ELMÉLET:
Ha az egyenlet `a*x^2+b*x+c=0` alakú,
akkor a másodfokú egyenlet megoldásait a megoldóképlet segítségével kapjuk meg.
`x_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)`
Az első mágoldást a mínuszjel alkalmazásával kapjuk.
A második mágoldást a plusszjel alkalmazásával kapjuk.
A gyök alatti mennyiséget diszriminánsnak nevezzük, jele: D.
A diszkrimináns határozza meg, hogy az egyenletnek hány megoldása van.
HA D > 0, AKKOR az egyenletnek 2 valós megoldása van.
HA D = 0, AKKOR az egyenletnek 1 valós megoldása van.
HA D < 0, AKKOR az egyenletnek nincs valós megoldása.
A. eset:
`x^2-5x+6=0` megoldása:
a = 1
b = -5
c = 6
`x_(1,2)=(5+-sqrt((-5)^2-4*1*6))/(2*1)`
`x_(1,2)=(5+-sqrt(25-24))/2`
`x_(1,2)=(5+-1)/2`
`x_1=(5-1)/2=2`
`x_1=(5+1)/2=3`
B. eset:
`x^2+6x+9=0` megoldása:
a = 1
b = 6
c = 9
`x_(1,2)=(-6+-sqrt(6^2-4*1*9))/(2*1)`
`x_(1,2)=(-6+-sqrt(36-36))/2`
`x_(1,2)=(-6+-0)/2`
`x_1=x_2=(-6)/2=-3`
C. eset:
`x^2-3x+4=0` megoldása:
a = 1
b = -3
c = 4
`x_(1,2)=(3+-sqrt((-3)^2-4*1*4))/(2*1)`
`x_(1,2)=(-6+-sqrt(9-16))/2`
`x_(1,2)=ni ncs megoldás`
FELADATOK:
1. Ha a = 1:
1. `x^2+4x+3=0`
2. `x^2+7x+10=0`
3. `x^2+4x+5=0`
4. `x^2+2x-8=0`
5. `x^2-6x-7=0`
6. `x^2-5x+7=0`
7. `x^2-4x+4=0`
8. `x^2+10x+25=0`
9. `x^2-10x+21=0`
10. `x^2-10x+16=0`
Ha a ≠ 1:
1.`2x^2-6x-20=0`
2.`3x^2-21x+36=0`
3.`-2x^2+4x+6=0`
4.`4x^2+8x+3=0`
5.`-3x^2+4x+4=0`
6.`6x^2-23x+20=0`
7. `3x^2 +5x +2 = 0`
8. `4x^2 +12x −27 = 0`
9. `5x^2 +4x −9 = 0`
10. `−2x^2 −3x +44 = 0`
Összefoglalás:
1. `2x^2 -18 =0`
2.`3x^2 +5 = 0`
3.`4x^2 -7x =0`
4.`x^2-2x+1=0`
5.`x^2+3x+3=0`
6.`x^2-7x+10=0`
7. `-2x^2 +3x + 2 = 0 `
8. `-0.2x^2+4.4x-17=0`
1.`5x^2 -8x =0`
2.`4x^2 +7 = 0`
3. `3x^2 -75 =0`
4.`x^2+4x+10=0`
5.`x^2-14x+49=0`
6.`x^2-7x+10=0`
7. `-2x^2 +x + 28 = 0 `
8. `-0.2x^2+0.9x+5.6=0`
2022. szeptember 11., vasárnap
1.3. Teljes másodfokú egyenlet megoldása
ELMÉLET:
A. GRAFIKUS MEGOLDÁS:
Ábrázoljuk a következő függvényeket:
1. y = x²
2. y = x² +1
3. y = (x +1)²
4. y = (x -2)² +3
5. y = -(x +2)² -4
6. y = x² +6x +5
teljes négyzetté alakítás:
y = (x +3)² -3² +5 = (x +3)² -4
7. y = x² -5x +4
teljes négyzetté alakítás:
y = (x -2,5)² -2,5² +5 = (x -2,5)² -1,25
8. y = -x² +4x +1
kiemelés és teljes négyzetté alakítás:
y = -(x² -4x) +1 = -((x -2)² -2²) +1 = -(x -2)² +5
FELADATOK:
a) y = x² -3
b) y = x² +2
c) y = (x +1)²
d) y = (x -3)²
e) y = (x -1)² +2
f) y = -(x +3)² -1
g) y = x² +2x +2
h) y = x² -4x +4
i) y = x² -3x +3
j) y = -x² +8x +10
2022. szeptember 4., vasárnap
1.2. Hiányos másodfokú egyenletek
