ELMÉLET:
Legyen a, b két valós szám.
számtani közép = (a + b)/2
mértani közép = √(a·b)
Szabályok:
1. A számtani közép mindig nagyobb vagy egyenlő, mint a mértani közép.
2. Ha a két szám egyenlő, akkor a számtani és a mértani közép egyenlő.
PÉLDA:
a = 6, 8
szk = (6+8)/2 = 7
mk = √(6·8) = √(48) ≈ = 6,9
FELADATOK:
1. Mennyivel nagyobb a számtani közép a mértaninál?
a) a = 3, b = 27
b) a = 12, b = 27
c) a = 20, b = 45
d) a = 40, b = 90
e) a = 10, b = 15
f) a = 20, b = 22
g) a = 13, b = 345
h) a = 56, b = 2010
2. Mekkora a másik szám: b = ?
a) szk = 23, a = 20
b) mk = 23, a = 20
c) szk = 50, a = 70
d) mk = 50, a = 70
2022. október 27., csütörtök
19. Számtani és mértani közép
2022. október 23., vasárnap
1.8. Másodfokú egyenlőtlenségek
forrás: itt
`x_1=(2-8)/2=-3`
`x_2=(2+8)/2=5`
ELMÉLET:
1. x² - 2x - 15 < 0 megoldása:
1.1. Hagyományos grafikus megoldás:
A. teljes négyzetté alakítás (NEHÉZKES):
y = x² - 2x - 15 = (x -1)² -16
EGYSZERŰBB:
B. megoldóképlettel meghatározzuk a zérushelyeket:
`x_(1,2) = (2+-sqrt(4+4*15))/2` `x_1=(2-8)/2=-3`
`x_2=(2+8)/2=5`
Megoldás:
-3 < x < 5, vagy
x = ]-3;5[ = nyitott intervallum(!).
megjegyzés:
grafikus megoldás nélkül a gyöktényezős alakból egyenlőtlenségrendszer megoldásával is meghatározható a megoldás.
1.2. Nem hagyományos grafikus megoldás:
Rendezzük át az egyenlőtlenséget:
x² < - 2x + 15
Kérdés: Hol halad a parabola az egyenes alatt?
1.3. Még kevésbé hagyományos megoldás:
Minusz 1-gyel való szorzás esetén az egyenlőtlenség iránya megfordul:
-x² - 2x + 15 > 0
a) x² - 2x - 15 < 0 megoldása: -3 < x < 5.
b) x² - 2x - 15 ≥ 0 megoldása: x ≤-3, 5 ≤ x.
c) x² - 2x + 15 < 0 megoldása: nincs megoldás.
d) x² - 2x + 15 ≥ 0 megoldása: minden valós szám.
FELADATOK:
1. x² +2x -8 < 0
2. x² -2x -3 ≤ 0
3. x² -11x +28 > 0
4. x² +7x +10 ≥ 0
5. x² -5x < 0
1. x² +6x -7 < 0
2. x² -5x -24 ≤ 0
3. x² -11x +18 > 0
4. x² +10x +24 ≥ 0
5. x² +4x < 0
Hiányos másodfokú egyenlőtlenségek esetén gyakran előfordul, hogy
-nincs megoldás
-minden valós szám megoldás
TOVÁBBI FELADATOK:
1. x² -49 > 0
2. x² -100 ≤ 0
3. x² -36 ≥ 0
4. x² -400 < 0
5. x² +114 ≥ 0
6. x² +2 ≤ 0
7. x² -15 ≤ 0
8. x² -7 ≥ 0
9. x² -144 > 0
10. x² +25 < 0
2022. október 16., vasárnap
1.7. Gyökös egyenletek
ELMÉLET:
A gyökös egyenleteknél:
- kikötéseket kell tenni:
1. A gyök alatti mennyiség nem lehet negatív szám
2. A gyök értéke sem lehet negatív szám
- a megoldásokat ellenőrizni kell!
A gyökös egyenleteknél a gyökjel négyzetreemeléssel tűntethető el.
