5x +2 = 0`
 8. `4x^2 +12x −27 = 0`
 9. `5x^2 +4x −9 = 0`
 10. `−2x^2 −3x +44 = 0`
Összefoglalás:
1. `2x^2 -18 =0`
2.`3x^2 +5 = 0`
3.`4x^2 -7x =0`
4.`x^2-2x+1=0`
5.`x^2+3x+3=0`
6.`x^2-7x+10=0`
7. `-2x^2 +3x + 2 = 0 `
8. `-0.2x^2+4.4x-17=0`


1.`5x^2 -8x =0`
2.`4x^2 +7 = 0`
3. `3x^2 -75 =0`
4.`x^2+4x+10=0`
5.`x^2-14x+49=0`
6.`x^2-7x+10=0`
7. `-2x^2 +x + 28 = 0 `
8. `-0.2x^2+0.9x+5.6=0`

1.3. Teljes másodfokú egyenlet megoldása

ELMÉLET:
A. GRAFIKUS MEGOLDÁS:
	Ábrázoljuk a következő függvényeket:
    1. y = x²
    2. y = x² +1
    3. y = (x +1)² 
    4. y = (x -2)² +3
    5. y = -(x +2)² -4
    
    6. y = x² +6x +5
    	teljes négyzetté alakítás:
        	y = (x +3)² -3² +5 = (x +3)² -4
    7. y = x² -5x +4
    	teljes négyzetté alakítás:
        	y = (x -2,5)² -2,5² +5 = (x -2,5)² -1,25
    8. y = -x² +4x +1
    	kiemelés és teljes négyzetté alakítás:
        	y = -(x² -4x) +1 = -((x -2)² -2²) +1 = -(x -2)² +5
FELADATOK:
    a) y = x² -3
    b) y = x² +2
    c) y = (x +1)²
    d) y = (x -3)²
    e) y = (x -1)² +2
    f) y = -(x +3)² -1
    g) y = x² +2x +2
    h) y = x² -4x +4
    i) y = x² -3x +3
    j) y = -x² +8x +10

1.2. Hiányos másodfokú egyenletek

ELMÉLET:

1. Ha a b = 0, akkor nem mindig van megoldás!
A. eset:
	x2 - 9 = 0	|+9
	x2 = 9		|±√
	x1 = -3
	x2 = 3
		x1,2 = ±3

	Ha a c negatív, akkor 2 megoldás van.
	A megoldások csak előjelben térnek el egymástól.
	Írhatjuk a megoldásokat gyökös alakban is, ha a gyök értéke nem egész.
B. eset:
	x2 + 9 = 0 	|-9
	x2 = -9
	Nincs megoldás

	Ha a c pozitív, akkor nincs megoldás.

2. Ha a c = 0, akkor mindig két megoldás van!
	Az egyik megoldás x1 = 0.
	A másik megoldást egy elsőfokú egyenlet megoldásaként kapjuk.
		A megoldást megadhatjuk tört alakban is.

	2x2 +9x = 0 |:x
		x1 = 0
	2x + 9 = 0 |-9
	2x = -9 |:2
	x2 = -9/2

FELADATOK:
1. Határozd meg a következő egyenletek gyökeit:
	a) x2 - 81 = 0
	b) 2x2 - 16 = 0
	c) 3x2 - 750 = 0
	d) 4x2 - 1 = 0
	e) 5x2 - 2 = 0
	f) 6x2 + 216 = 0
	g) 7x2 + 7 = 0
	h) 8x2 + 20x = 0
	i) -9x2 + 42x = 0
	j) 10x2 - 8x = 0

1.1. Másodfokú egyenletek jellemzői

ELMÉLET:
A konkrét alakban konkrét számok szerepelnek!

Rendezetlen konkrét alak:
	7 -x = 3x2 +8x - (x +1)2

Rendezések:
1. Zárójelfelbontás (Zfb):
	7 -x = 3x2 +8x - (x +1)(x +1)
	7 -x = 3x2 +8x -(x2 +x + x +1)
	7 -x = 3x2 +8x -x2 -x -x -1
2. Összevonás (Öv):
	Csak az egynemű tagokat vonhatjuk össze!
	7 -x = 2x2 +6x -1
3. Egy oldalra rendezés (nullára redukálás):
	Arra az oldalra rendezünk, ahol a másodfokú tag együtthatója nagyobb.
	Történhet egylépésben is.
	7 = 2x2 +7x -1
	0 = 2x2 +7x -8
	
4. Sorbarendezés:
	2x2 +7x -8 = 0
	(Osztás az x2 együtthatójával:
		x2 +3,5x -4 = 0 )

Rendezett (polinom) konkrét alak:
	2x2 -7x -8 = 0

Másodfokú egyenlet rendezett alak:
- Tagokból áll.
- Egy ismeretlent tartalmaz.
- Az ismeretlen legmagasabb fokszáma = 2.


Megnevezések:
2x2 = másodfokú tag
	2 = a másodfok tag együtthatója (szorzótényezője)
		Ha nem szerepel szám az x2, x előtt, akkor a paraméter értéke = 1
-7x = elsőfokú tag
	-7 = az elsőfokú tag együtthatója
-8 = konstans (állandó) tag

Általános (elvont, absztrakt) alak:
	ax2 + bx + c = 0
		Ha a = 0, akkor nem másodfokú
		Ha b vagy c = 0, akkor hiányos másofokú egyenlet
		Ha semmelyik paraméter sem nulla, akkor teljes másodfokú egyenlet
	x2 + px + q = 0
		Ha p vagy q = 0, akkor hiányos másofokú egyenlet
		Ha semmelyik paraméter sem nulla, akkor teljes másodfokú egyenlet

FELADATOK:

1. Melyik egyenlet teljes, melyik egyenlet hiányos másodfokú egyenlet?
Határozd meg a másodfokú egyenlet paramétereit!
	a) x2 -5x -4 = 0
	b) 3x2 +x = 0
	c) x2 -3 = 0
	d) 5x2 +x -3 = 0

2. Határozd meg a másodfokú egyenlet rendezett konkrét alakját!
Határozd meg a másodfokú egyenlet paramétereit!
	a) 11 = 1 -3x2 + 2x
	b) 8x +12 = x2 -9x -5
	c) 3x2 -5x +6 = x2 +2x -7
	d) (2x +1)(3x-5) = 2x -1
	e) (x +2)2 = 5x2 +4x 
	f) 7 -x = 3x2 +8x - (x +1)2