ELMÉLET: 1. Ha a b = 0, akkor nem mindig van megoldás! A. eset: x2 - 9 = 0 |+9 x2 = 9 |±√ x1 = -3 x2 = 3 x1,2 = ±3 Ha a c negatív, akkor 2 megoldás van. A megoldások csak előjelben térnek el egymástól. Írhatjuk a megoldásokat gyökös alakban is, ha a gyök értéke nem egész. B. eset: x2 + 9 = 0 |-9 x2 = -9 Nincs megoldás Ha a c pozitív, akkor nincs megoldás. 2. Ha a c = 0, akkor mindig két megoldás van! Az egyik megoldás x1 = 0. A másik megoldást egy elsőfokú egyenlet megoldásaként kapjuk. A megoldást megadhatjuk tört alakban is. 2x2 +9x = 0 |:x x1 = 0 2x + 9 = 0 |-9 2x = -9 |:2 x2 = -9/2 FELADATOK: 1. Határozd meg a következő egyenletek gyökeit: a) x2 - 81 = 0 b) 2x2 - 16 = 0 c) 3x2 - 750 = 0 d) 4x2 - 1 = 0 e) 5x2 - 2 = 0 f) 6x2 + 216 = 0 g) 7x2 + 7 = 0 h) 8x2 + 20x = 0 i) -9x2 + 42x = 0 j) 10x2 - 8x = 0
1.1. Másodfokú egyenletek jellemzői
ELMÉLET: A konkrét alakban konkrét számok szerepelnek! Rendezetlen konkrét alak: 7 -x = 3x2 +8x - (x +1)2 Rendezések: 1. Zárójelfelbontás (Zfb): 7 -x = 3x2 +8x - (x +1)(x +1) 7 -x = 3x2 +8x -(x2 +x + x +1) 7 -x = 3x2 +8x -x2 -x -x -1 2. Összevonás (Öv): Csak az egynemű tagokat vonhatjuk össze! 7 -x = 2x2 +6x -1 3. Egy oldalra rendezés (nullára redukálás): Arra az oldalra rendezünk, ahol a másodfokú tag együtthatója nagyobb. Történhet egylépésben is. 7 = 2x2 +7x -1 0 = 2x2 +7x -8 4. Sorbarendezés: 2x2 +7x -8 = 0 (Osztás az x2 együtthatójával: x2 +3,5x -4 = 0 ) Rendezett (polinom) konkrét alak: 2x2 -7x -8 = 0 Másodfokú egyenlet rendezett alak: - Tagokból áll. - Egy ismeretlent tartalmaz. - Az ismeretlen legmagasabb fokszáma = 2. Megnevezések: 2x2 = másodfokú tag 2 = a másodfok tag együtthatója (szorzótényezője) Ha nem szerepel szám az x2, x előtt, akkor a paraméter értéke = 1 -7x = elsőfokú tag -7 = az elsőfokú tag együtthatója -8 = konstans (állandó) tag Általános (elvont, absztrakt) alak: ax2 + bx + c = 0 Ha a = 0, akkor nem másodfokú Ha b vagy c = 0, akkor hiányos másofokú egyenlet Ha semmelyik paraméter sem nulla, akkor teljes másodfokú egyenlet x2 + px + q = 0 Ha p vagy q = 0, akkor hiányos másofokú egyenlet Ha semmelyik paraméter sem nulla, akkor teljes másodfokú egyenlet FELADATOK: 1. Melyik egyenlet teljes, melyik egyenlet hiányos másodfokú egyenlet? Határozd meg a másodfokú egyenlet paramétereit! a) x2 -5x -4 = 0 b) 3x2 +x = 0 c) x2 -3 = 0 d) 5x2 +x -3 = 0 2. Határozd meg a másodfokú egyenlet rendezett konkrét alakját! Határozd meg a másodfokú egyenlet paramétereit! a) 11 = 1 -3x2 + 2x b) 8x +12 = x2 -9x -5 c) 3x2 -5x +6 = x2 +2x -7 d) (2x +1)(3x-5) = 2x -1 e) (x +2)2 = 5x2 +4x f) 7 -x = 3x2 +8x - (x +1)2
Feliratkozás:
Megjegyzések (Atom)