MINTAFELADATOK:
1. `sqrt(x -1)=2`kikötés:
x -1 ≥ 0
megoldás:
`sqrt(x -1)=2` |()²
x -1 = 4 |+1
x = 5
ellenőrzés:
`sqrt(5 -1)=2`
2. `sqrt(x -1)=sqrt(2x +3)`
kikötések:
1. x-1≥ 0
2. 2x+3 ≥ 0
megoldás:
`sqrt(x -1)=sqrt(2x +3)`|()²
x -1 = 2x +3 |-x-3
x = -4
ellenőrzés:
`sqrt(-4 -1)=sqrt(2(-4) +3)`
nem megoldás = hamis gyök
3. `sqrt(x +8)=x+2`
kikötések:
1. x+8 ≥ 0
2. x+2 ≥ 0
megoldás:
`sqrt(x +8)=x+2`
x+8 =x²+4x+4 |-x-8
x²+3x-4 =0
`x_(1,2)=(-3+-sqrt(9+4*4))/(2*1)`
`x_1=(-3+5)/2=1`
`x_2=(-3-5)/2=-4`
ellenőrzés:
`sqrt(1 +8)=1+2` az 1 jó megoldás
`sqrt(-4 +8)=-4+2` a -4 nem megoldás
FELADATOK:
1.`sqrt(x+4)=3`
2.`sqrt(x-5)=9`
3.`sqrt(2x-3)=1`
4.`sqrt(4x+11)=7`
5.`sqrt(8x-13)=8`
6.`sqrt(4x-5)=sqrt(x+1)`
7.`sqrt(5x+1)=sqrt(7x+1)`
8.`sqrt(3x-4)=sqrt(x-2)`
9.`sqrt(6x+7)=sqrt(x+2)`
10.`sqrt(13x+5)=sqrt(24x-3)`
1. `sqrt(x+6)=x`
2. `sqrt(x+2)=x-4`
3. `sqrt(3x+1)=x-1`
4. `sqrt(2x+8)=x+4`
5.`sqrt(7-3x)=1-x`
6.`sqrt(3x+4)=2x-4`
7.`sqrt(5x+4)=2x+2`
8.`sqrt(3x-5)=x-1`
9.`sqrt(5x+5)=2x-3`
10.`sqrt(x^2+2x+9)=2x+3`
2022. október 9., vasárnap
1.6. Másodfokúra visszavezethető magasabb fokszámú egyenletek
Mintafeladatok:
A. Ha az új ismeretlen fokszáma páros:
x4 -5x2 +4 = 0
Új ismeretelen:
x2 = y
x4 = y2
y2 -5y +4 = 0
y1,2 = (5 ±√(25 -4·1·4))/(2·1) = (5 ± 3)/2
y1 = 4
x² = 4 |±√
x1 = 2
x2 = -2
y2 = 1
x² = 1 |±√
x3 = 1
x4 = -1
Látható, hogy négy különböző megoldás van.
B. Ha az új ismeretlen fokszáma páratlan:
x6 -7x3 -8 = 0
Új ismeretelen:
x3 = y
x6 = y2
y2 -7y -8 = 0
y1,2 = (7 ±√(49 +4·1·8))/(2·1) = (7 ± 9)/2
y1 = 8
x³ = 4 |3√
x1 = 2
y2 = -1
x³ = -1 |3√
x2 = -1
Látható, hogy két különböző megoldás van.
Megoldandó egyenletek:
a) x4 -10x2 +9 = 0
b) x4 +x2 -20 = 0
c) x4 -8x2 -9 = 0
d) x4 -20x2 -125 = 0
e) x4 +11x2 +28 = 0
f) x6 -28x3 +27 = 0
g) x6 +9x3 +8 = 0
h) x6 -4x3 -5 = 0
2022. október 1., szombat
1.5. Másodfokú egyenlet együtthatói és gyökei
ELMÉLET:
1. Elnevezések:
Együtthatók = szorzótényezők:
a = négyzetes tagé
b = elsőfokú tagé
c = konstans tagé
Gyökök = megoldások:
x1 = az első megoldás
x2 = a második megoldás
2. Összefüggések:
Gyökök és együtthatók közötti összefüggések (Viete-formulák):
x1 + x2 = -b/a
x1·x2 = c/a
Főként ellenőrzésre, valamint megoldások megsejtésére szolgál.
Azt, hogy van-e valós megoldás nem vizsgáljuk!
Gyöktényezős alak:
ax² +bx + c = a(x -x1)(x -x2)
Adott megoldású másodfokú egyenletek létrehozására szolgál.
MINTAFELADATOK:
1. Határozzuk meg az x1+x2 és az x1·x2 értékét!
x² +2x -3 = 0
a = 1
b = 2
c = -3
x1 + x2 = -2/1 = -2
x1·x2 = -3/1 = -3
3x² -5x +2 = 0
a = 3
b = -5
c = 2
x1 + x2 = 5/3
x1·x2 = 2/3
2. Hozzon létre olyan másodfokú egyenletet,
amelynek a gyökei 1 és -2 és a másodfokú tag együtthatója 1!
x1 = 1
x2 = -2
a = 1
1(x -1)(x +2) = x² +2x -x -2 = x² +x -2 = 0
amelynek a gyökei -2 és -5 és a = 2!
x1 = -2
x2 = -5
a = 2
2(x +2)(x +5) = 2(x² +5x +2x +10) = 2x² +14x +20 = 0
FELADATOK:
1. x² -5x +7 = 0 esetén x1 +x2 = ?, x1·x2 = ?
2. 2x² +x -3 = 0 esetén x1 +x2 = ?, x1·x2 = ?
3. -3x² +10x -35 = 0 esetén x1 +x2 = ?, x1·x2 = ?
4. 0.5x² +2.5x -4.5 = 0 esetén x1 +x2 = ?, x1·x2 = ?
5. 4x² -9x = 0 esetén x1 +x2 = ?, x1·x2 = ?
6. a = 1, x1 = 2, x2 = 8 esetén mi a másodfokú egyenlet?
7. a = 2, x1 = -3, x2 = 7 esetén mi a másodfokú egyenlet?
8. a = 1, x1 = 0, x2 = 5 esetén mi a másodfokú egyenlet?
9. a = 1, x1 = -1/3, x2 = 5/3 esetén mi a másodfokú egyenlet?
10.a = 2, x1 = -3/2, x2 = -1/2 esetén mi a másodfokú egyenlet?
Feliratkozás:
Megjegyzések (Atom)